中考数学二轮复习训练专题09 函数的定值问题 （9种题型）（专项训练）（2份，原卷版+解析版）

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考点一： 面积定值
1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为(−1,0)，与y轴交于点C(0,3)，点M为抛物线顶点，点E为AB中点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得∠QCB=2∠ABC，求点Q的坐标；
(3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，D(m,−12)，且m>1，求证：D，E，F三点共线；
②若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，只要D，E，F三点共线，△AMP，△MEP，△ABP中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．
2．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2a≠0经过点P2，1，直线y=kx+1k≠0与抛物线交于A，B两点(点A在y轴左侧，点B在y轴右侧)，与y轴交于点M．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若△AMP与△BMP的面积之比是1:4，求k的值；
(3)若作点P关于y轴的对称点P'，直线AP'与直线BP相交于点Q，试探究：△PP'Q的面积是否为定值？若为定值，请求出△PP'Q的面积；若不为定值，请说明理由．
考点二： 面积比值为定值
3．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数y=−x2+c的图像经过点A−2,5，点Px1,y1，Qx2,y2是此二次函数的图像上的两个动点．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC,DQ,PQ．若x2=x1+3，求证S△PDQS△ADC的值为定值；
(3)如图2，点P在第二象限，x2=−2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1−1，过点M作MN⊥x轴于点N，求线段MN长度的最大值．
4．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知抛物线 y=x2+mx+n的图象经过0，−3，2，−3两点，与x轴交于A、B 两点（点A 在B 的左侧），P为抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点 P 作PM⊥x轴于点 M，若满足PM=a（a为常数）的点有且只有三个，求PM的值；
(3)若点 P 为第四象限内抛物线上一动点，直线AP与y轴交于点 C，连接BP．
①如图①，若∠APB=90°，求点 P 的坐标；②如图②，直线BC与抛物线交于点 D，连接AD．请判断S△ACDS△BCP是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
5．（2025·江苏无锡·一模）已知，拋物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y轴交于点C，点P是拋物线上的任意一点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P位于第二象限时，过P点作直线AP、BP分别交y轴于E、F两点，请问S△PECS△PCF的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；
(3)过点P作PQ⊥y轴于点Q，点G为y轴上的一点，纵坐标为−m，以GQ、PQ为邻边构造矩形PQGH，当抛物线在矩形PQGH内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
考点三：线段长为定值
6．（2025·湖南常德·二模）如图，已知抛物线的顶点坐标为A4,0，且与y轴交于点0,83，点B的坐标为4,3，点C为抛物线上一动点，以点C为圆心，CB长为半径的圆交x轴于M，N两点（点M在点N的左侧）．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦MN的长．
(3)如图2，若直线BC过点1,0，求证：三角形CBN是等边三角形．
7．（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系xOy中，点Ax0,p，B3,q在抛物线G1：y=x2+bx+c上，
(1)当x0=1，p=q时，
①求b的值；
②将抛物线G1平移后得抛物线G2：y=x2−8x+c1，设抛物线G1与抛物线G2的交点为P，过点P的直线y=x+m与抛物线G1的另一个交点为M，与抛物线G2的另一个交点为N，问MN的长是否为定值？若MN的长为定值，请求出这个值；若MN的长不为定值，请说明理由．
(2)当b