中考数学二轮复习训练专题07 三角形相似模型（2份，原卷版+解析版）

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模型一：简单相似模型
【典例1】（2025•雷州市二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠DBC＝∠A．若AC＝4，sinA=35，则BD的长度为（ ）
A．94B．154C．125D．4
【变式1-1】（2025•双塔区校级模拟）如图，在△ABC中，DE∥BC，且AD＝6，DB＝4，BC＝15，则DE的长度为（ ）
A．6B．9C．10D．12
【变式1-2】（南通）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，则S△ADES△ABC= ．
【典例2】（营口）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将AC绕着点C按顺时针旋转60°得到CD，连接BD交AC于点E，则AEED= ．
【变式2-1】（2025•深圳模拟）如图是”小孔成像”的原理示意图，蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是（ ）
A．12cmB．10cmC．8cmD．6cm
【变式2-2】（2025•吐鲁番市二模）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与“小孔”的距离是光屏与“小孔”距离的一半，且蜡烛与光屏始终垂直于水平面，当蜡烛火焰的高度AB为1.6cm时，所成的像A′B′的高度为 cm．
题型二：一线三等角相似模型
【典例】（2025•宿松县三模）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝AB，以BC为直径的半⊙O与边AD相切于点E．
（1）求证：∠BCE＝∠DCE；
（2）若CD=2，求DE的长．
【变式1】（2026•遂宁一模）如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．
（1）若AP＝3，求BD的长；
（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．
【变式2】（2025•聊城模拟）如图，直线y=3x+3与双曲线y=23x（x＞0）的交点为A，与x轴的交点为B．
（1）求∠ABO的度数；
（2）求AB的长；
（3）已知点C为双曲线y=23x（x＞0）上的一点，当∠AOC＝60°时，求点C的坐标．
模型三：旋转相似模型（手拉手）
【典例】（2025•昆山市模拟）如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，BEBF=43，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ．
【变式1】（2024•宁明县三模）如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝3，AC＝4，点D在线段BC上运动，P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 ．
【变式2】（2024•武进区校级一模）如图，AB⊥BC，AB＝BC＝4，以AB为直径作半圆O，D是半圆O上一个动点，连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°到CE，连接AE，则AE的最小值是 ．
模型四：三角形内接矩形相似
【典例】（东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ．
【变式1】（2025•梧州二模）如图，当驾驶员的眼睛点P与地面BE的距离为1.6米时，BE是驾驶员的视觉盲区，车头AFDC近似地看成是矩形，且AF：FD＝3：2，若BE的长度为5.6米，则车宽CD的长度大约是（ ）
A．1.12米B．1.15米C．1.58米D．1.68米
【变式2】（2025•蚌山区三模）如图，在△ABC中，∠A＝90°，矩形DEFG的顶点D，G分别在边AB、AC上，E，F在边BC上．若DG=2DE，BC=493，BE=3，则矩形DEFG的面积为（ ）
A．16B．24C．32D．36
模型五：射影定理（拓展）
【典例】（北京二模）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE⊥BC交BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接AC，若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝2，求EC和AC的长．
【变式1】（金华模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，点P是直线CD上（不与点C重合）的动点，连结BP，过点B作BP的垂线分别交直线AD、直线CD于点E、F，连结PE．
（1）如图，当AD＝4，点P是CD的中点时，求tan∠EBA的值；
（2）当AD＝2时，
①若△DPE与△BPE相似，求DP的长．
②若△PEF是等腰三角形，求DE的长．
【变式2】（2025•宿迁模拟）在矩形ABCD中，点E为射线BC上一动点，连接AE．
（1）当点E在BC边上时，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．
①如图1，若BC=3AB，求∠AFD的度数；
②如图2，当AB＝4，且EF＝EC时，求BC的长．
（2）在②所得矩形ABCD中，将矩形ABCD沿AE进行翻折，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．
1．（2025•诸暨市三模）如图，已知AB为⊙O直径，弦AC，BD相交于点E，点M在AE上，连结DM．若AB＝1，∠DMC＝∠B，则cs∠AED的值始终等于线段长（ ）
A．DMB．EMC．AMD．CM
2．（2025•珠海校级三模）如图，在正方形ABCD中，点E是边AD上一点，将正方形沿BE翻折，使点A落在点F处，连接AF并延长交BE于点G、交CD于点H，若AB＝12，DH＝5，则EG的长为 ．
3．（2025•东营一模）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，作AF⊥DE于点F，沿虚线分割再重新拼接（无重叠无缝隙）成四边形GBCH．若DE＝4，AF＝3，则四边形DBCE的面积为 ．
4．（2025•无棣县一模）如图是凸透镜成像示意图，BD是蜡烛AC通过凸透镜MN所成的像．已知蜡烛AC离凸透镜MN的水平距离OA为30cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，光线CE∥OF，则像BD离凸透镜MN的水平距离为 cm．
5．（2025•苏州二模）如图，AB＝2，∠ABF＝90°，AB＝AC，E在线段BC的延长线上，且BE＝BF．G在线段AF上，I在射线BG上，连接IE．作GH⊥FB，若GH=2BFBF+2，BC×BF＝24，若始终保持∠IEB＝90°，求BI的最小值为 ．
6．（2025•盱眙县模拟）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BD＝2，AD＝8，求S△ABC．
7．（2025•台儿庄区模拟）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到BCAC= AEDE .我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B．
①求证：△ABP∽△PCD；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
8．（2025•德阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝4cm，动点E从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，以AE为直径作⊙O，与AB交于点D，连接DE．设运动时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：
（1）t取何值时，BE平分∠ABC；
（2）设△DCE的面积为y，求y与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使CD与⊙O相切？若存在，求出t的值；若不存在说明理由．
9．（2025•威海一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于两点A（﹣1，0）、B（4，0），于y轴交于点C，且△ABC为直角三角形．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在该抛物线上是否存在点P，能使点P满足S△PAC＝S△PBC，若存在，求出所有点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）将△ABC绕平面内一动点Q（m，m）旋转180°后所得△A'B'C'与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围 ．
10．（2025•江汉区模拟）已知等边三角形ABC中，D，E分别是在边AC，AB上，且CD＝nAE．
（1）如图1，若n＝1，ADAC=35，CE，BD交于点F．
①求证：△ABD≌△BCE；
②求CFBF的值；
（2）如图2，若n＝2，直接写出DEBD的最小值 ．
11．（2025•龙泉驿区模拟）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和△ADE中，AB＝AD＝3，BC＝DE＝4，∠ABC＝∠ADE＝90°．
【初步感知】
（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究BDCE的值；
【深入探究】
（2）如图2，在纸片ADE绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于90°），直线BD与CE交于点F；
①求证：CF＝EF；
②当∠BAD＝∠BCA时，求BF的长；
【拓展延伸】
（3）在纸片ADE绕点A逆时针旋转过程中（旋转角不大于90°），试探究C，D，F三点能否构成等腰三角形，若能，直接写出DF的长；若不能，请说明理由．
12．（2025•东海县模拟）综合与实践：
【新知定义】如图1，若∠BAC＝∠DAE，ABAC=ADAE，则△ABC∽△ADE．小明称图1中的△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”．
【新知探究】
（1）如图2，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝4，D为BC的中点．以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE，则CE的长为 ；
（2）在图1中，连接BD，CE，求证：△ABD∽△ACE；
【变式应用】
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，AD为一边在AD右侧作△ADE，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE，连接CE，求CE的长；
【综合应用】
（4）如图4，若∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝1，若D点在线段BC上运动(BD＜12BC，且点D不与点B重合），以AD为一边在AD右侧作△ADE，且△ABC和△ADE互为“手拉手等形三角形”，连接CE．以AD、AE为边构造矩形ADFE，连接CF．直接写出△CEF面积的最大值及此时BD的长度．
模型大招
1.A字型与反A字型相似
2.8字型与反8字型相似
3.蝴蝶型相似
模型大招
模型大招
模型大招
如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.
模型大招
（1）双垂直，如图：
结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；
②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；
③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.
（2）斜射影相似
结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.