中考数学二轮复习训练专题11 中考函数与几何模型核心探究（4大类型17种题型）（专项训练）（2份，原卷版+解析版）

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目录
考点一：函数与一线三等角模型
（该专题含等腰/直角三角形存在性内容）
题型一 一次函数与一线三垂直模型
1．（2025·广西柳州·二模）综合与探索
【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，过点A作AD⊥l交于点D，过点B作BE⊥l交于点E，易得△ADC≌△CEB，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】如图2，在直角坐标系中，直线l1：y=2x+4分别与y轴，x轴交于点A、B，
(1)直接写出OA=______，OB=______；
(2)将直线AB绕点A顺时针旋转90°得直线AE，求出直线AE解析式：
小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角△ABE，使得∠BAE=90°，AB=AE，根据K型全等和坐标之间的关系，求出点E的坐标为______；通过A，E两点坐标求出直线AE的解析式______；
(3)如图3，将直线l1绕点A顺时针旋转45°得到l2，求l2的函数解析式．
【答案】(1)4，2；
(2)−4,6，y=−12x+4；
(3)l2的函数表达式为y=13x+4．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）由l:y=2x+4即可求出点A的坐标为0,4，点B的坐标为−2,0，从而求解；
（2）根据“k型全等”证明△EAM≌△ABOAAS，则有点E的坐标为−4,6，设AE解析式为y=k1x+b1，然后把A，E坐标代入求解即可；
（3）过点B作BC⊥l2交l2于点C，过点A作AD⊥y轴，过点C作CN⊥x轴与AD交于点D，与x轴交于点N，证明△ACD≌△CNBAAS，则有CD=NB，设CD=x，则BN=x，AD=2+x，得出C−3,3，最后通过待定系数法即可求解．
【详解】（1）解：如图2，在直角坐标系中，直线l:y=2x+4分别与y轴，x轴交于点A、B，
令x=0，解得y=4，令y=0，得0=2x+4，解得：x=−2，
∴点A的坐标为0,4，点B的坐标为−2,0，
∴OA=4，OB=2，
故答案为：4，2；
（2）解：过点E作EM⊥y轴于M，如图，
则∠AEM+∠EAM=90°，
∵EA⊥AB，
∴∠EAM+∠BAO=90°，
∴∠AEM=∠BAO，
∵AB=AE，∠EMA=∠AOB=90°，
∴△EAM≌△ABOAAS，
∴EM=OA=4，AM=OB=2，
∵OM=OA+AM=4+2=6，
∴点E的坐标为−4,6，
设AE解析式为y=k1x+b1，
∴−4k1+b1=6b1=4，解得：k1=−12b1=4，
∴AE解析式为y=−12x+4，
故答案为：−4,6，y=−12x+4；
（3）解：过点B作BC⊥l2交l2于点C，过点A作AD⊥y轴，过点C作CN⊥x轴与AD交于点D，与x轴交于点N，如图，
∵∠BCA=90°，∠BAC=45°，
∴∠BAC=∠CBA=45°，
∴AC=BC，
∵∠DCA+∠DAC=90°=∠DCA+∠NCB，
∴∠DAC=∠NCB，
∵∠ADC=∠BNC=90°，
∴△ACD≌△CNBAAS，
∴CD=NB，
设CD=x，则BN=x，AD=2+x，
∴CN=2+x，
∴2+x+x=4，解得x=1，
∴C−3,3，
∴设直线AC解析式为y=k2x+b2
3=−3k2+b24=b2，解得k2=13b2=4，
∴l2的函数表达式为y=13x+4．
2．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形OABC中，点O为坐标原点，点A的坐标为0,3，点C的坐标为4,0，点P在BC边上，直线l的解析式为y=2x−3，直线l交AB于点D，交OC于点E．
(1)如图1，连接AE，求D，E的坐标；
(2)如图2，若以AE和EP为邻边作矩形AEPQ，求过点Q的反比例函数的表达式；
(3)如图3，在第一象限内，直线l上是否存在点M，使△APM是等腰直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)D3,3，E32,0
(2)y=10.625x
(3)M点坐标为103,113或2,1或143,193
【分析】（1）根据点E在直线l上，当y=0时解出x的值即可求出点E的坐标，根据D、A的纵坐标相等，再代入直线l上，即可求出点D的坐标；
（2）设P的坐标为4,a，根据矩形性质以及等腰直角三角形性质，当∠EAP=90°时，P在BC外边，故不成立；当∠AEP=90°时，利用勾股定理求出P点坐标，设点Qm,n，结合矩形对边相等即可求出Q点坐标，再设反函数解析式，代入求解即可；
（3）分三种情况：①当∠AMP=90°时，M在AP上方与M在AP下方时，通过三角形全等得到对应边相等，进行求解；②当∠MAP=90°时，在AP上方，同样的方法进行求解，得到P不在BC边上，不符合题意；当∠APM=90°时，且M在第一象限，以同样的方法结合全等三角形求解即可．
【详解】（1）解：∵OABC为矩形，点A的坐标为0,3，点C的坐标为4,0，
∴OA=BC=3，AB=OC=4，
∵直线l的解析式为y=2x−3，
当y=0，2x−3=0，
∴x=32，
∴E32,0，
∵OA=BC=3，
∴yD=yA=3，
∴3=2x−3，解得：x=3，
∴D3,3；
（2）设P的坐标为4,a，
∵四边形AEPQ为矩形，
∴△AEP为直角三角形，
当∠AEP=90°时，
AE=322+−32=454，
AP=42+a−32=16+a−32，
PE=4−322+a2=254+a2，
∵AP2=AE2+PE2，
∴16+a−32=454+254+a2，
解得：a=54，
∴P4,54，
设点Qm,n，
∵xA+xP=xE+xQyA+yP=yE+yQ，
∴0+4=32+m3+54=0+n，
∴m=52n=174，
∴Q52,174，
设过点Q的反比例函数为y=kx，
∴174=k52，解得：k=10.625，
过点Q的反比例函数为y=10.625x；
（3）使△APM是等腰直角三角形，
设P4,a，Mb,2b−3，
①当∠AMP=90°时，如下图，M在AP上方，过点M作FG∥AB交y轴于F，交CB与延长线于G，
∵△APM是等腰直角三角形，
∴AM=PM，∠AMP=90°，
∴∠FMA+∠PMG=∠FMA+∠FAM=90°，
∴∠FAM=∠GMP，
又∵∠MFA=∠MGP=90°，
∴△AFM≌△MGP，
∴AF=MG，FM=GP，
∴2b−3−3=4−bb=2b−3−a，解得：a=13b=103，
∴M103,113；
M在AP下方，如下图，过点M作FM∥AB交y轴于F，延长线交BC于G，
∵△APM是等腰直角三角形，
同理可证△AFM≌△MGP，
∴AF=MG，FM=GP，
∴3−2b−3=4−bb=a−2b−3，解得：a=3b=2，
∴M2,1，
∴当∠AMP=90°时，M的坐标为103,113或2,1；
②当∠MAP=90°时，如下图，M在AP上方，过点P作PG⊥y轴于G，
∵△APM是等腰直角三角形，
同理可证△AFM≌△CGA，
∴AF=CG，FM=AG，
∴2b−3−3=4b=3−a，解得：a=−2b=5，
此时P不在BC边上，不符合题意；
③当∠APM=90°时，且M在第一象限，如下图，过点P作PF∥OC交y轴于F，与MG⊥FG交于点G，
∵△APM是等腰直角三角形，
同理可证△AFP≌△PGM，
∴AF=PG，FP=MG，
∴3−a=b−44=2b−3−a，解得：a=73b=143，
∴M143,193，
综上所述M点坐标为103,113或2,1或143,193．
【点睛】本题考查了一次函数的综合题，矩形的性质，等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角坐标系中两点间的距离，反比例函数解析式，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键．
3．（2025·河北廊坊·一模）【模型呈现】
（1）如图1，△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA；
【模型应用】
（2）如图2，将图1放置在平面直角坐标系中，若点B的坐标为(−1,2)，则点A的坐标是______；
（3）如图3，直线l:y=−2x+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标为(−2,0)，点D为直线l上一动点，连接DC，将线段DC绕点C顺时针旋转90°得到线段EC，请直接写出OE2的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）2,1；（3）165
【分析】（1）根据同角的余角相等证明∠CBE=∠ACD，再证△BEC≌△CDAAAS；
（2）同（1）可证△BEC≌△CDA，根据全等三角形对应边相等即可求解；
（3）过点D作DG⊥x轴，过点E作EH⊥x轴，设Dt,−2t+2，则OG=−t，DG=−2t+2，同（1）可证△DGC≌△CHEAAS，用含t的式子表示出点E的坐标，再用含t的二次函数表示出OE2，将二次函数化为顶点式，即可求出OE2的最小值．
【详解】（1）证明：∵ AD⊥ED，BE⊥ED，
∴ ∠BEC=∠CDA=90°，
∴ ∠BCE+∠CBE=90°，
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠BCE+∠ACD=90°，
∴ ∠CBE=∠ACD，
在△CBE和△ACD中，
∠BEC=∠CDA∠CBE=∠ACDBC=CA
∴ △BEC≌△CDAAAS；
（2）解：∵点B的坐标为(−1,2)，
∴ BE=2，CE=1，
同（1）可证△BEC≌△CDA，
∴ CD=BE=2，AD=CE=1，
∴点A的坐标是2,1，
故答案为：2,1；
（3）过点D作DG⊥x轴，过点E作EH⊥x轴，
设Dt,−2t+2，则OG=−t，DG=−2t+2，
∵ DG⊥x轴，EH⊥x轴，
∴ ∠DGC=∠CHE=90°，
∴ ∠DCG+∠CDG=90°，
∵ ∠DCE=90°，
∴ ∠DCG+∠ECH=90°，
∴ ∠CDG=∠ECH，
在△CBE和△ACD中，
∠DGC=∠CHE∠CDG=∠ECHCD=EC
∴ △DGC≌△CHEAAS，
∴ CG=HE，DG=CH=−2t+2，
∵ C(−2,0)，
∴ OC=2，
∴ OH=CH−OC=−2t，EH=OC−OG=2+t，
∴ E−2t,−2−t，
∴OE2=4t2+2+t2=5t2+4t+4=5t+252+165≥165，
∴ OE2的最小值为165．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，二次函数的应用，勾股定理等，第3问有一定难度，用二次函数表示出OE2的值是解题的关键．
题型二 反比例函数与一线三垂直模型
1．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数y=3x+3的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数y=kx的图象经过点A，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，则k的值为 ．
【答案】−12
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作AD⊥y轴于点D，并延长交直线于点E，证明△ACD≌△CBOAAS，由全等三角形的性质得出AD=OC=3，CD=OB=1，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数y=kx即可求出k的值．
【详解】解：一次函数y=3x+3中，
令x=0，得y=3，
令y=0，则0=3x+3，
解得x=−1，
∴B点坐标为−1,0，C点坐标为0,3，
过点A作AD⊥y轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶
∵∠ACE=90°，
∴∠ACD+∠DCE=90°，
∵∠BCO+∠CBO=90°，∠DCE=∠BCO，
∴∠ACD=∠CBO，
在△ACD和△CBO中
∠ADC=∠COB=90°∠ACD=∠CBOAC=BC
∴△ACD≌△CBOAAS，
∴AD=OC=3，CD=OB=1，
∵C0,3，CD=1，
∴OD=OC+CD=4，
∴A点坐标为−3,4，
将A−3,4代入反比例函数y=kx
解得k=−12，
故答案为：−12．
2．（2025·四川广元·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，当30°直角三角板ABC的直角顶点落在C6,0处时，锐角顶点A、B9,m恰好落在反比例函数y=kx第一象限的图象上．
(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)反比例函数表达式为y=93x，直线AB所对应的一次函数的表达式为y=−33x+43
(2)存在，△ABP周长的最小值为221+43，理由见解析
【分析】（1）过点A，B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，求出AC=AB2−BC2=3BC，证明△ACD∽△CBE，得ADCE=CDBE=ACBC=3，A6−3m,33，求出m=3，k=93，A3,33，B9,3，得反比例函数的表达式为y=93x，求出直线AB解析式y=−33x+43；
（2）作点B关于x轴的对称点F，过点F作FG⊥AD交AD延长线于点G，连接AF交x轴于点P，可得F9,−3，G3,−3，求出 AF=AG2+FG2=221，AB=9−32+3−332=43，即得△ABP周长的最小值．
【详解】（1）解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
∴AC=AB2−BC2=3BC，
过点A，B作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，
则∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
∴△ACD∽△CBE，
∴ADCE=CDBE=ACBC=3，
∵B9,m，C6,0，
∴CE=9−6=3，BE=m，
∴AD=3CE=33，CD=3BE=3m，
∴A6−3m,33 ，
∵点A，B都在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=336−3m=9m，
解得m=3，
∴k=93，A3,33，B9,3，
∴反比例函数的表达式为y=93x，
设直线AB解析式为y=ax+b，
∴3a+b=339a+b=3，
解得a=−33b=4３，
∴直线AB解析式为y=−33x+43．

（2）解：△ABP周长存在最小值221+43．理由：
作点B关于x轴的对称点F，过点F作FG⊥AD交AD延长线于点G，连接AF交x轴于点P，
则PB=PF，
∴AP+BP=AP+PF=AF，
此时，AP+BP的值最小，△ABP的周长最小，
∵A3,33，B9,3，
∴F9,−3，G3,−3，
∴AG=33+3=43，FG=9−3=6，
∴AF=AG2+FG2=221，
∵AB=9−32+3−332=43，
∴△ABP周长的最小值为AP+BP+AB=221+43．
【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合．熟练掌握含30度的直角三角形性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数和一次函数的图象和性质，轴对称性质，是解题的关键．
3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数y=−2x和y=kxk>0的图像上，点A的横坐标为−1，点B的横坐标为nn>3，点C的坐标为3,0，AC⊥BC，AC=2BC．

(1)求点A、B的坐标和反比例函数y=kxk>0的表达式；
(2)点D、E分别在反比例函数y=kxk>0和y=−2x的图像上，与点A、B构成以AB为边的平行四边形，则点D、E的坐标分别为_____、_____．
【答案】(1)A−1,2，B4,2，y=8x
(2)D−4,−2,E1,−2
【分析】本题考查反比例函数图象和性质，相似三角形的性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）由AC⊥BC可得△ACF∼△CBN，利用对应边成比例及AC=2BC可求出A、B两点坐标，则反比例函数y=kxk>0的表达式可求．
（2）由A、B两点坐标可知AB∥x轴，根据点D、E分别在反比例函数y=8x和y=−2x的图像上，设出两点坐标，因为D、E与点A、B构成以AB为边的平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标为−1，且点A在反比例函数y=−2x的图象上，代入得：
y=−2−1=2，
∴A−1,2，
作AF⊥x轴，BN⊥x轴，如图，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACF+∠BCN=90°，
∵∠CBN+∠BCN=90°，
∴∠ACF=∠CBN，
∵∠AFC=∠BNC=90°，
∴△AFC∼△CNB，
∵AC=2BC，
∴BNFC=CNAF=12，
∵A−1,2，点C的坐标为3,0，
∴BN4=CN2=12，
∴BN=2，CN=1，
∴ON=OC+CN=4，
∴B4,2，
∵B4,2在反比例函数y=kxk>0的图像上，代入得：
k=2×4=8，
∴反比例函数解析式为y=8x；
（2）解：∵D、E分别在反比例函数y=8x和y=−2x的图像上，
∴设Da,8a，Eb,−2b，
∵A−1,2，B4,2，
∴AB∥x轴，且AB=5，
∵D、E与点A、B构成以AB为边的平行四边形，
∴AB∥DE，且DE=AB，如图，
∴DE∥x轴，且DE=5，
∴a−b=5①8a=−2b②
由②得：a=−4b，
代入①得： −4b−b=5
解得：b1=1,b2=−1（舍），
则a=−4，
∴D−4,−2,E1,−2．
故答案为：D−4,−2,E1,−2．
4．（2025·四川达州·一模）已知一次函数y1=12x+2与反比例函数y2=kxk≠0的图象交于A2,m、B两点，交y轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)若点A关于原点的对称点为A'，求△AA'B的面积；
(3)探究：在y轴上是否存在一点P，使得△ABP为等腰直角三角形，且直角顶点为点P，若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y2=6x，B−6,−1
(2)16
(3)P(0,−3)
【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数与反比例函数的交点，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）将点A坐标代入解析式可求m，联立方程组，即可求解；
（2）过点A'作A'M∥CO，交AB于点M，求出点M的坐标，由三角形的面积公式可求解；
（3）过点A作AE⊥y轴于E，BD⊥y轴于D，由“AAS”可证△BPD≌△PAE，可得BD=PE=6，即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数y1=12x+2图象过点A，
∴m=12×2+2=3，
∴A(2,3)，
∵反比例函数y2=kx的图象过点A(2,3)，'
∴k=2×3=6，
∴反比例函数的表达式为y2=6x，
由y=12x+2y=6x，
解得x=2y=3或x=−6y=−1，
∴B点的坐标为−6,−1；
（2）解：如图，过点A'作A'M∥CO，交AB于点M，
∵A(2,3)，
∴点A关于原点的对称点为A'的坐标为(−2,−3)，
把x=−2代入y1=12x+2，
可得y1=1，
∴M−2,1，
∴MA'=4，
∴S△AA'B=S△A'BM+S△AA'M=12×4×2+6=16；
（3）解：如图，过点A作AE⊥y轴于E，BD⊥y轴于D，
∴∠AEP=∠BDP=90°，
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴BP=AP，∠APB=90°=∠AEP=∠BDP，
∴∠APE+∠BPD=90°=∠APE+∠PAE，
∴∠BPD=∠PAE，
∴△BPD≌△PAE(AAS)，
∴BD=PE=6，
∵E0,3，
∴点P(0,−3)．
题型三 二次函数与一线三垂直模型
1．（2025·四川凉山·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过A−3,0，B1,0，C0,−3三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在直线AC下方的抛物线上运动，求点P到直线AC的最大距离；
(3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线QA，若射线QA绕点Q逆时针旋转90°与抛物线交于点D，是否存在点Q使AQ=QD？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2+2x−3
(2)928
(3)存在点Q使AQ=QD，此时点Q的坐标为−1,−1或−1,2
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出直线AC的解析式为y=−x−3；过点P作PE∥y轴交AC于E，连接AP，CP，设Pp,p2+2p−3−30）的图象相交于点A，OB=1，tan∠OBC=2，BC:CA=1:2．点D是线段AB上任意一点，过点D作y轴平行线，交反比例函数的图象于点E，连接BE．当△BDE面积最大时，点D的坐标是（ ）．
A．−12,1B．1,−12C．1,−1D．−1,−12
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，二次函数的性质，锐角三角函数函数等，过点A作AF⊥x轴于点F，由△BCO∽△ACF可得OB:AF=OC:CF=BC:AC=1:2，由锐角三角函数得OC=2，即得AF=2，CF=4，进而可得A6,2，即可得反比例函数解析式为y=12x，再求得一次函数解析式y=12x−1，设Dt,12t−1，则Et,12t，即得ED=12t−12t−1=12t−12t+1，由三角形面积公式得到S△BDE=12xE−xB×ED=−14t−12+254，最后根据二次函数的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，则AF∥y轴，
∴△BCO∽△ACF，
∴OB:AF=OC:CF=BC:AC=1:2，
∵OB=1，tan∠OBC=2，
∴OC=2，
∴AF=2，CF=4，
∴OF=OC+CF=2+4=6，
∴A6,2，
∵点A在反比例函数y=mx上，
∴m=6×2=12，
∴反比例函数解析式为y=12x，
∵OB=1，OC=2，
∴B0,−1，C2,0，
把B0，−1，C2,0代入y=kx+b得，
−1=b0=2k+b，
解得k=12b=−1，
∴一次函数解析式y=12x−1，
设Dt,12t−1，则Et,12t，
∴ED=12t−12t−1=12t−12t+1，
∴S△BDE=12xE−xB×ED=12×t×12t−12t+1=−14t−12+254，
∵点D是线段AB上任意一点，
∴0≤t≤6，
∴当t=1时，△BDE的面积最大，
∴D1,−12，
故选：B．
2．（2025·安徽阜阳·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2+bx过点A−2,−2，点B6,−6．
（1）该抛物线的顶点坐标为 ．
（2）点C是AB上方抛物线上一动点（不与点A，B重合），连接AC，BC，则△ABC面积的最大值为 ．
【答案】 1,14 16
【分析】（1）先根据抛物线y=ax2+bx经过点A(−2,−2)，B(6,−6)，求出抛物线的解析式，再化为顶点式求出该抛物线的顶点坐标；
（2）先利用待定系数法求得直线AB，再设过点C且与直线AB平行的直线解析式为y=−12x+m，根据当直线y=−12x+m与抛物线y=−14x2+12x有唯一的公共点，求出m=1，从而可得关于x的方程求出x=2，从而可得C(2,0)，进而可求得点D的坐标，再求出此时△ABC的面积即可．
【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx经过点A(−2,−2)，B(6,−6)，
∴4a−2b=−236a+6b=−6，解得a=−14b=12，
∴y=−14x2+12x=−14(x−1)2+14，
∴该抛物线的顶点坐标为1,14；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b1，
∵A−2,−2，点B6,−6，
∴−2k+b1=−26k+b1=−6，解得：k1=−12b1=−3
∴直线AB的解析式为y=−12x−3，
设过点C且与直线AB平行的直线解析式为y=−12x+m，
当直线y=−12x+m与抛物线y=−14x2+12x有唯一的公共点，
则点C到AB的距离最大，
∴△ABC面积最大，
∴关于x的方程−14x2+12x=−12x+m有两个相等的实数根，
∴x2−4x+4m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=16−16m=0，解得：m=1，
∴过点C且与直线AB平行的直线解析式为y=−12x+1，
∴−14x2+12x=−12x+1，解得：x=2，
∴C(2,0)．
作CD∥y轴交AB于点D，
则点D的横坐标为2，
又点D在直线AB上，
∴y=−12×2−3=−1−3=−4，
∴点D的坐标为(2,−4)，
∴此时△ABC的面积=12CD⋅xB−xA=12×[0−(−4)]×[6−(−2)]=16．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，解题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式．
3．（2025·福建三明·二模）如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中B3，0，C0，3．
(1)求该二次函数的顶点坐标；
(2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第一象限，△PBC的面积是△ABC面积的一半，求点P的坐标．
【答案】(1)1,4
(2)P1,4或P2,3
【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程综合.
（1）将B3，0，C0，3代入y=−x2+bx+c求出解析式，化为顶点式即可；
（2）先求出A−1，0，进而求出S△ABC=6，S△PBC=3，设直线BC的解析式为y=kx+d，求得直线BC的解析式为y=−x+3，设Pa,−a2+2a+3，得到PD=−a2+3a，根据S△PBC=−32a2+92a列方程计算即可.
【详解】（1）将B3，0，C0，3代入y=−x2+bx+c得
−9+3b+c=0c=3
解得b=2c=3
∴y=−x2+2x+3=−x−12+4
∴该二次函数的顶点坐标为1,4
（2）当y=0时，−x2+2x+3=0，
解得x1=−1，x2=3
∴A−1，0
∴S△ABC=12×4×3=6，
∵△PBC的面积是△ABC面积的一半，
∴S△PBC=3
设直线BC的解析式为y=kx+d，
将B3，0，C0，3代入得
3k+d=0d=3
解得k=−1d=3
∴直线BC的解析式为y=−x+3，
作PD⊥x轴交BC于D，
设Pa,−a2+2a+3，
则Da,−a+3
∴PD=−a2+2a+3−−a+3=−a2+3a
∵S△PBC=12×PD×BO=−32a2+92a
∴−32a2+92a=3
整理得a2−3a+2=0
解得a1=1，a2=2，
当a=1时，P1,4
当a=2时，P2,3.
题型二 割补法求面积
1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数y1=k1x+bk1≠0的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数y2=k2xk2≠0,x>0的图象交于点C1,2，Dm,12．下列结论错误的是（ ）
A．b=52B．△BOC与△AOD的面积相等
C．△COD的面积是174D．当1≤x≤4时，y1≥y2
【答案】C
【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键．
先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令y=0，x=0，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项．
【详解】解：∵反比例函数y2=k2x的图象过点C1,2，
∴k2=2，
∴反比例函数为y2=2x，
∵反比例函数y2=2x的图象过点Dm,12，
∴12=2m，解得m=4，
∴D4,12，
∵一次函数y1=k1x+b的图象过点C1,2，D4,12，
∴k1+b=24k1+b=12，
解得k1=−12b=52，
故A选项正确；
∴一次函数的解析式为y1=−12x+52．
∵对于一次函数y1=−12x+52，令x=0，则y=52；
令y=0，则−12x+52=0，
解得x=5，
∴A5,0，B0,52，
∴AO=5，BO=52，
∴S△AOB=12AO⋅BO=12×5×52=254，
S△BOC=12BO⋅xC=12×52×1=54，
S△AOD=12OA⋅yD=12×5×12=54，
∴S△BOC=S△AOD，故B选项正确；
S△COD=S△AOB−S△BOC−S△AOD=254−54−54=154，故C选项错误；
∵一次函数y1=−12x+52的图象与反比例函数y2=2x的图象交于点C1,2，D4,12，
∴由图象可得当1≤x≤4时，y1≥y2，故D选项正确．
故选：C．
2．（2025·山东淄博·中考真题）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上的点，且OD=12BD，经过点D的反比例函数y=kx的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，EF，若△OBF的面积是24，则△OEF的面积为（ ）
A．25B．26C．793D．803
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，设A点坐标为(a,0)，点C的坐标为(0,b)，得到点D，E，F的坐标，然后求出BF和BE的长，然后根据三角形面积公式求出ab的值，再根据S△OEF=S矩形OABC−S△OCF−S△OEA−S△BEF解答即可．
【详解】解：设A点坐标为(a,0)，点C的坐标为(0,b)，
则点B的坐标为(a,b)，点D的坐标为(13a,13b)，
又∵点D在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=13a×13b=19ab，
又∵点E，F在反比例函数的图象上，
∴点F的坐标为(19a,b)，点E的坐标为(a,19b)，
∴BF=a−19a=89a，BE=b−19b=89b，
∴S△OFB=12BF×OC=12×89ab=24，
解得ab=54，
∴S△OEF=S矩形OABC−S△OCF−S△OEA−S△BEF
=ab−12×19ab−12×19ab−12×89a×89b
=4081ab
=803，
故选：D．
3．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx的图象与一次函数y=ax+b的图象交于点A−1,6，Bm,−2．
(1)求反比例函数、一次函数的表达式；
(2)求△OAB的面积．
【答案】(1)反比例函数的表达式为y=−6x，一次函数的表达式为y=−2x+4
(2)8
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的应用是解题关键．
（1）将点A−1,6代入可得反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可得；
（2）设一次函数的图象与x轴的交点为点C，先求出点C的坐标，再根据△OAB的面积等于△AOC与△BOC的面积之和即可得．
【详解】（1）解：由题意得：将点A−1,6代入y=kx得：k=−1×6=−6，
所以反比例函数的表达式为y=−6x；
将点Bm,−2代入y=−6x可得：m=−6−2=3，
∴B3,−2，
将点A−1,6，B3,−2代入y=ax+b得：−a+b=63a+b=−2，解得a=−2b=4，
所以一次函数的表达式为y=−2x+4．
（2）解：如图，设一次函数的图象与x轴的交点为点C，
将y=0代入一次函数y=−2x+4得：−2x+4=0，解得x=2，
∴C2,0，
∴OC=2，
由（1）已得：A−1,6，B3,−2，
∴△AOC的OC边上的高为6=6，△BOC的OC边上的高为−2=2，
∴△OAB的面积为S△AOC+S△BOC=12×2×6+12×2×2=8．
4．（2025·山西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点C．已知点A的坐标为(−2,0)，点C的坐标为(1,6)，点D在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，纵坐标为2．
(1)求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标；
(2)连接BD，OD，请直接写出四边形ABDO的面积．
【答案】(1)y=6x，(0,4)
(2)10
【分析】（1）把点C的坐标代入反比例函数解析式中，求得k的值，即可求得反比例函数解析式；由A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，令x=0，求出y的值，即可得点B的坐标；
（2）点D在反比例函数的图像上，纵坐标为2，则可求得点D的横坐标，利用四边形ABDO的面积等于△AOB，△BOD面积的和即可求解．
【详解】（1）解：∵点C的坐标为(1,6)，且在反比例函数y=kx(x>0)的图像上，
∴6=k1，即k=6，
∴反比例函数的解析式为y=6x；
设直线AC的解析式为y=ax+b(a≠0)，把A、C两点坐标分别代入得：
−2a+b=0a+b=6，解得：a=2b=4，
即直线AC的解析式为y=2x+4；
上式中，令x=0，y=4，
∴点B的坐标为(0,4)；
（2）解：∵点D在反比例函数y=6x的图像上，纵坐标为2，
∴2=6x，
解得：x=3；
由题意知，OA=2，OB=4，
∴S四边形AODB=S△AOB+S△BOD
=12OA⋅OB+12OB⋅xD
=12×2×4+12×4×3
=10．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图像与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图像与性质是关键．
5．（2025·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=k1x的图象与一次函数y=k2x+b的图象相交于Aa,6、B−6,1两点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当x0的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给出下面四个结论：
①△COM与△CON的面积一定相等；
②△MON与△MCN的面积可能相等；
③△MON一定是锐角三角形；
④△MON可能是等边三角形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数k的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据M,N是反比例函数图象上的动点，可得∠OMN或∠ONM为钝角，即可判断③，即可求解．
【详解】解：∵四边形OACB是矩形，
∴S△OBC=S△AOC
又∵M,N是反比例函数y=1xx>0图象上的动点，BN⊥y轴，MA⊥x轴，
∴S△OBN=S△OAM=12
∴S△OBC−S△OBN=S△AOC−S△AOM，即△COM与△CON的面积一定相等；故①正确，
由①可得S△OBN=S△OAM=12
当△MON与△MCN的面积相等时，如图，连接AB，BM
∴S△NCM+S△OAM=S△MON+S△OBN=12S矩形OACB=S△ABO=S△BOM
∴N在直线BM上，则M,N重合，
∴△MON与△MCN的面积不可能相等，故②不正确，
∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当∠NOM=60°且对称轴都为直线y=x，△MON可能是等边三角形，故④正确,
如图
当M,N在y=x的同侧时，△MON可能是钝角三角形，故③错误
综上，①④正确、②③错误.
故选：B．
2．（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为3,−4．
(1)求b与c的值．
(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积与△ABC的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)b=−6，c=5
(2)存在，5+412或5−412
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点．
（1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解b,c；
（2）先确定△OBC为等腰直角三角形，过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD=BA=4，连接AD与BC交于点E，则D5,4，通过三线合一得到BC⊥AD,ED=EA，由三角形面积公式可得过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，然后求出直线PD解析式，再与抛物线解析式联立求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为3,−4，
∴y=x−32−4=x2−6x+5，
∴b=−6，c=5；
（2）解：存在，理由如下：
对于抛物线y=x2−6x+5，
当y=0，x2−6x+5=0，
解得：x1=1,x2=5，
当x=0,y=5，
∴OB=OC=5，AB=5−1=4，
∵∠COB=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD=BA=4，连接AD与BC交于点E，则D5,4，

∴∠DBC=90°−∠OBC=45°=∠OBC，
∴BC⊥AD,ED=EA，
过点D作BC平行线与抛物线交点即为点P，
∵S△BCA=12BC×AE，S△BCP=12BC×DE，
∴S△BCA=S△BCP，
设直线BC:y=mx+n，
则5m+n=0n=5，
∴m=−1n=5，
∴直线BC:y=−x+5，
∵BC∥PD，
∴设直线PD:y=−x+q，
代入D5,4得：−5+q=4，
解得：q=9，
∴直线PD:y=−x+9，
与抛物线解析联立得：y=−x+9y=x2−6x+5，
整理得：x2−5x−4=0
解得： x=5+412或x=5−412，
∴点P的横坐标为5+412或5−412．
3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C0,−3，且抛物线的顶点坐标为1,−4．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D0,−1，连接BC,DP相交于点E，连接PB．若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标；
(3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H．是否存在点M,N，使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)P73,−209
(3)存在，正方形的边长为92或2
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）作PF⊥x轴，垂足为点F，设Pm,m2−2m−3，则：OF=m,PF=−m2+2m+3，BF=3−m，根据△CDE与△PBE的面积相等，推出S△BOC=SODPB=S△PFB+SODPF，列出方程进行求解即可；
（3）存在点M，N使四边形MNHG为正方形，如图所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NE∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设Mx1,y1,Nx2,y2，设直线MN解析式为y=−x+b，与二次函数解析式联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数关系表示出NF2，由△MNF为等腰直角三角形，得到MN2=2NF2，若四边形MNHG为正方形，得到NH2=MN2，求出b的值，进而确定出MN的长，即为正方形边长．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴相交于点C0,−3，且抛物线的顶点坐标为1,−4．
∴设抛物线的解析式为：y=ax−12−4，
把C0,−3代入，得：a0−12−4=−3，
∴a=1，
∴y=x−12−4=x2−2x−3；
（2）当y=x2−2x−3=0时，解得：x1=3,x2=−1，
∴B3,0，
∵C0,−3，
∴设直线BC的解析式为：y=kx−3，把B3,0代入，得：k=1，
∴y=x−3，
作PF⊥x轴，垂足为点F，设Pm,m2−2m−3，则：OF=m,PF=−m2+2m+3，
∴BF=3−m，
∵△CDE与△PBE的面积相等，
∴S△CDE+SODEB=S△PBE+SODEB，即：S△BOC=SODPB=S△PFB+SODPF，
∵D0,−1，
∴OD=1，
∴12×3×3=12×−m2+2m+33−m+12×−m2+2m+3+1m，
解得：m=73或m=0（舍去）；
∴P73,−209；
（3）存在点M，N使四边形MNHG为正方形，
如图所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NE∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，MN∥BC，
由（2）可知，直线BC的解析式为y=x−3，
设Mx1,y1,Nx2,y2，直线MN解析式为y=x−b，
联立得：y=x−by=x2−2x−3，
消去y得：x2−3x+b−3=0，
∴NF2=x1−x22=x1+x22−4x1x2=21−4b，
∵△MNF为等腰直角三角形，
∴MN2=2NF2=42−8b，
∵Ex2,x2−3，
∴NE2=y2−x2−32=x2−b−x2+32=(b−3)2，
∴NH2=22NE2=12(b−3)2，
∵四边形MNHG为正方形，
∴NH2=MN2，
∴42−8b=12b2−6b+9，
整理得：b2+10b−75=0，
解得：b=−15或b=5，
∵正方形边长为MN=42−8b，
∴MN=92或2．即正方形的边长为92或2．
【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
4．（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线y=ax2−2x+3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为−1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，将直线AB沿y轴向上平移mm>0个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m的取值范围；
(3)如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC．抛物线上是否存在点P（不与点C重合），使得S△PAD=S△CAD．若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)y=−x2−2x+3
(2)00，
∴m 的取值范围为00，
∴abc0的图象交于点Am,6，与x轴交于点B，与y轴交于点C．
(1)求m，k的值．
(2)D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m．
①如图1，若点D的横坐标为4，连接AD，E为线段AD上一点，且AEED=12，求点E的坐标；
②如图2，M为线段OC上一点，且CM=1，四边形OMDN是平行四边形，连接AN，若∠BAN=45°，求点D的坐标．
【答案】(1)m=1，k=6
(2)①E2,92，②D2+2,6−32
【分析】（1）将点Am,6代入一次函数y=2x+4求得m=1，结合点A1,6在反比例函数y=kxx>0的图象上代入求得k；
（2）①过点A作AH⊥x轴交于点H，过点E作EM⊥AH交于点M，过点D作DN⊥AH交于点N，则△MAE∽△NAD，有AMAN=MEND，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得DN=3和ME=1，以及AM=32，即可求得点E；
②根据一次函数y=2x+4求得点C0,4，即可知点M0,3，过点C作CP⊥AB交AN于点P，过点P作PK⊥y轴于点K，过点A作AG⊥y轴于点G，则△ACP为等腰直角三角形，且△GAC≌△KCP，则AG=CK=1,CG=PK=2，进一步判定点M与点K重合，由待定系数法求得直线AN的解析式y=−3x+9，设点Nm,−3m+9，结合平行四边形的性质求得点Dm,−3m+12，代入反比例函数即可求得m，即可知点D．
【详解】（1）解：由题意可知，点Am,6在一次函数y=2x+4的图象上，则
6=2m+4，解得m=1，
∵点A1,6在反比例函数y=kxx>0的图象上，
∴6=k1，解得k=6，
则m=1，k=6；
（2）解：①过点A作AH⊥x轴交于点H，过点E作EM⊥AH交于点M，过点D作DN⊥AH交于点N，如图，
则∠AME=∠AND=90°，
∴ME∥ND，
∴△MAE∽△NAD，
∴AMAN=MEND，
∵点D的横坐标为4，
∴点D的纵坐标为y=64=32，
∵AEED=12，
∴AEAD=13，
∴AMAN=MEND=13，
∵xD=4,xA=1，
∴DN=3，
则ME3=13，解得ME=1，
∴xE=1+1=2，
∵yA=6,yD=32，
∴AN=6−32=92，
∴AM92=13，解得AM=32，
则yE=6−32=92，
那么，点E2,92；
②一次函数y=2x+4的图象与y轴交于点C，
令x=0，则y=4，
∴C0,4，
∵CM=1，
∴M0,3，
过点C作CP⊥AB交AN于点P，过点P作PK⊥y轴于点K，过点A作AG⊥y轴于点G，如图，
则∠AGC=∠CKP=90°，
∵∠GAC+∠ACG=∠ACG+∠PCK=90°，
∴∠GAC=∠PCK，
∵∠BAN=45°，
∴△ACP为等腰直角三角形，
∴AC=CP，
则△GAC≌△KCP，
∵点A1,6，C0,4
∴AG=CK=1,CG=PK=2，
∵CM=1，
∴点M与点K重合，OM=3，
∴点P2,3，
设直线AN的解析式为y=kx+bk≠0，则
3=2k+b6=k+b，解得k=−3b=9，
∴y=−3x+9，
设点Nm,−3m+9，
∵四边形OMDN是平行四边形，
∴xD=0+m−0=m,yd=3−3m+9=−3m+12，
则Dm,−3m+12，
∵D为反比例函数图象上的一点，
∴−3m+12=6m，解得m=2+2，或m=2−2，
∵D的横坐标大于1，
∴m=2+2，
∴−3m+12=−32+2+12=6−32，
故点D2+2,6−32．
【点睛】本题主要考查函数和三角形的结合，涉及一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和解一元二次方程，题目综合性较强，难度偏高，解题的关键是熟悉函数性质和平行四边形的性质．
5．（2025·河北唐山·二模）最值是数学中的常见问题，嘉嘉和淇淇利用所学知识研究如下最值问题.
(1)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC和AD的中点，连接EF，P为EF上的一动点.若AB=3，BC=4，则AP+BP得最小值为_______.
(2)如图1，抛物线y=ax2+22x+c与x轴交于A，B两点，点B的坐标为2,0，与y轴交于点C0,−22.
①求抛物线的函数解析式.
②抛物线的对称轴为直线l，P为直线l上的一动点，求BP+CP的最小值.
③如图2，M为直线AC上的一点，连接OM，请直接写出12AM+OM的最小值.
【答案】(1)5
(2)①y=24x2+22x−22；②26；③26+63
【分析】（1）连接AC，交EF于点P，由AP+BP≥AC得到当点P在EF和AC的交点上时，AP+BP有最小值，利用勾股定理求解；
（2）①点B2,0，C0,−22代入y=ax2+22x+c求解；
②连接AC，与l交于点P，根据点P在抛物线的对称轴l上，得到BP+CP的值最小，最小值为AC的长，求出点A的坐标，代入解析式求解；
③过点A作直线AN，使得∠NAC=30°，过点O作ON⊥AN，交AC于点M，过点O作OE⊥AC于点E，利用解直角三角形的知识求出OE和CE，再利用解直角三角形的知识求解．
【详解】（1）解：连接AC，交EF于点P，如下图
∵AP+BP≥AC，E，F分别为BC和AD的中点，
∴当点P在EF和AC的交点上时，AP+BP有最小值，最小值为AC的长度．
∵ AB=3，BC=4，
∴AC=32+42=5，
∴ AP+BP的最小值为：5．
故答案为：5．
（2）解：①将点B2,0，C0,−22代入y=ax2+22x+c，
得4a+2+c=0c=−22
解得a=24c=−22，
∴抛物线的函数解析式为y=24x2+22x−22．
②如图1，连接AC，与l交于点P．
∵点P在抛物线的对称轴l上，
∴PB=PA，即此时BP+CP的值最小，最小值为AC的长，
令y=0，则24x2+22x−22=0，
解得x=−4或x=2，
∴点A−4,0，
则AC=42+222=26，
即BP+CP的最小值为26．
③26+63．
如图2，过点A作直线AN，使得∠NAC=30°，过点O作ON⊥AN，交AC于点M，则点M即为所求．
∵∠MAN=30°，
∴MN=12AM，
则12AM+OM=MN+OM=ON．
过点O作OE⊥AC于点E，
则∠MOE=90°−∠OME=90°−∠AMN=∠MAN=30°．
∵AC=26，
则sin∠ACO=AOAC=63，cs∠ACO=33．
在Rt△COE中，OE=OC⋅sin∠ACO=22×63=433，
同理，可得CE=263．
在Rt△OME Rt△COE中，ME=OE⋅tan∠MOE=433×tan30°=43，OM=2ME=83，
则AM=AC−ME−CE=26−43−263=46−43，
∴MN=26−23，
则12AM+OM的最小值=OM+MN=26+63．
【点晴】本题考查了根据矩形的性质求线段的最小值，抛物线解析式求法，勾股定理，解直角三角形，理解相关知识是解答关键．
1．（2025·新疆昌吉·模拟预测）【问题初探】
（1）数学活动课上，李老师给出了一个问题：如图1，已知点A2,0，B5,4，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点C，求点C的坐标．
①如图2，小明的解题思路是：分别过点B和点C作了y轴、x轴的平行线，构造两个全等的直角三角形，将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度．
②如图3，小红的解题思路是：过点B作了x轴的平行线，分别过点A，点C作了y轴的平行线，同样构造出了两个全等的直角三角形，也将点A和点B的坐标转化为对应线段的长度．
请你根据上述两名同学的分析写出点C的坐标____．
【类比分析】
（2）如图4，二次函数y=ax2+bx+3经过点A−1,0，点B3,0，且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交点为点D，点P为y轴正半轴上一动点，将点P绕点D顺时针旋转90°到对应点Q，若点Q恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标．
【学以致用】
（3）如图5，在（2）的条件下，抛物线的顶点为点E，连接BE，在抛物线上有一点M，连接CM交线段BE于点N，∠CNE=45°，求点M的坐标．
【答案】（1）C的坐标为1,7；（2）P坐标为0,3；（3）M的坐标为73,209．
【分析】（1）过点B作BD⊥x轴于点D，BF⊥BD于点B，过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥BF于点F，过点A作AG⊥BF于点G，利用点AB的坐标得到OA=2，OD=5，BD=4，AD=3，利用全等三角形的判定与性质解答即可得出结论；
（2）利用待定系数法求得抛物线的解析式，利用配方法求得抛物线的对称轴，则D点坐标可得，过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，连接PD，QD，利用（1）中的方法求得点Q坐标，再利用待定系数法解答即可；
（3）过点C作CF⊥CM交BE延长线于点F，分别过点F，N作FG⊥y轴于点G，NH⊥y轴于点H，利用（2）中的方法解答即可得出结论．
【详解】解：（1）小明同学的解题思路：过点B作BD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥BD于点E，如图，
∵点A(2,0)，B(5,4)，
∴OA=2，OD=5，BD=4，
∴AD=3．
则∠ABC=∠ADB=∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠ABD=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CBE=∠BAD．
∴△CBE≌△BADAAS，
∴BE=AD=3，CE=BD=4，
∴DE=BD+BE=7，
∴点C的坐标为(1,7)；
选择小红同学的解题思路：过点B作BD⊥x轴于点D，BF⊥BD于点B，过点C作CE⊥BD于点E，CF⊥BF于点F，过点A作AG⊥BF于点G，如图，
∵点A(2,0)，B(5,4)，
∴OA=2，OD=5，BD=4，
∴AD=3．
则∠ABC=∠ADB=∠CEB=90°，
∴∠CBE+∠ABD=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠CBE=∠BAD．
在△CBE和△BAD中，
∠CBE=∠BAD∠E=∠ADB=90°CB=BA，
∴△CBE≌△BADAAS，
∴BE=AD=3，CE=BD=4，
∴DE=BD+BE=7，
∴点C的坐标为(1,7)．
故答案为：(1,7)；
（2）∵二次函数y=ax2+bx+3，经过点A(−1,0)，点B(3,0)，
∴ a−b+3=09a+3b+3=0，
解得：a=−1b=2，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线的对称轴是直线x=1．
∴D(1,0)，
∴OD=1．
过点Q作QE⊥x轴，垂足为E，连接PD，QD，如图，

设P的坐标为(0,m)，则OP=m，
∵QE⊥x轴，
∴∠QED=90°
∴∠QDE+∠DQE=90°，
∵∠PDQ=90°
∴∠PDO+∠QDE=90°．
∴∠PDO=∠DQE．
在△POD和△DEQ中，
∠PDE=∠DQE∠POD=∠DEQ=90°PD=DQ，
∴△POD≌△DEQAAS，
∴DE=OP=m，QE=OD=1，
∴OE=m+1，
∴点Q的坐标为(m+1,1)．
∵点Q恰好落在抛物线上，
∴−(m+1)2+2(m+1)+3=1，
解得：m1=3，m2=−3 （舍去）．
∴点P坐标为(0,3)；
（3）过点C作CF⊥CM交BE延长线于点F，分别过点F，N作FG⊥y轴于点G，NH⊥y轴于点H，如图，

则∠FCN=∠FGC=∠NHC=90°，
∴∠FCG+∠NCH=90°，∠CFG+∠FCG=90°，
∴∠CFG=∠NCH．
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴点E坐标为(1,4)．
设直线BE的解析式为y=k1x+b1，
把(3,0)，(1,4)分别代入y=k1x+b1得：
3k1+b1=0k1+b1=4，
解得：k1=−2b1=6，
∴直线BE的解析式为y=−2x+6．
设点N的坐标为(n,−2n+6)，则点H的坐标为(0,−2n+6)，
∵点C的坐标为(0,3)，
∴NH=n，CH=3−(−2n+6)=2n−3，
∵∠FCN=90°，∠CNE=45°，
∴∠CFN=90°−∠CNE=90°−45°=45°=∠CNE，
∴CF=CN．
在△FGC和△CHN中，
∠CFG=∠NCH∠FGC=∠CHN=90°CF=CN，
∴△FGC≌△CHNAAS，
∴FG=CH=2n−3，CG=HN=n．
∴OG=OC+CG=n+3，
∴点F的坐标为(2n−3,n+3)，
∵点F在直线BE上，
∴−2(2n−3)+6=n+3，
解得：n=95，
∴点N的坐标为95,125．
设直线CM的解析式为y=k2x+b2，
∴ 95k2+b2=125b2=3，
解得：k2=−13b2=3，
∴直线CM的解析式为y=−13x+3，
∴ −x2+2x+3=−13x+3，
解得：x1=73，x2=0（舍去），
∴x=73．
∴ y=−13×73+3=209，
∴点M的坐标为73,209．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
2．（2025·广东中山·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数：y1=mx+b(m>0)的图象与y轴交于点C，与反比例函数：y2=kx(k>0)的图象交于A2,yA，B两点（点A在点B的右侧），过AC的中点D作线段AC的垂线交x轴于点E，交y轴于点F，连接AF，AE，BE．
(1)如图1，当b=4，点D的坐标为1,5时，求反比例函数的表达式和B点坐标；
(2)如图2，当b=0，连接BF，S△ABF=5时，求m的值；
(3)当m=2时，若△AFD∽△ BED，求b的值．
【答案】(1)y=12x，B−6,−2
(2)m=12或m=2
(3)−145或−23
【分析】（1）根据题意得到A，C两点坐标，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到D1,yA2，根据点A2,yA在一次函数y1=mx(m>0)的图象上，在反比例函数y2=kx(k>0)的图象上，得到一次函数解析式为：y1=yA2x，反比例函数解析式为y2=2yAx，则B−2,−yA，如图所示，过点D作DG⊥x轴于点G，根据tan∠ODG=tan∠DEG=OGDG=1yA2=2yA，得E坐标，可求出直线DE的解析式，则F坐标可表示，根据三角形面积的计算即可求解；
（3）根据题意得到b=yA−4，则y1=2x+yA−4，C0,yA−4，则点D1,yA−2，G1,0，B−yA2,−4，设一次函数与x轴交点H4−yA2,0，E2yA−3,0，直线DE的解析式为y4=−12x+yA−32，即F可知，根据两点之间距离的计算得到AD，BD，FD，ED，由△AFD∽△ BED，得到ADBD=FDED，由此列式求解即可．
【详解】（1）解：当b=4时，一次函数解析式为y1=mx+4(m>0)，
∴C0,4，
∵点D1,5是AC的中点，且A2,yA，
∴ 4+yA2=5，
解得yA=6，
∴A2,6，
把点A2,6代入反比例函数解析式y=kx(k>0)得，6=k2，
解得，k=12，
∴反比例函数解析式为y=12x，
把点∴A2,6代入一次函数解析式y=mx+4(m>0)得，2m+4=6，
解得，m=1，
∴一次函数解析式为y=x+4，
联立反比例函数、一次函数解析式得，y=12xy=x+4，
解得，x1=2y1=6，x2=−6y2=−2，
∴B−6,−2；
（2）解：当b=0时，同理，y1=mx(m>0)，
∵点D是AC的中点，且A2,yA，
∴点D的横坐标为0+22=1，纵坐标为yA2，即D1,yA2，
∵点A2,yA在一次函数y1=mx(m>0)的图象上，在反比例函数y2=kx(k>0)的图象上，
∴2m=yA，yA=k2，
解得，m=yA2，k=2yA，
∴一次函数解析式为：y1=yA2x，反比例函数解析式为y2=2yAx，
联立方程组得y=yA2xy=2yAx，
解得，x1=2y1=yA，x2=−2y2=−yA，
∴B−2,−yA，
如图所示，过点D作DG⊥x轴于点G，
∵EF⊥AB，D1,yA2，
∴∠ODG=90°−∠EDG=∠DEG，OG=1，DG=yA2，
∴ tan∠ODG=tan∠DEG=OGDG=1yA2=2yA，
∴ DGEG=2yA，
∴ EG=yA2DG=yA2×yA2=yA24，
∴ OE=OG+EG=1+yA24=4+yA24，
∴ E4+yA24,0，
设直线DE的解析式为y3=k3x+b3(k3≠0)，
∴ k3+b3=yA24+yA24k3+b3=0，
解得k3=−2yAb3=yA2+42yA，
∴直线DE的解析式为y3=−2yAx+yA2+42yA，
当x=0时，y3=yA2+42yA，即F0,yA2+42yA，
∴ OF=yA2+42yA，
∴ S△ABF=12OF⋅|xB|+12OF⋅xA=12OF⋅|xB|+xA=12×yA2+42yA×2+2=yA2+4yA=5，
整理得，yA2−5yA+4=0，
∴yA−1yA−4=0，
解得，yA=1或yA=4，
∴2m=1或2m=4，
解得，m=12或m=2；
（3）解：当m=2时，一次函数解析式为y1=2x+b，
把点A2,yA代入得，yA=4+b，
∴b=yA−4，则y1=2x+yA−4，
∴C0,yA−4，则点D1,yA−2，G1,0，
∴DG=yA−2，
把点A2,yA代入y2=kx(k>0)得，yA=k2，
∴k=2yA，
∴反比例函数解析式为y2=2yAx，
∴ y=2x+yA−4y=2yAx，
解得，x1=2y1=yA，x2=−yA2y2=−4，
∴ B−yA2,−4，
当y1=0时，x=4−yA2，即设一次函数与x轴交点H4−yA2,0，
∴ GH=1−4−yA2=yA−22，
同理，tan∠HDG=tan∠DEG=HGDG=DGEG=yA−22yA−2=12，
∴EG=2DG=2×yA−2=2yA−4，
∴OE=OG+EG=1+2yA−4=2yA−3，则E2yA−3,0，
设直线DE的解析式为y4=k4x+b4(k4≠0)，
∴ k4+b4=yA−22yA−3k4+b4=0，
解得，k4=−12b4=yA−32，
∴直线DE的解析式为yA=−12x+yA−32，
当x=0时，y4=yA−32，即F0,yA−32，
由勾股定理得：
AD=12+22=5，
BD=1+yA22+yA+22，
FD=12+−122=52，
ED=4−2yA2+yA−22，
∵ △AFD∽△ BED，
∴ ADBD=FDED，
∴ 51+yA22+yA+22=524−2yA2+yA−22，
整理得，15yA2−68yA+60=0，
∴ yA=68±3230，
当yA=68−3230=65时，b=yA−4=65−4=−145，
∴ y1=2x−145，y2=125x，如图所示，
当yA=68+3230=103时，b=yA−4=103−4=−23，
∴ y1=2x−23，y2=203x，如图所示，
∴若△AFD∽△ BED，b的值为−145或−23．
【点睛】本题主要考查一次函数性质，反比例函数与几何图形的综合，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握相关知识是解决问题的关键．
3．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B在y轴右侧的x轴上，抛物线y=ax2+32x+c(a≠0)经过A，B，C三点，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点P在直线AC上运动，当△BDP的周长最小时，求点P的坐标；
(3)探究在△ABC内部能否截出面积最大的矩形EFGH（顶点E，F，G，H在△ABC各边上）？若能，求出此时矩形在AB边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)y=−12x2+32x+2，B4,0．D32,258；
(2)P1219,6219．
(3)能，AB边上的顶点的坐标为−12,0，2,0或32,0．
【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令y=0，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标；
（2）利用勾股定理及其逆定理得到AC⊥BC，延长BC至点B'，使B'C=BC=25，连接B'D，交直线y=2x+2于点P，利用轴对称的性质可得B'，B关于直线y=2x+2对称，此时△BDP的周长最小，过点B'作B'E⊥x轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点B'坐标，利用待定系数法求得直线B'D的解析式为y=−744x+3711，再与直线y=2x+2联立即可求得点P坐标；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设EF与OC交于点K，设EF=m，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积y=−25m−522+52，利用二次函数的性质得到当m=52时，矩形EFGH的面积取得最大值为52，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在△ABC各边上，H与点C重合，设GF=m，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积y=−2m−522+52，利用二次函数的性质得到当m=52时，矩形EFGH的面积取得最大值为52，再利用三角形的中位线定理解答即可．
【详解】（1）解：y=2x+2中，
令x=0，则y=2，
∴C0,2，
令y=0，则0=2x+2，
∴x=−1，
∴A−1,0，
∵抛物线y=ax2+32x+c(a≠0)经过A，B，C三点，
∴a−32+c=0c=2，
∴c=2a=−12，
∴抛物线的解析式为y=−12x2+32x+2．
令y=0，则0=−12x2+32x+2，
∴x=−1，或x=4，
∴B4,0．
∵y=−12x2+32x+2=−12x−322+258
∴顶点D32,258；
（2）∵A−1,0，B4,0，C0,2，
∴OA=1,OB=4,OC=2，
∴AB=5，AC=OA2+OC2=5，BC=OB2+OC2=25，
∵AC2+BC2=5+20=25=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
延长BC至点B'，使B'C=BC=25，连接B'D，交直线y=2x+2于点P，如图，
则B'，B关于直线y=2x+2对称，此时△BDP的周长最小，
过点作B'E⊥x轴于点E，
∵B'E⊥x轴，OC⊥x轴，
∴OC∥B'E ，
∵B'C=BC，
∴OC为△BB'E的中位线，
∴OE=OB=4,B'E=2OC=4，
∴B'−4,4，
设直线B'D的解析式为y=kx+b，
∴−4k+b=432k+b=258，
∴k=−744b=3711，
∴直线B'D的解析式为y=−744x+3711，
∴y=−744x+3711y=2x+2，
∴x=1219y=6219，
∴P1219,6219．
（3）在△ABC内部能截出面积最大的矩形EFGH（顶点E，F，G，H在△ABC各边上），此时矩形在AB边上的顶点的坐标为−12,0，2,0或32,0．
①如图，顶点E，F，G，H在△ABC各边上，设EF与OC交于点K，
设EF=m，
∵四边形EFGH为矩形，KO⊥AB，
∴四边形EHOK，FGOK为矩形，EF∥AB，
∴OK=EH，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CFOC，
∴m5=2−EH2，
∴EH=10−2m5，
∴矩形EFGH的面积=EF•EH
=m⋅10−2m5
=−25m2+2m
=−25m−522+52
∵a=−25