中考数学二轮复习训练专题08 二次函数与三角形、四边形存在性问题 （2大类8种题型）（专项训练）（2份，原卷版+解析版）

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（2大类8种题型）
目 录
考点一：等腰三角形存在性问题
1．（2025·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OA=2，OB=6，D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E，垂足为点F，连接CD．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D的横坐标为t，
①用含有t的代数式表示线段DE的长度；
②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)连接OE，将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG，连接AG，请直接写出线段AG长度的最小值．
【答案】(1)y=−14x2+x+3
(2)①DE=−14t2+32t0−12时，y1>y2；m=−12时，y1=y2；m−12时，y1>y2；
当m+12=0时，即m=−12时，y1=y2；
当m+12P'P），若M、N都关于同一条直线对称，求该直线的表达式．
(3)假设M、N均过A0，3和B．以A为起点，向右作和x轴平行的射线，从左到右依次交N、M于点C、D．平面中有一点E，如果四边形AEBD是菱形，求点E的坐标．
【答案】(1)−1，2
(2)x=±64
(3)E−10+19，8−103
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与几何综合，熟练利用二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据题意，利用待定系数法即可解答；
（2）根据题意得到b2=ac，然后利用OP'>P'P，可得a=23c，代入即可解答；
（3）利用菱形的性质分别表示出点B,D的坐标，再列方程求出b的值即可解答．
【详解】（1）解：∵M的解析式是y=2x2+4x+p，
∴ N的解析式是y=4x2+px+2
把点1，10代入y=4x2+px+2，
得4+p+2=10，
∴p=4
∴M的解析式是y=2x2+4x+4，
∵y=2x2+4x+4=2x+12+2
则顶点坐标为−1，2；
（2）解：∵M，N对称轴相同
∴−b2a=−c2b，
∴b2=ac
由题可得：M与y轴交于点P0,c，N与y轴交于点P'0,a，
∵点P'是线段OP的一个三等分点（OP'>P'P），
∴a=23c，
∴b2=2c23，
即c−2b=±64
∴对称轴的表达式为x=±64
（3）解：∵M，N过（0，3），
∴a=c=3，
则y=3x2+bx+3y=bx2+3x+3，
∴x1=0（舍去），x2=1，
∴B1，b+6，
当b+6>3，即b>−3时，
则M过A，B，D，开口朝下，与a>0不符合，故舍去；
当b+6=3，则b=3则，M,N两函数是同一函数，此时B,D重合，无法组成菱形，故舍去；
当b+6