中考数学二轮复习训练专题12相似三角形（知识清单）（7大考点+12大题型+6大易错+9大技巧方法+测试）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮复习训练专题12相似三角形（知识清单）（7大考点+12大题型+6大易错+9大技巧方法+测试）（2份，原卷版+解析版），文件包含高中物理练测析-单元卷-必修1pdf、高中物理练测析-单元卷-必修1答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
目 录
01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养
02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系
03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（7个核心考点）
考点01比例的性质及比例线段 考点02相似图形与相似多边形
考点03平行线分线段成比例定理 考点04相似三角形的判定与性质
考点05相似三角形的应用 考点06位似与位似变换
考点07相似与位似的作图问题
04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（12大重难题型）
题型01比例的性质 题型02黄金分割 题型03相似多边形及性质
题型04平行线分线段成比例定理 题型05相似三角形的判定
题型06相似三角形的性质 题型07相似三角形的性质与判定
题型08相似三角形的应用 题型09相似三角形的动点问题
题型10位似 题型11相似与位似的作图 题型12相似综合问题
05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（6个易混易错点）
易错点01混淆相似三角形的相似比与面积比
易错点02位似图形的坐标求解时漏解
易错点03相似三角形的对应边不确定，没有进行分类讨论而出错
易错点04相似三角形与函数综合应用时没有正确列出函数关系式
易错点05相似三角形解决动点问题时没有正确进行分类讨论
易错点06相似三角形解决实际问题时没有正确的建立模型
06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（9大方法技巧）
技巧01：相似三角形基本模型：A字型 技巧02：相似三角形基本模型：X字型
技巧03：相似三角形基本模型：母子型 技巧04：相似三角形基本模型：K字型
技巧05：相似三角形基本模型：一线三等角型 技巧06：相似三角形基本模型：旋转型
技巧07：相似三角形与新定义问题 技巧08：相似三角形与几何探究综合问题
技巧09：相似三角形与函数综合问题
07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题）
1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；了解黄金分割；通过具体实例认识图形的相似.
了解相似多边形和相似比.
2.理解相似三角形的判定定理，了解相似三角形判定定理的证明.理解相似三角形的性质定理.，会利用相似三角形的性质和判定解决一些简单的问题
3.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题.
4.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.
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1.比例的性质
（1）比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．
（2）常用的性质有：
①内项之积等于外项之积．若ab=cd,则ad=bc．
②合比性质．若ab=cd,则a+bb=c+dd.
③分比性质．若ab=cd,则a−bb=c−dd.
④合分比性质．若ab=cd,则a+ba−b=c+dc−d.
⑤等比性质．若ab=cd=⋯=mn（b+d+…+n≠0），则a+c+⋯⋯+mb+d+⋯⋯+n=mn.
2.比例线段
（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 ab=cd（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
3.黄金分割
如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618.
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1.相似图形
（1）相似图形
我们把形状相同的图形称为相似图形．
（2）相似图形在现实生活中应用非常广泛，对于相似图形，应注意：
①相似图形的形状必须完全相同；
②相似图形的大小不一定相同；
③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
（3）相似三角形
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．
2.相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1或相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
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（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
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1.相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
2.相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
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（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
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（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；
②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
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1.作图—相似变换
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到．
（2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．
（3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．
2.作图—位似变换
（1）画位似图形的一般步骤为：
①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
借助橡皮筋、方格纸、格点图等简易工具可将图形放大或缩小，借助计算机也很好地将一个图形放大或缩小．
（2）注意：①画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．②由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的．
题型01比例的性质
【典例1】（2025·湖南永州·模拟预测）若，则（ ）
A．B．C．D．
【变式练习】
1．（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·上海宝山·一模）在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（ ）
A．11米B．110米C．22米D．220米
3．（2025·上海长宁·一模）已知线段，，线段是线段、的比例中项，那么线段的长是 ．
题型02黄金分割
【典例2】2025·四川成都·三模）如图，点C是线段的黄金分割点（），若长为2，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式练习】
4．（2026·福建泉州·模拟预测）黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·山西长治·二模）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若，则水面高度为（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·陕西·模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ．
题型03相似多边形及性质
【典例3】（2025·陕西渭南·一模）已知四边形四边形，若，，则四边形与四边形的面积比为 ．
【变式练习】
7．（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·江苏盐城·二模）若两个相似多边形的对应边长分别为和，则它们的面积比为 ．
9．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，矩形纸片的长，宽，，分别为，两边的中点，若将这张纸片沿着直线对折，得到的两个矩形与原矩形均相似，则等于 ．
题型04平行线分线段成比例定理
【典例4】（2025·上海嘉定·一模）如图，已知直线分别与直线交于点，与直线交于点，如果，那么 ．
【变式练习】
10．（2022·河北石家庄·一模）如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点 P 表示的数是（ ）
A．1B．C．D．5
11．（2024·山东临沂·二模）如图，，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F，若，，则的值是 ．
12．（2025·上海·一模）在中，，，分别反向延长、到、，若，则当 时，．
题型05相似三角形的判定
【典例5】（2025·云南·模拟预测）如图所示，在中，，D为边上的点，连接，添加一个条件 ，使．(只需写出一个)
【变式练习】
13．（2025·上海嘉定·一模）在中，点分别是边上的点，那么下列条件中不能推得的是（ ）
A．B．C．D．．
14．（2023·河北邢台·一模）如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ）
A．B．
C．平分D．
15．（2024·云南曲靖·模拟预测）如图，已知，点E在上，添加一个条件，使．你添加的条件是 ．
题型06相似三角形的性质
【典例6】（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【变式练习】
16．（2025·河南濮阳·一模）若，且与的相似比为，则为（ ）
A．B．C．D．
17．（2025·云南昆明·二模）如图，，和分别是和的高，若，，则值为（ ）
A．B．C．D．
18．（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ．
题型07相似三角形的性质与判定
【典例7】（2025·四川内江·一模）如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，．
(1)求证：；
(2)当时，求
【变式练习】
19．（25-26九年级上·海南海口·月考）如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
20．（2025·上海嘉定·一模）如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上，作于H，交于P，已知．下列结论中不正确的是（ ）
A．B．C．D．
21．（2025·上海嘉定·一模）如图，在中，，点是边上一点，满足，点是的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：
(1)；
(2)．
题型08相似三角形的应用
【典例8】（2025·河南濮阳·一模）洛阳龙门西山石窟的卢舍那大佛是龙门石窟中的标志性造像，展现了古代工匠的高超技艺．为了测量卢舍那大佛的高度、小明同学采取了如下方法：在地面上平放一面镜子，并在镜子上做一个标记点C，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到卢舍那大佛的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记点C重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小明眼睛距离地面的高度为，和的长分别为和，求卢舍那大佛的高度．（结果保留1位小数）
【变式练习】
22．（2025·江西·二模）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（ ）
A．B．C．D．
23．（2025·江苏常州·三模）如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），，．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是（ ）
A．B．C．D．
24．（2025·陕西渭南·一模）富平陶艺村是国内首家以陶艺为主题，集生态观光、休闲度假、餐饮住宿、参观购物为一体的陶文化交流中心．小明想利用所学知识测量陶艺村一个用于烧制陶瓷的旧烟囱顶部到地面的高度（如图）．小明在点C处竖立一根高为2米的标杆（即米），此时标杆在阳光下的影子顶端和旧烟囱在阳光下的影子顶端重合于地面上的点E处；小明在点F处放置一面平面镜，随后，小明从点F处移动3米至点H处（即米），眼睛位于点G处，此时恰好从平面镜内看到旧烟囱顶端A的像．经测量得知：米，米，米，已知，，，点、、、、在一条直线上，图中所有点均在同一平面内，请你帮助小明计算旧烟囱顶部到地面的高度．（平面镜的大小忽略不计）
题型09相似三角形的动点问题
【典例9】（2025·江苏南京·一模）如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为 ．
【变式练习】
25．（2025·湖南·模拟预测）中，．点从出发以向移动秒，当为等腰三角形时，的值为（ ）．
A．0B．1C．0或1D．1或
26．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，，动点从出发沿射线以的速度运动，同时动点从出发沿射线以的速度运动，为的中点，连接，则的最小值为 ．
27．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示，，点P从点B出发，沿向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？
题型10位似
【典例10】（2024·北京门头沟·二模）如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图象扩大为原来的2倍，则点A的对应点的坐标为 ．
【变式练习】
28．（2025·广东深圳·三模）如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
29．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为 ．
30．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将点进行位似变换，位似比为1：缩小，则变换后的点的坐标为 ．
题型11相似与位似的作图
【典例11】（2025·安徽·模拟预测）如图，顶点均在方格的格点上，按要求作图求解题．
(1)作关于y轴对称的图形；
(2)在第一象限内，作出关于原点的位似图形，位似比为；
(3)作出边上的高交于H．
【变式练习】
31．（2025·安徽亳州·一模）如图，是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，已知顶点在网格线的交点上．
(1)以点A为位似中心，利用网格画出的位似图形，使与的相似比为2；
(2)将先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，画出．
32．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成三个画图任务．
(1)在图1中，作的角平分线交于点D；
(2)已知P是上一点，在（1）的基础上，作点P关于的对称点Q；
(3)在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，使边长放大到原来的2倍，请画出所有与位似的图形．
33．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在的正方形网格中，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
(1)在图1中作出的一条中位线，使得点在上，点在上；
(2)在图2中，如图，边上一点在网格线上，作出，使得；
(3)在图3中边上找到一点，使得．
题型12相似综合问题
【典例12】（2025·陕西·中考真题）问题探究
（1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____；
（2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值；
问题解决
（3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点．
按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计）
【变式练习】
34．（2024·江苏淮安·中考真题）综合与实践
[问题初探]
（1）某兴趣小组探索这样一个问题：若是的角平分线，则线段，，，有何数量关系？下面是小智、小勇的部分思路和方法，请完成填空：
根据小智或小勇的方法，可以得到线段，，，的数量关系是________；
[变式拓展]
（2）小慧对问题作了进一步拓展：如图3，在中，，D是边上一点，，，求的值．请你完成解答．
[迁移应用]
（3）请你借助以上结论或方法，用无刻度直尺和圆规在图4的线段上作一点P，使；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
[综合提升]
（4）如图5，在中，，点D在边上，，点E在的延长线上，连接，，请直接写出的值（用含的式子表示）．
35．（2025·山东济南·中考真题）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接．
【初步感知】（1）如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空：___________；___________．
【深入探究】（2）如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度，连接，，，．
①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．
②当四边形的面积最小时，求线段的长．
36．（2025·福建·中考真题）如图①，已知四边形中，，，，，，点是边上的动点，连接，作，设射线交线段于，交射线于．
(1)如果射线经过点（即点、与点重合，如图②所示），求的长；
(2)若点在的延长线上，不与点重合，设，，求关于的函数解析式，并直接写出的取值范围．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点01混淆相似三角形的相似比与面积比
【典例】
1．两个相似三角形的相似比为，那么它们的对应边上的中线的比为（ ）
A．B．
C．D．不同的对应边上的中线的比不同
2．如图，，，，若面积为10，则的面积为 ．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点02位似图形的坐标求解时漏解
【典例】
3．如图，在平面直角坐标系中，点为原点，正方形与正方形关于点位似．若点B、E、G的坐标分别为、、，则点的坐标为 ．
4．在中，已知点，，，以原点为位似中心画，使与位似，且面积比为，则点的对应点的坐标是 ．
5．如图，在直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，边在x轴上，在y轴上，如果矩形与矩形关于点O位似，且矩形的面积等于矩形面积的，那么点的坐标是 ．
6．和都是直角三角形，其中，，．若两个直角三角形相似，则的长为 ．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点03相似三角形的对应边不确定，没有进行分类讨论而出错
【典例】
7．如图，矩形中，，，点E是边上一定点，且．在线段上找一点F，使与相似．若这样的点F恰好有3个，则m的取值范围是 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，连接，D为的中点，点P在坐标轴上，若以P，A，D为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点04相似三角形与函数综合应用时没有正确列出函数关系式
【典例】
9．如图，中，，点从点出发，向终点运动，与此同时，点从点出发，沿着运动，点在边上运动的速度为，在边上运动的速度为，且点同时到达点．过点作的垂线交于点，以为邻边作平行四边形，设点运动的时间为与重叠部分的面积为．
(1)点运动的速度为____________；
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)求与之间的函数关系式．
10．如图1，在矩形中，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点E，连接，．设运动时间为（），请解答下列问题：
(1)当t为何值时，四边形是矩形？
(2)设的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)如图2，点O为的中点，连接．当为等腰三角形时，请直接写出t的值．
11．如图，在中，，，，点是的中点，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动（点不与点、重合）．在上方作正方形，且，．设点的运动时间为秒，正方形与重叠部分的面积为．
(1)线段的长为________；
(2)当点落在边上时，求的值；
(3)当时，求与之间的函数关系式．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点05相似三角形解决动点问题时没有正确进行分类讨论
【典例】
12．如图，在矩形中，，，点、分别是、边上的动点，若点以的速度从点出发向点运动，点以的速度从点出发向点运动，且两点同时出发，则出发时间为 秒时与相似．
13．如图，在中，，，．动点P从点B出发沿折线以每秒5个单位长度的速度向终点A运动，当点P不与的顶点重合时，过点P作于点D，以为边作矩形，使点F、点C始终在直线的同侧，且，设点P的运动时间为t秒．
（1）
（2）作点C关于直线的对称点，连接，当直线与的边平行时，t的值 ．
14．如图，正方形的边长为4，，那么当 时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点）
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点06相似三角形解决实际问题时没有正确的建立模型
【典例】
15．如图，数学活动小组测量了某建筑物的高度（底部不可直接到达），小丽先在点C处用测角仪（高度忽略不计）测得建筑物的顶端N处的仰角；接着，她从点C处沿方向移动到达点B处，在点B处竖立一根长为的标杆，然后继续沿方向移动，当小丽到达点D处时，小丽的眼睛E、标杆的顶端A和该建筑物的顶端N恰好在同一条直线上．经测量，小丽的眼睛到地面的距离，，已知，，，点D、B、C、M在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求该建筑物的高度．（参考数据：，，）
16．如图，小峰想用平面镜测量一棵松树的高度，他把平面镜放在点C处（平面镜的大小忽略不计），然后从点C处沿方向移动到点F处，此时恰好在平面镜中看到松树顶端A的像，但由于树旁有一条河，不能直接测量平面镜与松树之间的距离，于是小峰从点F沿方向移动到点H处，此时他发现自己在太阳光线下的影子顶端和松树在太阳光线下的影子顶端在地面上的点D处重合．已知小峰身高为1.6米（忽略头顶到眼睛的距离，即米）．经测量，米，米，米，已知，，，点B、C、F、H、D在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求松树的高度．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧01：相似三角形基本模型：A字型
【典例】
1．在中，分别为边上的点，与相交于点．
(1)若；
①_____；
②，则_____；
(2)若，，_____．
2．如图，在中，，点在线段上(点不与点，重合)，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，于点，与交于点．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，连接，求证：；
(3)如图③，设与交于点，与交于点，当时，求的面积．
技巧02：相似三角形基本模型：X字型
【典例】
3．已知：如图，在中，点D、E分别在，上，，点F在边上，，与相交于点G．
(1)求证：；
(2)当点E为的中点时，求证：．
4．在矩形中，，的平分线交于点，交射线于点，交射线于点，取的中点，连接．
(1)利用图①，求证：；
(2)若射线交射线于点，当时，请直接写出的面积；
(3)如图②，交于点，若，求的长．
技巧03：相似三角形基本模型：母子型
【典例】
5．如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，的延长线交的延长线于点H，的延长线交的延长线于点G．
(1)求证：．
(2)如果，求证：．
6．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点．
(1)求证：；
(2)如图，若，求证：；
(3)如图，若延长恰好经过点，求的值．
技巧04：相似三角形基本模型：K字型
【典例】
7．如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．
(1)求证：；
(2)求的值．
8．如图，四边形是矩形，，，点在边上，连接，当点不与点、重合时，作线段的垂直平分线，点在边上，点在边上，连接，过点作，交边于点，连接．
(1)求证：；
(2)当时，的面积为 ；
(3)当为等腰直角三角形时，求线段的长；
(4)作点关于的对称点，连接．当时，直接写出的值．
技巧05：相似三角形基本模型：一线三等角型
【典例】
9．如图，在中，，点分别在边上，．
(1)求证：；
(2)如果，，，求的长．
10．在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．

(1)如图1，求证：；
(2)如图1，当时，求的长；
(3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长．
技巧06：相似三角形基本模型：旋转型（手拉手模型）
【典例】
11．如图，在Rt中，，，于点，点是直线上一动点，连接，过点作，交直线于点．
(1)如图1，若，点在线段上，求出的值，并写出证明过程；
(2)①如图2，若点在线段上，则___________（用含，的代数式表示）；
②当点E在直线上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
(3)若，，请直接写出的长．
12．在矩形中，点为射线上一点，连接，以为一边，在的右侧作正方形．
(1)若，如图1，连接，当射线与射线的交点在线段上时．
求证：①；
②点一定在射线上；
(2)如图2，若，，连接，求的最小值．
技巧07：相似三角形与新定义问题
【方法技巧】
这类题型特点是：先给出一个新的几何概念或规则（可能是新名称、新关系、新变换），然后要求运用相似三角形知识去分析或证明结论。
解题思路：
第一步：读懂新定义 用几何语言翻译新定义。 画图理解，尤其注意定义中的几何对象（点、线、角、形）和条件（相等、成比例、共线、共圆等）。 判断新定义中是否有隐藏的比例或角度关系。
第二步：转化为相似三角形问题 新定义中的条件常常可以转化为“某两个三角形角相等”或“某两边成比例且夹角相等”。 可能需添加辅助线构造出这对相似三角形。 注意相似三角形可能有多对，需要选择与结论相关的那一对。
第三步：利用相似性质解题 利用对应边成比例列方程。 利用面积比转化。 若求最值，常结合函数或基本不等式。
【典例】
13．我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”．
(1)如图2， 中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且， ，则的大小是 ；
(2)如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”；
(3)若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值．
14．综合问题：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD为△ABC的完美分割线．
（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）如图2，△ABC中，AC=2，DC=-，BD=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CB长．
技巧08：相似三角形与几何探究综合问题
【方法技巧】
遇到几何探究题时，可按以下步骤分析：
第1步：标记已知条件 在图上标出所有已知的边等、角等、平行、垂直等关系 明确所求：是比例式、线段长、面积比还是证明相似？
第2步：寻找或构造相似形 直接看是否有现成的相似三角形（AA最常见） 若没有，可能需要： 添平行线（造A字/8字） 作垂线（造直角三角形相似） 旋转或对称构造相似
第3步：建立比例关系 确定对应边（一定要对应对应！） 列出比例式，必要时设未知数 ? k 表示相似比
第4步：结合其他几何性质：勾股定理、 三角函数 、圆的性质（圆周角、切线） 、面积法、函数等
【典例】
15．如图，在中，，点为的中点，为上一点．
（1）若，点为上一点．
①如图1，，则的值为_______（直接写出结果）；
②如图2，若点在的延长线上，在的延长线上．试判断之间满足的数量关系并说明理由；
（2）如图3，若于点的延长线交于点．若，请直接写出的值为______．
16．问题发现：
（1）如图1，在中，，，，点为上一点，且，过点作，填空：________，________；
类比探究：
（2）如图2，在（1）的条件下将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，请求出，的值；
拓展延伸：
（3）如图3，和同为等边三角形，且，连接，，将绕（）的中点逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值．
17．如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）联结，当与相似时，求的长．
技巧09：相似三角形与函数综合问题
【典例】
18．已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C，顶点为P，点N在抛物线对称轴上且位于x轴下方，连交抛物线于M，连、．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当时，求M点的横坐标；
（3）如图2，过点P作x轴的平行线l，过M作于D，若，求N点的坐标．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和．
（1）求抛物线的对称轴．
（2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线．
①求抛物线的解析式．
②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．（2024·重庆·中考真题）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（ ）
A．1B．2C．4D．8
3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，已知，则的对应点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（ ）
A．B．4C．D．5
6．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·江苏淮安·中考真题）在平面直角坐标系中，直角三角板按如图位置摆放，直角顶点与原点O重合，点A在反比例函数的图像上，．若点B坐标为，则k的值是（ ）
A．B．C．1D．2
9．（2025·吉林长春·中考真题）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．D．
10．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2024·青海·中考真题）如图，线段交于点O，请你添加一个条件： ，使．
12．（2025·江苏盐城·中考真题）如图，在中，．若，，则 ．
13．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是 ．
14．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形习字格书写的汉字“豫”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“豫”字的笔画“、”在的黄金分割点C处，，若，则的长为 ．（结果保留根号）
15．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，小明在课外实践活动中对一棵大树的高度进行测量．他准备了一根竹竿，将竹竿垂直固定于离大树10m远的处，然后沿着大树底部和竹竿底部所在水平直线由点后退2m至点时，看大树顶部视线恰好经过竹竿的顶端，测得小明的眼睛距地面的高度为1.6m，竹竿长3m，则大树的高度为 m．
16．（2025·山东德州·中考真题）如图，中，，，，分别以为直角边，以B为直角顶点向外作和，且，M，N分别是的中点，连接．若，则的长度为 ．
三、解答题
17．（2023·湖南·中考真题）在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
18．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为：
方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端．
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，）
19．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
20．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点分别是边的中点，与相交于点，连接，．证明：
(1)；
(2)．
21．（2025·四川眉山·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于、两点，与x轴交于点C，点D与点A关于点O对称，连接．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式：
(2)点P在x轴的负半轴上，且与相似，求点P的坐标．
22．（2025·江苏连云港·中考真题）一块直角三角形木板，它的一条直角边长，△ABC的面积为．
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大；
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别求出图3、图4中长方形的面积与的长之间的函数表达式，并分别求出面积的最大值．
23．（2025·山东东营·中考真题）
（1）探索发现
东营市全面落实国家课程方案．某校开设了纸艺课程，三个项目组在折纸活动中发现：在中，，，折叠，使边落在边上，折痕为，则、与的两边、存在着某种关系．如图1，请你帮助项目组判断与的数量关系为____________．
（2）猜想验证
项目组猜想：当为任意三角形时，上述数量关系仍然成立．为了验证这一猜想，项目组按照（1）中的方法折叠，为折痕，分别得出了不同的方案，并画出了以下图形．请选择任意一种方案证明．
（3）拓展应用
如图5，在中，平分交于点，为延长线上一点，．求证：．
24．（2025·四川·中考真题）和中，，．
【初步感知】
（1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程）
【深入探究】
（2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由；
【迁移应用】
（3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长．
小智的思路和方法：
如图1，作，垂足分别为M，N．
因为平分，
所以________．
因为，，
所以，
再用另一种方式表示与的面积，即可推导出结论…
小勇的思路和方法：
如图2，作，交的延长线于点E．
因为平分，
所以，
因为，
所以．
所以．
所以________．
再通过证明
得到比例式，从而推导出结论…
《方法技巧》
“A”字型相似三角形是相似三角形基础的模型之一，是共边共角的两个三角形.
在“A”字型中，平行线是比较关键的，有时候题目中不会给出平行线，需要自己作辅助线，
模型类型
“A”字型相似三角形的基本图形有以下两种：
1.如图①，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC:
2.如图②，若∠AED=∠ABC,则△AED∽△ABC:
《方法技巧》
模型阐释
“X”字型是相似三角形的基础模型之一，是含有对顶角的两个三角形.对顶角所对的边有的平行，有的不平行.“X”字型相似三角形，有的也称为“8”字型相似三角形.
模型类型
“X”字型相似三角形的基本图形有以下两种：
1.如图①，若AB∥CD(或∠B=∠C),则△ABO∽△DCO;
2.如图②，若∠C=∠D,则△ABC∽△AED.
《方法技巧》
模型阐释
由于小三角形在大三角形内部，恰似子依母怀，故被称为“母子”型.
常见的“母子”型有：
一般三角形中的“母子”型；
直角三角形中的“母子”型；
四边形中的“母子”型；
(4)圆中的“母子”型
模型类型
“母子”型相似三角形的基本图形有以下两种：
1.如图①，如果∠ACD=∠ABC,那么△ACD∽△ABC.
2.如图②，在Rt△ABC中，如果∠ACB=90°，且CD⊥AB,那么△ACD∽△ABC∽△CBD.
《方法技巧》
模型阐释
“一线三等角”型是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上的相似图形，这个等角可以是直角，也可以是锐角或钝角.“一线三等角”型也叫“K”字型或“M”字型，
一般情况下，已知一条直线上有两个等角或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似三角形.
模型类型
“一线三等角”型相似三角形的基本图形有以下几种：
1.如图①，若∠1=∠2=∠3，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD).
2.如图②，若∠1=∠2=∠3=90°，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD).
3.如图③，若∠1=∠2=∠3，则△ABCC∽△CDE(△ACPC∽△BPD).
4.如图④，若∠1=∠2=∠3，D是BC的中点，则△BDE∽△DFE∽△CFD,
《方法技巧》
模型阐释
“一线三等角”型是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上的相似图形，这个等角可以是直角，也可以是锐角或钝角.“一线三等角”型也叫“K”字型或“M”字型，
一般情况下，已知一条直线上有两个等角或一个直角时，可构造“一线三等角”型相似三角形.
模型类型
“一线三等角”型相似三角形的基本图形有以下几种：
1.如图①，若∠1=∠2=∠3，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD).
2.如图②，若∠1=∠2=∠3=90°，则△ABC∽△CDE(△ACP∽△BPD).
3.如图③，若∠1=∠2=∠3，则△ABCC∽△CDE(△ACPC∽△BPD).
4.如图④，若∠1=∠2=∠3，D是BC的中点，则△BDE∽△DFE∽△CFD,