中考数学二轮复习训练专题08 线段和差最值模型（2份，原卷版+解析版）

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模型一：两点一线
【典例】（眉山）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连接PE，PB，若AB＝4，BC＝43，则PE+PB的最小值为 ．
【解答】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B′E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B′E的长度，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝43，
∴tan∠ACB=ABBC=33，
∴∠ACB＝30°，
由对称的性质可知，B'B＝2BF，B'B⊥AC，
∴BF=12BC＝23，∠CBF＝60°，
∴B′B＝2BF＝43，
∵BE＝BF，∠CBF＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE＝BF＝B'F，
∴△BEB'是直角三角形，
∴B′E=B'B2−BE2=(43)2−(23)2=6，
∴PE+PB的最小值为6，
故答案为：6．
【变式1】（2025•新城区校级二模）如图，已知在△ABC中，AC＝4，BC＝5，∠ACB＝120°，∠BCD＝15°，点P为射线CD上的动点，则|PA﹣PB|的最大值为 ．
【解答】解：将线段BC沿射线CD翻折，得到线段CB′，连接PB′，AB′，
∵AC＝4，BC＝5，∠ACB＝120°，∠BCD＝15°，
由题意可得：PB＝PB′，B′C＝BC＝4，∠B′CD＝∠BCD＝15°，
∴∠BCB′＝30°，
∴∠ACB′＝∠ACB﹣∠BCB′＝90°，
∴|PA﹣PB|＝|PA﹣PB′|≤AB′，
∴当A，B′，P三点共线时，|PA﹣PB|的最大值为P′A﹣P′B′＝AB′，
∵AB'=AC2+B'C2=41，
故答案为：41．
【变式2】（2025•潘集区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，动点P在△ABC内，且使得△ACP的面积为3，点Q为AB中点，则PB+PQ的最小值为（ ）
A．65B．73C．109D．58+3
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，
∴AC=AB2−BC2=6，
，
过P作PD⊥AC，交AC于点D，
∵△ACP的面积为3，S△ACP=12×AC×PD，
∴PD＝1，
作直线l∥AC，距离为1，则点P在直线l上运动且在△ABC内，B到直线l的距离为7，
作B关于直线l的对称点E，连接EQ，交直线l于点P，
∴EP＝BP，
∴PB+PQ＝EP+PQ＝EQ，EQ即PB+PQ的最小值，
过Q作QF⊥BC，交BC于点F，
∵点Q为AB中点，
∴BQ＝AQ＝CQ＝5，
∴∠QCF＝∠QBF，
∵QF⊥BC，
∴∠QFC＝∠QFB＝90°，即∠CQF+∠QCF＝∠BQF+∠QBF＝90°，
∴∠CQF＝∠BQF，
∵QF＝QF，
∴△QFC≌△QFB（SAS），
∴CF＝BF＝4，
∵BQ＝5，∠QFB＝90°，
∴QF=BQ2−BF2=3，
∵BE＝14，BF＝4，
∴EF＝10，
∴EQ=EF2+QF2=109，
故选：C．
题型二：一定两动
【典例】（绥化）如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN＝ ．
【解答】解：作P点关于OA的对称点E，连接EP，EO，EM；
∴EM＝MP，∠MPO＝∠OEM，∠EOM＝∠MOP，
作P点关于OB的对称点F，连接NF，PF，OF，
∴PN＝FN，∠OPN＝∠OFN，∠PON＝∠NOF，
∴PM+PN+MN＝EM+NF+MN≥EF，
当E，M，N，F共线时，△PMN周长最短，
又∵∠EOF＝∠EOM+∠MOP+∠PON+∠NOF，
∠AOB＝∠MOP+∠PON，
∴∠EOF＝2∠AOB，
又∵∠AOB＝50°，
∴∠EOF＝100°，
∴在△EOF中，∠OEM+∠OFN+∠EOF＝180°，
∴∠OEM+∠OFN＝180°﹣100°＝80°，
∵∠MPO＝∠OEM，∠OPN＝∠OFN，
∴∠MPO+∠OPN＝80°，
∵∠MPN＝∠MPO+OPN＝80°，
故答案为：80°．
【变式1】（2025•广州）如图，⊙O的直径AB＝4，C为AB中点，点D在BC上，BD=13BC，点P是AB上的一个动点，则△PCD周长的最小值是（ ）
A．2+7B．2+23C．3+7D．4+43
【解答】解：作直径CC′，连接DC′交AB于P，连接PC，OD，
∵C为AB中点，
∴CC′⊥AB，
∴C的对称点是C′，
∴此时△PCD的周长最小，
∵BD=13BC，
∴∠COD＝90°×（1−13）＝60°，
∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC=12AB=12×4＝2，
∵CC′是圆的直径，
∴∠CDC′＝90°，
∴C'D=CC'2−CD2=23，
∵C和C′关于AB对称，
∴PC′＝PC，
∴△PCD的周长＝CD+PC+PD＝CD+PC′+PD＝CD+DC′＝2+23，
∴△PCD周长的最小值是2+23．
故选：B．
【变式2】（2025•内江）如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB=22，点D、E、F分别是边BC、AB、AC上的动点，则△DEF周长的最小值是 ．
【解答】解：如图，作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FN，MN，AD，
∴△DEF周长为DE+EF+FD＝NE+EF+FM≥MN，
当N，E，F，M四点共线时取得最小值，
∵N，M是D关于AB，AC的对称点，
∴∠NAE＝∠EAD，∠FAD＝∠FAM，AN＝AD＝AM，
又∵∠EAD+∠FAD＝45°，
∴∠NAM＝∠NAE+∠EAD+∠FAD+∠FAM＝90°，
∴△AMN是等腰直角三角形，
∴MN=2AN=2AD，
∴当AD⊥BC时，AD取得最小值，即△DEF周长最小，
又∵∠B＝60°，AB=22，
∴ADmin=ABsin60°=22×32=6，
∴△DEF周长最小为2AD=2×6=23，
故答案为：23．
模型三：两点两线
【典例】（2025•南山区二模）如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）
A．唯方案一可行B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行D．方案一、二均不可行
【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可．
∵AA'垂直于河岸l2，AA′＝d，
连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线l1，
由平移的性质，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA，
根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短．
故方案一符合题意，
故选：A．
【变式1】（碑林区校级）我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题：
如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小．我们只要作点A关于l的对称点A'，根据对称性可知，PA＝PA'，因此，求AP+BP最小就相当于求BP+PA'最小，显然当A'、P、B在一条直线上时A'P+PB最小，因此连接A'B，与直线l的交点，就是要求的点P．
有很多问题都可用类似的方法去思考解决．
（1）观察发现：如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点．请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小．（三角板、刻度尺画图，保留痕迹，不写作法）
（2）实践运用：
①如图2，为了做好五一期间的交通安全工作，西安市交警执勤小队从A处出发，先到公路m上设卡检查，再到公路n上设卡检查，最后再到达B地执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？画出图形并说明做法．
②如图3，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，AC＝8，BD是∠ABC的平分线，若P、Q分别是BD和AB上的动点，则PA+PQ的最小值是 ．
（3）拓展延伸：
如图4，在四边形ABCD的对角线AC上确定一点P，使∠APB＝∠APD．（三角板、刻度尺画图，保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：（1）如图1中，点P即为所求．
（2）①如图2中，线路A→M→N→B即为所求．
②解：如图3中，
作点Q关于直线BD的对称点Q′，作AM⊥BC于M，
∵PA+PQ＝PA+PQ′，
∴根据垂线段最短可知，当A，P，Q′共线，且与AM重合时，PA+PQ的值最小，最小值＝线段AM的长．
∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，
∴AC＝8，
∴AM=AB⋅ACCB=6×810=245．
故答案为245．
（3）如图4中，作B关于AC的对称点E，连接DE并延长交AC于P，连接PB，点P即为所求的点．
∵点B、E关于AC对称，
∴∠DPC＝∠BPC，
∴∠APB＝∠APD．
故点P即为所求的点．
1．（2025•运城校级模拟）为了响应国家节能减排的号召，某城市大力推广新能源汽车，并计划在市区内新建一批新能源汽车充电站，小王需要在一条城市主干道附近选一个地点建一个充电站C，为附近的两个居民小区A和B的新能源汽车用户提供充电服务，要使两个居民小区的车主到充电站C的行驶距离之和最小，则充电站C的选址正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：CA+CB＝CA+CB′，
∴当A，C，B′三点共线时，CA+CB的值最小，故C选项正确，满足题意，
故选项A，B，D错误，
故选：C．
2．（2025•广东模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5．如果D、E分别为BC、AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（ ）
A．245B．5C．275D．6
【解答】解：延长AC到点F，使得AC＝CF，
∵∠ACB＝90°，
∴直线BC是线段AF的垂直平分线，
连接DF，BF，
∴AD＝DF，AB＝BF，
∴AD+DE就变成了DF+DE，
根据DF+DE的最小值就是△ABF的高可得：
过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴AF＝2AC＝6，BC=AB2−AC2=4，
∴S△ABF=12AF⋅BC=12AB⋅FG，
∴6×4＝5FG，
∴FG=245．
故选：A．
3．（2025•任城区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：如图，四边形ABCD是矩形，连接DG，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°
∵EF＝2，点G为EF的中点，
∴DG＝1，
作A关于BC的对称点A′，连接A′D，交BC于P，当点A′，P，G，D共线时，PA+PG的值最小，最小值为A′G的长；
∵AB＝2，AD＝3，
∴AA′＝4，
在直角三角形AA′D中，由勾股定理得：A'D=42+32=5，
∴A′G＝A′D﹣DG＝5﹣1＝4，
∴PA+PG的最小值为4；
故选：B．
4．（2025•遂宁校级模拟）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5．则EP+FP这个最小值是（ ）
A．9B．10C．53D．35
【解答】解：作点E关于射线CD的对称点E′，过E′作E′F⊥AB于F，交射线CD于P，连接PE，如图，则E′P＝EP，
∴EP+FP＝E′P+FP＝E′F，此时EP+FP的值最小，则BF＝5，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B＝60°，
∵E'F⊥AB，
∴E′F=3BF＝53，
即PE+PF最小值为53．
故选：C．
5．（2025•铁东区校级模拟）如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值．
【解答】解：如图，连接BM，
∵点B和点D关于直线AC对称，
∴NB＝ND，
则BM就是DN+MN的最小值，
∵正方形ABCD的边长是8，DM＝2，
∴CM＝6，
∴BM=62+82=10，
∴DN+MN的最小值是10．
6．（2025•阎良区三模）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，连接AC，点P为AC上的动点，连接BP并延长至点H，使得PH＝BP，连接CH，则△BCH周长的最小值为 ．
【解答】解：连接BD并延长至点F，使DF＝BD，记BD与AC的交点为O，
连接CF，连接FH，连接DH，点D作直线l垂直BD，则直线l是线段BF的垂直平分线，
∵菱形ABCD中，
∴OB＝OD，PH＝BP，BD⊥AC，
∴OP是△BDH的中位线，
∴OP∥DH，
∴DH⊥BD，
∴点H在直线l上，
∴BH＝HF，
∵BC是定长，
∴△BCH周长的最小值为FH+HC+BC＝BH+HC+BC≥CF+BC，
∴当点H在CF时，△BCH的周长最小，为CF+BC，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，
∴∠CBD=12∠ABC=60°，BC＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴CD＝BD＝DF，∠CDB＝∠BCD＝60°，
∴∠DCF=∠F=12∠CDB=30°，
∴∠BCH＝60°+30°＝90°，
∵BC＝AB＝4，
∴CF=BC⋅tan∠FBC=43，
∴△BCH周长的最小值为CF+BC=43+4，
故答案为：43+4．
7．（2025•连云港）如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE+BF的最小值为 ．
【解答】解：∵四边形DAEF为平行四边形，
∴EF＝AD，DF＝AE，
∵E为线段AC上的动点，
∴可以看作EF是定线段，平行四边形DAEF在AC方向上水平运动，
则如图，点B的运动轨迹为线段MN，
过点E作关于线段MN的对称点E'，
由对称性得BE＝BE'，
∴BE+BF＝BE'+BF≥E'F，
当且仅当E'、B、F依次共线时，B'E+BF取得最小值E'F，此时如图，
设AC与BD交于点O，E'E交MN于点H，延长E'E交FD延长线于点G，
菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，
∴AO=12AC=2，BO＝DO=12BD＝1，AC⊥BD，
由题可得AC∥MN，
∴由对称性可得EH⊥HB，
∴AC⊥GH，
∴∠OEH＝∠EOB＝∠EHB＝90°，
∴四边形EOBH是矩形，
∴EH＝EH＝OB＝1，
∵四边形DAEF为平行四边形，
∴DF＝AE，DF∥AC，
∴GD⊥DO，
∴∠GDO＝∠DOE＝∠GEO＝90°，
∴四边形DOEG是矩形，
∴GD＝EO，GE＝DO＝1，
∴GF＝GD+DF＝EO+AE＝AO＝2，GE'＝GE+EH+E'H＝3，
∴E'F=GF2+GE'2=22+32=13'，
即BE+BF 的最小值为13，
故答案为：13．
8．（2025•西藏）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA+PB+PC的最小值是 ．
【解答】解：如图，将△APB绕点A旋转60°至△AB'P'，连接P'P，B'C，AC，过B'作B'H⊥AC交AC的延长线于H．
∴AB＝AB'，B'P'＝BP，AP＝AP'，∠P'AP＝60°．
∴△P'AP是等边三角形．
∴P'P＝AP．
∴PA+PB+PC的最小值是PP'+B'P'+PC的最小值．
∴根据两点之间线段最短，故PA+PB+PC的最小值是B'C．
∵∠B'AH＝180°﹣∠B'AB﹣∠BAC＝60°，
∴∠AB'H＝30°．
∴AH=12AB'＝2，则B'H=3AH＝23．
又∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AC＝AB＝4．
∴CH＝AC+AH＝6．
∴B'C=CH2+B'H2=62+(23)2=43．
故答案为：43．
9．（2025•绥化）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD＝43，点P是边CD的中点，点M是对角线BD上的一个动点，连接PM、CM．则PM+CM的最小值是 ．
【解答】解：作点P′和P关于BD对称．则连接CP′，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝4，P为CD中点，
∴点P′是AD的中点，
∴DP′=12CD=2，
∵BD＝43，AB＝AD＝4，
∴∠BAD＝120°，∠ADC＝60°，
∴CP′⊥AD，
∴CP′＝23．
PM+CM的最小值即为CP′的长：23．
故答案为：23．
10．（2026•玄武区一模）如图，已知正方形ABCD的边长为a，点E是AB边上一动点，连接ED，△DEF为等腰直角三角形，连接CF，则当CF+DF之和取最小值时，△DCF的周长为 ．（用含a的代数式表示）
【解答】解：连接 BF，过点F作FG⊥AB交AB延长线于点G，则∠EGF＝90°，
∵△DEF为等腰直角三角形，
∴∠DEF＝90°，EF＝DE，
∴∠AED+∠GEF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠EGF＝90°，
∴∠AED+∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠GEF，
在△AED和△GFE中，
∠ADE=∠GEF∠A=∠EGFDE=EF，
∴△AED≌△GFE（AAS），
∴FG＝AE，EG＝DA，
∴F点在BF的射线上运动，作点C关于BF的对称点C′，
∴BC＝BC′＝a，
∵EG＝DA＝AB，FG＝AE，
∴AE＝BG，
∴BG＝FG，
∴∠FBG＝45°，
∴∠CBF＝45°，
∴∠CBF＝∠FBG＝45°，
∴BF是∠CBC′的角平分线，即F点在∠CBC′的角平分线上运动，
∴C′点在AB的延长线上，
当D、F、C′三点共线时，DF+CF＝DC′最小，
在Rt△ADC'中，AD＝a，AC′＝2a，
∴DC'=AD2+AC'2=a2+(2a)2=5a，
∴DF+CF的最小值为5a，
∴此时的周长为(5+1)a，
故答案为：(5+1)a．
11．（2025•黎城县校级模拟）如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1．
（1）写出△ABC三个顶点的坐标；
（2）写出点A，B，C关于y轴的对称点A'，B'，C'的坐标；
（3）在x轴上找出点P，使PA+PC最小，并直接写出P点的坐标．
【解答】解：（1）根据坐标系，可得A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）；
（2）如图所示，A'（4，1），B'（3，3），C'（1，2）；
（3）作C关于x轴的对称点C''，连接AC''，交x轴于点P，则PA+PC最小，根据坐标系可得P（﹣3，0）．
12．（2025•山西模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务
任务：
（1）直接写出材料中的依据为： ；
（2）写出求解AD长的解题过程；
（3）按照材料中例题的方法，直接写出x2+4+x2−6x+13的最小值为 ．
【解答】解：（1）两点之间线段最短；
故答案为：两点之间线段最短；
（2）如图：作DG⊥AC交AC的延长线于G，
则∠G＝∠GCE＝∠E＝90°，
∴四边形DGCE为矩形，
∴CG＝DE＝4，DG＝CE
∵EF＝7﹣x，AC＝3，BC＝x，
∴AG＝AC+CG＝7，GD＝CE＝7，
∴AD=AG2+GD2=72；
（3）x2+4=x2+22，将x和2分别作为Rt△ABC的两条直角边，如图AC＝2，BC＝x，AB=x2+4，
x2−6x+13=(x−3)2+4=(3−x)2+22，将3﹣x和2分别作为Rt△DEF的两条直角边，如图2所示，EF＝3﹣x，DE＝2，则DF=(3−x)2+22，
将Rt△ABC与Rt△DEF如图3所示放置，使点B与点F重合，BC与EF在一条直线上，则AB+DF的最小值为线段AD的长，
作DG⊥AC交AC的延长线于G，
由题意可得：CG＝DE＝2，DG＝CE，
∵EF＝3﹣x，AC＝2，BC＝x，
∴AG＝AC+CG＝4，GD＝CE＝3，
∴AD=AG2+GD2=5；
∴x2+4+x2−6x+13的最小值为5．
故答案为：5．
模型大招
1.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度.
构图：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示：
2.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
思路：和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段.
构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示：
3.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
构图：连接AB并延长与的交点即为点P，如图所示：
4.如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
构图：作点B关于直线的对称点B’，连接AB’并延长与的交点即为点P，如图所示：
5.如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？
构图：连接AB，作AB的垂直平分线与直线交于点P，此时为0，如图所示：
模型大招
1.如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？
构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示：
2.如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？
构图：作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小.
3.如图，点P、Q在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得四边形PCDQ的周长最小？
构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P’、Q’，连接P’Q’分别交OA、OB于点C、D，此时四边形PCDQ的周长最小值为PQ＋P’Q’，如图所示：
模型大招
在直线m、n上分别找两点P、Q，使得PA＋PQ＋QB的值最小.
（1）A、B两点都在直线的外侧
（2）一个点在内侧，一个点在外侧
（3）两个点都在内侧
方案一：
①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置．
方案二：
①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置．
数形结合解决二次根式求和问题
求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？
下面我们讨论一种新的方法——数形结合法
【例题】求x2+9+(7−x)2+16的最小值
Φ【分析】x2+9=x2+32，将x和3分别作为Rt△ABC的两条直角边，如图1所示，AC＝3，BC＝x，AB=x2+9，
(7−x)2+16=(7−x)2+42，将7﹣x和4分别作为Rt△DEF的两条直角边，如图2所示，EF＝7﹣x，DE＝4，则DF=(7−x)2+42，
将Rt△ABC与Rt△DEF如图3所示放置，使点B与点F重合，BC与EF在一条直线上，则AB+DF的最小值为线段AD的长．（依据）