中考数学二轮复习训练专题10 勾股定理的应用（4大题型4难点，题型清单）（2份，原卷版+解析版）

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题型一：利用勾股定理求线段长
【中考母题溯源·学方法】
【典例1】难点01：结合折叠形成的边列方程求解
（2024·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，D是边的中点，E是边上一点，连接．将沿翻折，点C落在上的点F处，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，，，D是边的中点，
∴，
∴，
∵将沿翻折，点C落在上的点F处，
∴，，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：；
∴；
故答案为：．
【典例1-2】难点02：利用网格判断直角三角形
（2025·安徽亳州·一模）如图，在7×4网格中，点A，B，C，D是格点（网格线的交点），连接，，过点D作交于点P，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：由图可知：，，，
∵
∴，
∴
∴即
∴
∴
故选D．
【典例1-3】难点03：折叠与分类讨论
（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形是矩形，，．点E为边的中点，点F为边上一点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点，点B的对应点为点，过点作于点H，若，则的长是 ．

【答案】或
【详解】解：当点在点左侧时，如图，设交于点，过点作于点，
则，
点为边的中点，
，
四边形为矩形，，
，，，
，
四边形为矩形，
，，
由折叠可知，，，
，
，
，即，
，
，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
；
当点在点右侧时，如图，设交于点，过点作于点，
同理可得：，，四边形为矩形，，，
在中，，
，
，即，
，，
，
．
综上，的长是或．
故答案为：或．
【变式1-1】（2025·广东汕头·一模）如图，在三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若第二次的折痕与的交点为E，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：由折叠的性质得：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
故选：D．
【变式1-2】（2025·河北唐山·三模）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，与相交于点O，小正方形的边长为1，则的长等于（ ）
A．1.5B．C．D．
【答案】D
【详解】解：由网格可知，，
∴，
∴，
∵，
∴
故选：D．
【变式1-3】（2025·河南·模拟预测）如图，在中，，点D是边上的动点，过点D作，垂足为E，将沿直线折叠得到，点G，H分别是和上的点，连接，将沿直线折叠使得点B和F重合，连接，当和相似时，的长为 ．
【答案】或
【详解】解：由折叠的性质得，
∵，
∴，
∴，
∴，
当和相似时，分以下两种情况：
如解图①，当时，，
∵，
∴，
∵由翻折得，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴；
如解图②，当时，，
∵，，
∴，，
设，则，，
∴，
∵，
∴,
解得，
∴，
综上所述，当和相似时，的长为或，
故答案为：或．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·河北邯郸·二模）如图，在矩形中，是边上的点，将矩形沿所在的直线折叠，得到点的对应点，点的对应点．若点在边的延长线上，则的长为（ ）
A．B．3C．4D．
【答案】C
【详解】解：四边形是矩形，
．
设，则．
由折叠的性质，得
，点在边的延长线上，
．
在中，
，
解得
的长为4．
故选：C．
2．（2026·全国·模拟预测）如图，正方形的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在边上的点E处，折痕为．若，则的长是（ ）
A．1B．2C．4D．
【答案】B
【详解】解：如图，设与相交于点K，
根据折叠的性质得，，，
设，则，
∵，，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，即，
解得：，
∴线段的长是2，
故选：B．
3．（2025·江苏泰州·二模）如图，在的正方形网格中，、、为格点，连接，交过点的水平格线于点．若小正方形边长为，则 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，
由在网格中的位置，可知，
，
在中，，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
4．（2025·广东东莞·二模）如图，在矩形ABCD中，，，点E在边上，将四边形沿直线翻折，得到四边形，点B，C的对应点分别为点F，当点D恰好在线段上时，线段的长为 ．
【答案】1.5
【详解】解：四边形是矩形，，，
，，
设，
，
由翻折的性质得：，，，，，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
故答案为：
5．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在中，，点是BC边上一点，将沿直线翻折，点落在点处，连结，如果，那么点到直线的距离是 ．
【答案】或
【详解】
由题知：，，
∴，
∴，
又∵，
，，
以点为圆心，为半径画圆于交于，过作于，即，
∴，，
，，
设，则
，即，
∴，
在中，，即，
解得：，
或．
故答案为：或．
6．（2025·浙江绍兴·三模）如图，中，，，，点M为的中点，C为边上一点，把沿直线翻折得到．
（1）当点D恰好落在边上时，的长为 ；
（2）当与的边平行时，的长为 ．
【答案】 或
【详解】解：（1）如图，
∵，，，
∴，
∵点M为的中点，
∴．
由折叠的性质得，
∴．
故答案为：；
（2）如图，当时，作，交的延长线于K，的延长线交于T，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，点M为的中点，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
设，则．
∵，
∴
解得，即；
当时，作，交于点T，作于Q，延长交于N，则四边形、四边形、四边形都是矩形，
∴，，
∵，点M为的中点，
∴，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴，
设，则．
∵，
∴
解得，即．
综上可知，的长为或．
故答案为：或．
7．（2025·山东聊城·三模）如图1，点A，B在x轴上，以为边的正方形在x轴上方，点C的坐标为，反比例函数的图象经过的中点E，F是上的一个动点，将沿所在直线折叠得到．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图2，若点G落在y轴上，过点F作轴于点N，求线段的长．
【详解】（1）解：正方形，
，，，
点C的坐标为，
，
，
点E为的中点，
，
点E的坐标为，
代入点到，得，
反比例函数的表达式为．
（2）解：如图，设与轴交于点，则，
由（1）得，，
，轴，
，，
由翻折的性质得，，
，，
轴，
，
，，
四边形是矩形，，
，
，，
，
，即，
解得：．
8．（2025·河北石家庄·三模）（1）如图，将一张长方形纸片沿线段折叠．C点对应点落在处，D点对应点落在处，交于G点．
①求证：为等腰三角形；
②若，求重叠部分的面积．
（2）另取一张长方形纸片，在边上找一点E并沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上，请仅用无刻度的直尺和圆规在下图中找出点E的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
（3）长方形纸片时，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在线段的垂直平分线上时，请直接写出的长．
【详解】（1）解：①∵纸片为矩形，则，
，
由折叠的性质知，，
为等腰三角形，
②过点G作于点H，则，
则利用勾股定理：，
则的面积；
（2）解：以点B为圆心，以长度为半径作圆交于点F，作的角平分线，交于点E，
作图过程如下：
．
（3）当点落在矩形的外部时，过点作于点H，交于点N，则，
由题意得：，，
∵点恰好落在的垂直平分线上，
故，
在中，
，则，则，
∴，
，
，
在中，，
解得：，
则．
当点落在矩形内部时，过点作于点H，交于点N，则，
由题意得：，，
∵点恰好落在的垂直平分线上，
故，
在中，
，则，则，
∴，
，
，
在中，，
解得：，
则．
故答案为或．
9．（2025·贵州黔东南·二模）在数学活动课上，老师给每个数学小组发放了一张长为，宽为的长方形纸片，组织同学们以“长方形的折叠”为主题进行探究活动．
(1)如图①，连接对角线，沿着DE折叠，使得点A落在对角线上，点A的对应点记为，与的交点记为O．求证：；
(2)如图②，将长方形纸片对折，使得边与重合，边与重合．展开后再沿直线折叠，使得点A落在对折线的交点处，点A的对应点记为，连接，求折痕的长度；
(3)如图③，折叠长方形纸片，点A的对应点记为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出折痕的长度．
【详解】（1）证明：由折叠得到，
，
是等腰三角形，
又，
，
即；
（2）解：将长方形纸片对折，使得边与重合，边与重合，
点是长方形对角线的中点．
设交于点O，的中点为点H，如图，
，，
，，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
；
（3）折痕的长度为或．
①作的垂直平分线，交于点H，交于点G，如图，
则，，，
是以为斜边的等腰直角三角形，，
，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形为矩形，
，
，
，
，
；
②作的垂直平分线，交于点H，交于点G，与交于点M，如图，
则，，，
是以为斜边的等腰直角三角形，，
，
，
，
，
由（1）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
综上所述，折痕的长度为或．
题型二：勾股数相关面积问题
【中考母题溯源·学方法】
【典例2】（2025·吉林长春·一模）如图，分别以的三边为边向外作三个正方形、、，过作的垂线，垂足为，分别交、于点和点，记正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，下列结论：①当时，；②当时，为钝角；③；④当时，．其中正确的是 ．

【答案】①③④
【详解】解：∵四边形、、是正方形，
∴，
∴，
①当时，则根据勾股定理可得：，
∵，
∴；故①正确；
②假设是钝角三角形，过点A作于点J，如图示：

设，则有：
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，与②题干矛盾，故不正确；
③分别过点E、A作，垂足分别为R、P，如图所示：

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故③正确；
④当时，则有，
∵过作的垂线，垂足为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述：正确的结论有①③④；
故答案为①③④．
【变式2】（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图所示，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为按照此规律继续下去，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图所示，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
即等腰直角三角形的直角边为斜边的倍，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
【中考模拟闯关·练提分】
1.如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．10B．13C．15D．26
【答案】B
【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
，
即最大正方形E的面积为：．
故选：B．
2．下图是“毕达哥拉斯树”的“生长”过程：如图，一个边长为的正方形，经过第一次“生长”后在它的上侧长出两个小正方形，且三个正方形所围成的三角形是直角三角形；再经过一次“生长”后变成了图；如此继续“生长”下去，则第次“生长”后，这棵“毕达哥拉斯树”上所有正方形的面积和为 ．
【答案】
【详解】解：生长之前面积设为，第n次“生长”后的面积为，
，
，
，
……，
，
当时，；
故答案为：．
3．（2025·河北廊坊·一模）观察下列等式：
（1）补充上述表格．
发现：
（2）请用含n(n为正整数，且n>1)的等式表示上述规律： ；
应用：
（3）若三个整数能构成直角三角形的三条边长，则称这三个数为勾股数(例如：3，4，5)．现有一个直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数，请求这个直角三角形的面积．
【详解】解：（1）补充上述表格，，
故答案为：；
（2）用含（ 为正整数，且 ）的等式表示上述规律：，
故答案为：；
（3）由（2）中规律，
则存在以、为直角边，为斜边的直角三角形，
当有一个直角边为14的直角三角形时，它的三边长为勾股数，可得，解得，
直角三角形的另一个直角边是，
则这个直角三角形的面积为．
4．如图1，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：

(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)如图1，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积；
(4)如图2，的三边分别为a，b，c，，且．求证：关于x的一元二次方程必有实数根．
【详解】（1）解：当，，时勾系一元二次方程为；
（2）证明：，
∴，
∵，
∴
∴，
∴勾系一元二次方程必有实数根；
（3）当时，有，即，
∵四边形的周长是，
∴，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴．
（4）如图，∵，，过作于，
∴，，D在线段上，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴关于x的一元二次方程必有实数根．
题型三：利用勾股定理求最短路径
【中考母题溯源·学方法】
【典例2-1】将军饮马问题
（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】5
【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，
则可知，，
∴，
即当三点共线时，的最小值为，
∵直线垂直于y轴，
∴轴，
∵，，
∴，
∴在中，
，
故答案为：5
【典例2-2】（2025·青海西宁·三模）参照例题解决问题
例题：求的最小值
求解：如图所示在中可看成是直角边分别为x和3的直角三角形斜边的长度，延长到D，使得，则为，以点D为直角构造，使得，可得，过点E作交的延长线于点F，此时为直角三角形，四边形为矩形，连结交于点，当x等于时，最小，此时最小值
拓展应用
(1)直接写出的最小值为______．
(2)请求出的值最小时x的值．
【详解】（1）解：如下图所示，
在中，可看成是直角边分别为x和2的直角三角形的斜边的长度，
延长到D，使得，则为，
以点D为直角构造，使得，可得，
过点E作交的延长线的垂线交于点F，
此时为直角三角形，四边形为矩形，
连结交于点，
∵，
∴当点A、C、E三点共线时，最小，最小值为的长，
即当x等于时，最小，
此时最小值，
故答案为：10；
（2）由（1）知，当x等于时，最小，
，
，
，
，
，
解得：，经检验是原方程的解，
的值最小时x的值为．
【变式2-1】将军饮马问题
（2025·四川遂宁·一模）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，
连接，则，
∴，
当、P、F三点共线，且时，的值最小，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
在中，由勾股定理可得，
∴的最小值．
故选：C．
【变式2-2】（2025·山东淄博·二模）如图，护城河在处直角转弯，宽度保持4米，从往处，经过两座桥：，．设护城河是东西—南北方向，，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，恰当地架桥可使，，的路程最短．则这个最短距离是 米．
【答案】108
【详解】解：如图所示，
将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴当四点共线时，有最小值，即此时，，的路程最短，
∵，在东西方向上相距64米，南北方向距84米，且河宽为4米，
∴点G与点F的东西距离为米，南北距离为米，
∴点G与点F的距离为米，
∴这个最短距离是米，
故答案为：108．
【变式2-3】（2025·广东·三模）如图，圆柱形容器的高为，底面周长为，有一只蚂蚁想从处沿圆柱表面爬到对角处搜集食物．
(1)实践与操作：如图是该圆柱的侧面展开图，请用尺规作图法找出点的位置；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，求出蚂蚁爬行的最短矩离的长．
【详解】（1）解：如图，点即为所求．
（2）解：由题意知，，，，
在中，．
答：蚂蚁爬行的最短矩离的长为．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·广东广州·二模）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【详解】解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的处，即处，如图，
所以所求的最短路径的长度为．
故选：D．
2．（2025·广东·二模）小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，
由轴对称性质可得，由平移的性质可得，
当三点共线时，的值最小，
此时，的值最小，
矩形中，，洞口M 位于的中点处，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
3．（2025·湖南永州·三模）综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，如图：，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连结．达到最小值时，求 ．
【答案】
【详解】解：将沿折叠得到，
，
点为的中点，，
，
当点在边上运动时，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
连接,在中， ，
共线时，的值最小，如图，
最小为；
，
设，
，，
在直角三角形中，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即，
故答案为：．
4．（2025·广东清远·二模）综合与实践
【主题】自制环保笔筒
【素材】如图，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶．
【实践操作】
步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸；
步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面；
步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面；
步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒．
【实践探索】
(1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留）
(2)如3图，如果想要绳子缠绕笔筒圈，正好从点绕到正上方的点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号）
【详解】（1）解：如图所示为笔筒卷的侧面展开图
由题意得：裁剪出的包装纸的面积等于圆柱形的侧面积
∴裁剪出的包装纸的面积为
（2）解：如图所示，作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，，此时最短，即绳子缠绕笔筒圈，所需绳子的长度最短，
∴绕2圈所需绳子的最短长度为
5．（2025·山东枣庄·三模）综合与实践
【问题情境】
在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点M，N分别为，上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】
(1)如图1，当为等边三角形时，小颜发现：将绕点M逆时针旋转得到，连接，请写出与的数量关系，请思考并证明；
【类比探究】
(2)小雨尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点E，交于点F，将绕点M逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接，，请直接写出的最小值．
【详解】（1）解：，证明如下：
由旋转的性质得，，，
，
为等边三角形，
，
，
又，
，
．
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
由旋转的性质得，，，
，，
，，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（3）解：将绕点逆时针旋转得到，作交延长线于点，连接、，如图所示：
，，
，，
由旋转的性质得，，，
，，
又，
，
，
，
当三点共线时，有最小值，即有最小值；
，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
的最小值为．
6．（2025·陕西渭南·二模）【问题提出】
（1）如图1，在中，点是的中点，点是边的中点，连接，若，则的度数为_______________；
【问题探究】
（2）如图2，在中，，，点是上方一动点，连接、、，若，求的最大值；
【问题解决】
（3）如图3，菱形是某公园的一片油菜花海，对角线是中间的一条通道，为方便游客观赏花海全景，现要在花海外（右侧）修建一座观景塔（看作点），再沿和分别铺设两条小路（宽度忽略不计），要求，点是的中点，连接，沿开设美食一条街，为了使游客有更多美食进行选择，要求美食一条街尽可能的长．已知菱形的边长为，，求美食一条街长度的最大值．
【答案】（1）90；（2）；（3）
【详解】解：（1）点是的中点，点是边的中点，
，
．
故答案为：90．
（2）如图2，取的中点，连接、，
，点是的中点，，
，，
，
，
，
，
的最大值为．
（3）如图3，连接交于点，取的中点，连接、、，
菱形，
，，
，
，
，
，，
，
点是的中点，点是的中点，
，，
，
，
，
美食一条街长度的最大值为．
7．（2025·贵州铜仁·三模）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在中，点、分别为、上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】（1）如图1，当为等边三角形时，小李发现：将绕点顺时针旋转得到，连接，则，请思考并证明；
【类比探究】（2）小强尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点顺时针旋转得到，连接．求证：；
【拓展延伸】（3）潘老师提出新的探究方向：如图3，在中，，，连接、，求的最小值．
【详解】（1）证明∵为等边三角形，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理（1）证明，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
如图所示，将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，
，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
当点三点共线时，，此时的值最小，
如图所示，过点作延长线于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，（负值舍去），
∴，
∴，
在中，，
∴的最小值为．
8．（2025·陕西榆林·三模）问题探究
(1)如图1，在四边形中，，，若，则的长为______；
(2)如图2，在等腰中，，，点D是的中点，点E、F分别为边、上的动点，连接、、、，若，求周长的最小值；
问题解决
(3)2025年全国两会期间，“体重管理”被纳入国家健康战略，国家卫生健康委员会宣布持续推进为期三年的“体重管理年”行动，各地积极探索为居民健康减“负”．为了提高全民健身环境，某地欲建一个形如五边形的健身中心，如图3，，，米，米，米，是一条走廊，将四边形规划为力量训练区，区域规划为有氧器械区，在上确定点P、Q（点P在点Q左侧），且满足米，沿线段、、摆放某种小型健身器材，请计算的最小值．
【详解】（1）解：，，
四边形是平行四边形，
．
故答案为：4．
（2）解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，如图：
由翻折的性质可得，，，，，，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
周长的最小值为．
（3）解：过点作且，连接、、，作于点，交于点，如图：
，米，，
四边形是矩形，
，
米，
，
矩形是正方形，
，，，
且米，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
四边形是矩形，
米，，，
，
是等腰直角三角形，米，
米，米，
米，
米，
，
米，
米，
米，
的最小值米．
题型四：勾股定理的实际应用
【中考母题溯源·学方法】
【典例4】解决水杯中筷子问题
（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（ ）
A．8B．10C．12D．13
【答案】C
【详解】解：设，则，
由题意，得：，
解得：，即，
故选：C．
【变式4-1】求梯子滑落高度
（2025·四川成都·二模）如图，，直角的斜边的一端点在边上滑动，另一端点在边上滑动，点与点在直线的异侧，其中．当时，长为 ；若点从点处开始滑动，到点滑动到点处时结束，则在此过程中，点经过的路径长为 ．
【答案】 ； ．
【详解】解：连接，过点作于，则，
∵，，
∴，
∵，，
∴四点共圆，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴；
∵四点共圆，
∴,
∴,即为定值，
可知在直线上运动，
如图，经过的路径长为，
,
在中，由勾股定理得：
,
此时，
,
∴经过的路径长为．
故答案为：，．
【变式4-2】解决航海问题
（2025·江苏南京·中考真题）如图，码头位于码头的南偏东方向，，之间的距离为，灯塔在的中点处．轮船甲从出发，沿正南方向航行，轮船乙从出发，沿正东方向航行．当甲航行到处时，乙航行了相同的距离到达处，此时，，，三点恰好在一条直线上．求甲航行的距离．（参考数据：）
【详解】解：如图，延长，交点为，过点作于点，过作交于点．
由题意得，，，，
，之间的距离为，在的中点处，
，
∵中，，
，，
，为中点，
∴，
为的中点，
即，，
设，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
∴,
,
，
，
解得，
答：甲航行的距离约为．
【变式4-3】求旗杆高度
（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为尺．
（2）能．
由题可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
【变式4-4】判断是否受台风影响
（2026·重庆大渡口·一模）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是．
(1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？
(2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？
【详解】（1）解：由题意得：，，
方法一：
设小时后，当台风中心在点时，轮船在点，此时，则，，
∵，
∴，
整理得，
解得，
当时，，此时轮船还没有经过，
∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
方法二：当台风中心移动到距时，移动时间小时，
此时轮船航行距离，即还没有通过点，如果不改变航向，后续必定会进入台风影响区，
∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；
（2）解：如图，取点、，使，
当轮船运动到警戒线的点时，此时台风中心移动到点处，运动时间，此时；
轮船从点运动到点用时（小时），
设台风中心小时从移动到，则，
∴当轮船重新开始移动到点时，此时台风中心距离刚好，此后都不再受台风影响，
∴在轮船停止航行时间段，台风从移动到点，，
∴轮船停止航行时间为（小时），
∴设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行小时．
【中考模拟闯关·练提分】
1．（2025·四川绵阳·一模）如图，在平面直角坐标系中放置了一个正方体纸盒的表面展开图．已知， ，则该正方体纸盒能装进的小木棒（粗细忽略不计）的最大长度是（ ）
A．2B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，B ，
∴，
由图形可得正方形的边长为，
如图，正方体纸盒能装进的小木棒，最大长度为，
∴，，
∴，
故选：D．
2．（2025·山东济宁·一模）在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，每米造价元，铺完整个楼梯总造价需要 元．
【答案】
【详解】解：根据题意得，整个楼梯图形为直角三角形，根据勾股定理得：
所有台阶横面长为：（m）
∴所有楼梯表面的长度为：（m）
∴总造价为：元．
故答案为：．
3．（2025·浙江·模拟预测）数学经典著作《九章算术》中有一道著名的“引葭(jiā)赴岸”题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”意思为：如图，有一池塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，若将芦苇引到池边中点处，正好与岸边齐平，则水深为 尺．
【答案】12
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，

因为尺，所以尺，
在中，，
解之得，
∴水深为(尺)．
故答案为：12．
4．（2025·江西南昌·一模）《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是 尺.（1丈尺）
【答案】8
【详解】解：∵一根竹子原来高尺，设折断处离地面的高度为x尺，
∴竹梢到折断处的长度为尺，
依题意得：，
解得：，
∴折断处离地面8尺．
故答案为：8．
5．（2025·吉林四平·一模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作．书中有个关于门和竹竿的问题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高几何？译文：现有一扇门，不知道门的高度和门的宽度是多少，现有一支竹竿，不知竹竿的长短是多少．横着放竹竿比门宽多出4尺，竖着放竹竿比门高多出2尺，斜着放恰好与门的对角线一样长，如图．设门的对角线长为尺，可列方程为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意可知，门高为尺，门宽为尺，
由勾股定理，得．
故答案为：．
6．（2025·宁夏·中考真题）如图，在单位长度均为的平面直角坐标系中，放置一个圆柱形笔筒的展开图．其中，侧面展开图的边在坐标轴上，点坐标为．将一根长度为的铅笔放入笔筒内，露出笔筒部分的最小长度是 (结果保留整数，取3，壁厚忽略不计)．
【答案】2
【详解】解：如图，表示圆柱底面直径，为圆柱的高，示意铅笔能放置的最大长度，为露出部分的最小长度，
∵点坐标为，
∴，，
∴，
∵铅笔总长度为，即，
∴，
∵，
∴，
∴
即，
∵结果保留整数，
∴露出部分的最小长度约为．
故答案为：2．
7．（2025·湖南岳阳·二模）某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表（不完整）．
(1)根据以上测量结果，请你帮助这个小组求出学校旗杆的高度．
(2)如图③，第三次操作：某同学从点前行至点处，再次将绳子拉直，此时测得绳子末端到地面的距离的长度为1米，求该同学前进的距离的长度．
【详解】（1）解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：，
则在直角三角形中（图②），根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
所以旗杆的高度为12米.
（2）解：作于点G，如图，
又∵，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
则在直角三角形中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，即，
∴；
该同学前进的距离的长约为米．
8．（2025·重庆九龙坡·二模）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别去B，C两港装载物资，运送到位于A港北偏东方向的D港．甲货轮沿A港的北偏东方向航行120海里后到达B港，因装载工人人手不够，甲货轮花了5个小时装载货物，然后沿正北方向航行一定距离到达D港．乙货轮沿A港的西北方向航行一定距离到达C港，3个小时后装载好货物，再沿正东方向航行一定距离到达D港．（参考数据：，
(1)求B，D两港之间的距离（结果保留根号）；
(2)若甲、乙两艘货轮都匀速航行，甲货轮每小时航行30海里，乙货轮每小时航行60海里，哪艘货轮先到达D港？请通过计算说明（结果保留小数点后一位）．
【详解】（1）解：过点B作于点G，作，交于点H，故，
根据题意得：海里，，
在中，海里，
在中，,
∴海里，海里，
∴海里，
在中，海里，
答：B，D两港之间的距离为海里；
（2）解：过点作于点M，
∵，
∴，
∴，
由（1）知海里，海里，海里，海里，
∴，
∴海里，海里，
根据题意得：，则，
∴海里，
∴海里，海里，
∴甲货轮所用时间为：（小时），
乙货轮所用时间为：（小时），
∵，
∴甲货轮先到达D港．
9．（2025·广东云浮·一模）如图，某一海域有4个海岛A，B，C，D，海岛C在海岛A的正东方向，海岛D位于海岛A北偏东方向上，海岛B位于海岛A南偏东方向上，海岛C位于海岛B北偏东方向上，海岛C位于海岛D南偏东方向上，海岛A和海岛B之间的距离为40海里．
(1)求海岛A和海岛C之间的距离．（结果保留根号）
(2)一艘船从海岛A出发，以每小时40海里的速度沿方向前往海岛D处运送物资．求该船到达海岛D处所用的时间．（结果保留根号）
【详解】（1）解：过点作于点，如图，
∴，
根据题意得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵海里，
∴海里，
在中，，
∴海里，
∴海里；
（2）解：根据题意得，，
∴是直角三角形，
又，
在中，，
∴海里，
∴该船到达海岛D处所用的时间时．
10．（2025·重庆渝北·一模）如图，甲、乙两艘渔船同时从A港出发，前往位于港正北方向的捕鱼点捕鱼，甲渔船沿点的北偏西方向航行到观测点B，再沿B点的北偏东方向航行千米到达捕鱼点，乙渔船沿东北方向航行到观测点，再沿点的北偏西方向到达捕鱼点．
(1)求A港到捕鱼点的距离；（结果保留根号）
(2)若甲、乙两艘渔船的速度相同（在观测点B，观测的时间相同），哪艘渔船先到达捕鱼点？请通过计算说明．（参考数据：，，
【详解】（1）解：过点B作，垂足为E，则：
，，千米，
∴千米，
∴千米，
∴千米．
（2）解：过点作于点，如图，
∴
由题意可知，，千米，
∴千米，，
在中，千米，
千米，
∴千米，
∵，
∴，
∴，
在中，千米，
∴千米，千米，
∴千米，
∵
∴，
由甲、乙两艘渔船的速度相同，可得甲渔船先到达捕鱼点．
11．（2025·江苏南京·一模）如图，港口A在港口B的南偏西方向处，一艘渔船从港口A出发，以的速度沿着北偏东的方向前进，后，一艘快艇从B出发，以的速度沿着北偏西的方向前进．设快艇出发．
(1)当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程 ；
(2)当快艇出现在渔船的正北方时，求x的值．（参考数据：，，，）
【详解】（1）解：设快艇出发，则渔船从港口A出发后的路程为，后，一艘快艇从B出发的路程为，
所以当渔船、快艇到各自出发地的距离相等时，可得方程．
（2）解：设快艇出现在渔船的正北方时，快艇和渔船所在地点分别是C，D，按照如图的方式构造相应辅助线．
由题意得，，．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
在中，，
，
．
，，
，解得．
题型一：利用勾股定理求线段长
难点01：结合折叠形成的边列方程求解
难点02：利用网格判断直角三角形
难点03：折叠与分类讨论
题型二：勾股数相关面积问题
题型三：利用勾股定理求最短路径
难点04：将军饮马问题
题型四：勾股定理的实际应用
求梯子滑落高度
求旗杆高度
解决水杯中筷子问题
解决航海问题
判断是否受台风影响
第1个等式
第2个等式
第 3个等式
第 4个等式
……
……
课题
测量学校旗杆的高度
成员
组长：XXX组员：XXX，XXX，XXX
工具
皮尺等
测量示意图
说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点．
第一次操作：如图①，将系在旗杆顶端的绳子自然下垂到地面，绳子多出的一段在地面拉直后记作，用皮尺测出的长度；第二次操作：如图②，将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的长度．
测量数据
测量项目
数值（单位：米）
图①中的长度
1
图②中的长度
5
．．．．．．
．．．