中考数学二轮复习训练专题07二次函数的应用（知识清单）（2大考点+8大题型+1大易错+4大方法+测试）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮复习训练专题07二次函数的应用（知识清单）（2大考点+8大题型+1大易错+4大方法+测试）（2份，原卷版+解析版），文件包含苏教版六上科学第一单元单元测试卷答案版docx、苏教版六上_苏教版六上科学第一单元单元测试卷学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
目 录
01 锚・课标要求：指引命题方向，落实核心素养
02 理・思维导图：构建知识体系，呈现结构关系
03 盘・知识梳理：兼顾主干细节，夯实基础框架（2个核心考点）
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"file:///D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324398" 考点02利用二次函数解决实际问题的常见类型
04 探・重难题型：深度剖析重点，精准突破难点（8大重难题型）
题型01二次函数的应用：图形问题
题型02二次函数的应用：销售问题
题型03二次函数的应用：拱桥问题
题型04二次函数的应用：投球问题
题型05二次函数的应用：喷水问题
题型06二次函数的应用：几何运动问题
题型07二次函数的应用：刹车问题
题型08二次函数的应用：其他问题
05 辨・易混易错：警示常见误区，辨析细微差别（1个易混易错点）
易错点01利用二次函数求最大利润问题
06 拓・方法技巧：精炼方法技巧，精准突破难点（4大方法技巧）
技巧01：利用二次函数解决最大利润问题
技巧02：利用二次函数解决抛物形实际问题
技巧03：利用二次函数解决几何面积的最值问题
技巧04：二次函数的几何动点问题
07 测・实战演练：巩固核心考点，强化应试能力（24题）
1.理解“问题情境—建立模型一求解验证”的过程，感受函数模型思想和数学的应用价值
2.能分析和表示不同实际背景下变量之间的二次函数关系，并解决与二次函数有关的问题
3.会分析实际问题中包含的数量关系，体会其中的变化规律，从中抽象出二次函数模型，利用二次函数图象和性质解决问题
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阅读并理解题意，分析问题中的变量与常量以及它们之间的关系
（2）设适当的未知数，用含未知数的代数式表示出变量之间的关系
（3）建立二次函数模型，结合已知条件，找到点的坐标，求出二次函数的解析式
（4）根据题目中的要求，借助二次函数求解
（5）检验结果的合理性，必要时进行合理取舍，确定答案
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利用二次函数模型解决实际问题的常见类型
(1)求最大（小）值（如求最大利润、最大面积、最优方案、最小周长等)：
(2)抛（投）物体、拱桥、隧道、投球、喷水等抛物线形问题
题型01二次函数的应用：图形问题
【典例1】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成n个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏．
(1)当n＝4时，菜园面积的最大值为______．
(2)求菜园面积的最大值（用含n的代数式表示）．
(3)在第（2）问的条件下，存在和时，菜园面积的最大值之和为，且，直接写出所有满足条件的a、b的值______．
【变式练习】
1．（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（ ）
A．小明正确，小亮错误B．小明错误，小亮正确
C．两人均正确D．两人均错误
2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为，则能建成的饲养室总占地面积最大为 ．
3．（2024·山东潍坊·二模）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是 ．
4．（2025·湖北·模拟预测）如图，学校利用的墙角修建一个梯形的生物乐园，供学生种植花草，进行学习和研究．其中，且．如果新建的两道墙总长15m．设生物乐园面积为m2，的长为m．
(1)求与的函数关系式．
(2)生物乐园的面积能达到吗？说明理由；
(3)当取何值时，才能使生物乐园的面积最大？
题型02二次函数的应用：销售问题
【典例2】（2025·辽宁抚顺·三模）某文具店购进一批毛笔，每支进价为10元，出于营销考虑，要求每支毛笔的售价不低于10元且不高于14元，在销售过程中发现该毛笔每周的销售量y（支）与每支毛笔的售价x（元）之间满足一次函数关系；当销售单价为11元时，销售量为18支；当销售单价为12元时，销售量为16支．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)设该文具店每周销售这种毛笔所获得的利润为w元，将该毛笔销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该毛笔所获利润最大？最大利润是多少？
【变式练习】5．（2025·天津和平·三模）某商家销售一种成本为40元的商品，当售价定为50元/件时，每天可销售500件，根据经验，售价每涨价1元，每天销量将减少10件，且单件该商品的利润率不能超过．有下列结论：
①每天的销量（件）与当天的销售单价（元/件）满足的函数关系式（不用写出自变量的取值范围）是；
②当定价为70元时，该商品的利润达到最大，最大利润为9000元；
③当该商品的利润为6750元时，定价可以为55元或85元．
其中，正确的结论的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．（2025·贵州遵义·模拟预测）“双减政策”要求学校更注重“减负增效”，学校为了保护学生的视力，倡导学生购买护眼灯．某商场为了保证供应充足，购进，两种不同类型的护眼灯，若购进5台型和4台型护眼灯需要270元；购进3台型和2台型护眼灯需要148元．
(1)求该商场购进每台型和型护眼灯的成本价；
(2)该商场经过调查发现，型护眼灯售价为36元时，可以卖出100台，每涨价1元，则每天少售出2台，求每台型护眼灯涨价多少元时，销售利润最大?
7．（2025·辽宁丹东·一模）某水果超市购进一批水果，进价为每千克40元，在一段时间内，销售量y（千克）是每千克售价x（元）的一次函数，其图象如图所示．
(1)求这段时间内y与x之间的函数关系式；
(2)在这段时间内，当每千克售价为多少元时，销售利润最大，最大利润为多少？
8．（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
题型03二次函数的应用：拱桥问题
【典例3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长．
【变式练习】
9．（2025·广西来宾·三模）如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面增加时，水面下降了（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·河南周口·一模）开封是我国西瓜三大主产区之一，西瓜种植历史悠久，始于五代，广种于宋，已有1000多年栽培历史，南宋诗人范成大曾在他的《西瓜园》一诗中云：“碧蔓凌霜卧软沙，年来处处食西瓜”．图1是某瓜农种植的吊篮西瓜．为了提供更好的生长环境，促进西瓜生长、丰产，该瓜农搭建了西瓜大棚，其横截面可模拟为抛物线．如图2是大棚的横截面，大棚在地面上的宽度是，最高点C距地面的距离为．以水平地面为x轴，的中点O为原点建立平面直角坐标系．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)根据图2，若一位身高的瓜农想要在大棚内站直行走，请通过计算说明该瓜农站直行走的横向距离是否超过．
11．（2025·陕西·模拟预测）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线型，左右两个抛物线型是相同的，如图所示，线段所在的直线表示水平的水面，以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知正常水位时，中间大孔水面宽度，顶点距离水面的高度，小孔顶点距离水面的高度．
(1)求中间大孔抛物线的函数表达式；
(2)若雨季来临水位上涨，小孔刚好淹没，求出此时大孔的水面宽度的值．
12．（2025·陕西榆林·模拟预测）赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为．
(1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式；
(2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量．
题型04二次函数的应用：投球问题
【典例4】（2025·陕西西安·模拟预测）某校羽毛球队为了提高运动员成绩，训练中心配备了一架如图1所示的高度可调的羽毛球发球机器人．如图2，发球机器人固定站在地面的点处，其弹射出口记为点，所发出的羽毛球的运动路径呈抛物线状．设飞行过程中羽毛球与发球机器人之间的水平距离为（单位：米），羽毛球到地面的高度为（单位：米），已知当点的高度为1.25米时，羽毛球的最高点离地面的距离为米，羽毛球在最高点处离发球机器人的水平距离为米（发球机器人的半径忽略不计）．
(1)求与的函数解析式．
(2)调整弹射出口的高度可以改变球的落地点．为了训练运动员的后场能力，需要使羽毛球的落地点到点的水平距离增加1米．若此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，则发球机器人的弹射出口高度应调整为多少米？
【变式练习】
13．（2025·四川南充·一模）如图，体育课上，小强某次掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致为抛物线，则小强本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．8B．9C．10D．3
14．（2025·广西来宾·模拟预测）投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为 m．
15．（2025·河南·模拟预测）如图1所示的是古代一种远程攻击的武器——发石车．将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，将某发射出去的石块看作一个点，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽与轴平行，点与点的水平距离为，垂直距离为．已知发射石块在空中飞行的最大高度为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明该石块能否飞越防御墙．
16．（2025·陕西宝鸡·一模）某科技创新兴趣小组制作了一种投石器，如图1，为检验投石器的性能，进行如下操作：如图2，将投石竿点端拉至水平地面处，放手后投石竿绕支点旋转，从点处把石头甩出，石头的运动轨迹是抛物线的一部分，以水平地面为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系，如图3．已知米，抛物线顶点的坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)为了检验投石器的性能，在点的正前方2米米处设置了一个长为0.5米，内壁高为0.6米，外壁高为0.8米的目标箱（其中垂直轴）．兴趣小组为了把石头投入目标箱，可以垫高投石器或在轴正方向移动投石器（假设每次都以相同的角度和力度投石），当垫高投石器时，设垫高的高度为米，求的取值范围（取值范围不取端点）．
题型05二次函数的应用：喷水问题
【典例】（2024·陕西西安·模拟预测）陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶流下，呈抛物线型落到院中地面上点．以地面为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数的部分图象．已知屋檐高为，雨水落点距屋檐的水平距离为．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若墙面与屋檐下端的水平距离为，现计划在院中安装一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的顶部中心到墙面的水平距离．
【变式练习】
17．（2025·甘肃·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
B．C．D．
18．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某农户用喷枪给斜坡上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，P处的喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点与水平线的距离为，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为，水柱距水平线的高度是
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若斜坡的坡比为，斜坡上有一棵高的树，它与喷水头的水平距离为，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由．
19．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某公园为吸引游客，沿着公园内一条河边的绿道打造喷水景观，为保持河边绿道地面干燥，水柱从绿道一旁地面呈抛物线状喷出，经过绿道上方流入河流中．如图是其截面图，喷水口为，绿道路面宽度，当水柱离喷水口的水平距离为时，水柱到达最高处，最高点到绿道地面的距离是．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线的函数表达式；
(2)出于安全和美观考虑，要在绿道上的处竖直向上安装一排高度为的护栏花墙，若m，判断水柱是否会打湿护栏花墙，并说明理由．
20．（2025·河北邯郸·模拟预测）消防员正在对一处着火点A进行喷水灭火，水流路线L为抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，已知消防车上的喷水口B高出地面，距离原点的水平距离为，着火点A距离点B的水平距离为，且点B，A分别位于y轴左右两侧，抛物线L的解析式为其中b，c为常数
(1)写出点B的坐标，并用含b的代数式表示c；
(2)若着火点A高出地面．
①求水流恰好经过着火点A时抛物线L的解析式，并求它的对称轴；
②为彻底消除隐患，消防员对距着火点A水平距离的范围内继续进行喷水，直接写出抛物线水流路线解析式中b的取值范围包含端点是______，及c的最小值是______．
题型06二次函数的应用：几何运动问题
【典例】（2025·江苏扬州·一模）如图，在长方形中，，，点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点出发，沿边以的速度向点移动．已知、两点分别从点，同时出发．问：
(1)经过几秒，的面积等于？
(2)五边形的面积最小值是多少？
【变式练习】
21．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在中，，，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q 运动到点B停止），在运动过程中，面积的最大值为 ．
22．（2025·新疆昌吉·一模）如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为 ．
23．（2025·吉林·二模）如图，在菱形中，，．点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿折线A→B→C向终点C运动，过点P作，交折线A→D→C于点Q，连接．设点P运动的时间为x秒，的面积为y（）．

(1)当点Q与点D重合时，x＝______．
(2)和之间的距离为______．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
题型07二次函数的应用：刹车问题
【典例7】（2025·湖北武汉·模拟预测）小球以一定速度从发射口出发后沿直线轨道向前滑行．小球从发射口A出发后的滑行速度m（米/秒）与滑行时间x（秒）满足：．测得滑行距离y（米）与滑行时间x（秒）的部分对应数据如下表所示：
(1)①由表格中的数据可以推测出y是x的______函数（填“一次”，“反比例”或“二次”）；
②求y与x的函数关系式；
(2)求小球滑行停止时，所滑行的距离和滑行的时间；
(3)若在小球滑行1秒时，遇到障碍物B后腾空飞行，此时小球的速度记为．小球腾空飞行高度h（米）与腾空飞行时间t（秒）的关系为：．请直接写出：当e满足什么条件时，小球腾空的最大高度不低于1.25米．
【变式练习】
24．（23-24九年级上·广西南宁·期中）综合与实践．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】现对某汽车的刹车性能进行测试，兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
发现：①开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求y关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若汽车刹车4s后，行驶了多长距离；
(3)若汽车司机发现正前方80m处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
25．（2024·湖北武汉·模拟预测）行驶中的汽车刹车后，由于惯性还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．已知汽车A刹车后刹车距离y（单位：）与刹车时的速度x（单位：）的函数关系满足．当汽车的速度为时，刹车距离为；当汽车的速度为时，刹车距离为．
(1)求关于的函数解析式；
(2)行驶中的汽车A突然发现正前方处有一辆抛锚的危险用品运输车，紧急刹车，此时汽车A的速度为，通过计算判断汽车A是否会撞上运输车；
(3)若汽车B刹车后刹车距离y（单位：）与刹车时的速度x（单位：）的函数关系满足，当时，在相同的车速下汽车A的“刹车距离”始终比汽车B的“刹车距离”大，直接写出c的取值范围．
题型08二次函数的应用：其他问题
【典例8】（2025·贵州贵阳·模拟预测）纸飞机承中华千年飞天梦，形溯纸莺竹骨之巧．纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．其中纸飞机上抛和下降的飞行轨迹可看作是一段抛物线，滑行的飞行轨迹是一条线段，滑行距离受滑行比（若纸飞机在1米的高度开始滑行，滑行的水平距离为米，则滑行比为）的影响．如图所示，小明玩纸飞机，其起抛点的高度为米，当纸飞机的水平飞行距离为米时达到最大高度米．

(1)求这条抛物线的表达式；
(2)小明前方距离小明米，有一堵米高的墙，若纸飞机能顺利飞过这堵墙（不考虑墙的厚度，且不包括端点），求的取值范围；
(3)小明根据多次实验，得到其折叠的纸飞机的滑行比为，纸飞机开始滑行时的高度为多少米时，才能使纸飞机整个飞行阶段的水平飞行距离至少为米？（受空气阻力的影响，纸飞机开始滑行的高度不超过米）．
【变式练习】
26．（2025·陕西咸阳·模拟预测）春夏之交，正适合去山野间漫游，蓝天白云下，青山绿水间，择一处草地，支一顶帐篷，邀亲朋好友，闻清风，话家常，好不惬意.一款帐篷的支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用，它的形状可近似看作抛物线，该款帐篷在搭建时，张开的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，如图①是该款帐篷搭建完成的平面示意图，其张开的宽度，顶部高度，现以点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A且平行于的直线为y轴建立平面直角坐标系．
(1)求该帐篷支架对应的抛物线的表达式；
(2)如图②为一把椅子摆入该帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在该帐篷内沿方向摆放一排此款椅子，则最多可摆放多少把椅子？
27．（2025·河北邯郸·模拟预测）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体的水平距离为2米，且点P离地面的高度为米．
(1)求该抛物线的解析式，并写出点D坐标；
(2)写出直线的解析式；
(3)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段三部分组成，其中点E，G在顶棚抛物线形骨架上，，分别交于点F、H，且（在左侧）．当F、H间的水平距离为3米时，求的长；
(4)为了节约成本，支架调整为线段两部分组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度．
28．（2025·湖北·模拟预测）某科技展览馆在周末开放时，统计了参观者到达展览馆检票口的情况，如果把参观者到达检票口的累计人数（为整数，单位：人）和时间（为整数，单位：分钟）的数据点标记到坐标系中，用光滑的曲线连接数据点，可近似看作的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为，．若展览馆入口处有一个自动检票机，每分钟可处理张票．
(1)求与之间的函数解析式；
(2)展览馆入口处排队等待检票的参观者人数最多时有多少人？
(3)检票开始后的第分钟开始，为了减少排队等候时间，展览馆在入口处临时开放了一个自动检票机，若新自动检票机每分钟可处理张票，则新机器投入使用多长时间后，展览馆检票处不再出现排队等待的情况（直接写出结果）．
29．（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10分钟（含10分钟）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．）
(1)当点在该二次函数图象上时，求的值；
(2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________；
②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹时间忽略不计）
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324409" 易错点01利用二次函数求最大利润问题
【错因】忽视实际问题中自变量的取值范围而致错
【避错关键】求商品利润最大的问题时，要注意实际问题中自变量的取值范围.有时根据顶点坐标求出的最大值并不一定是函数在实际问题中的最大值，实际问题的最大值应在自变量的取值范围内取得，
【典例】
1．（2025·贵州铜仁·三模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream f Winter，Lve amng Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个．
(1)写出y与x之间的函数关系式：
(2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？
2.（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（且a为整数）．
(1)分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；
(2)求当a为何值时，每天的利润W最大．
3．（24-25九年级下·陕西西安·月考）我市某企业安排20名工人生产甲、乙两种产品，根据生产经验，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品（每人每天只能生产一种产品）．甲产品生产成本为每件10元；若安排1人生产一件乙产品，则成本为38元，以后每增加1人，平均每件乙产品成本降低2元．规定甲产品每天至少生产20件．设每天安排人生产乙产品．
(1)为了增加利润，企业须降低成本，该企业如何安排工人生产才能使得每天的生产总成本最低？最低成本是多少？
(2)该企业准备通过对外招工，增加工人数量的方式降低每天的生产总成本，那么至少招多少名工人才能实现每天的生产总成本不高于350元？
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧01：利用二次函数解决最大利润问题
【典例】
1．（2025·四川内江·中考真题）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元．
(1)求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？
(2)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？
(3)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值．
2．（2025·贵州遵义·一模）一部名为《南京照相馆》的电影于7月25日上映，取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，一经上映票房一路狂飙，掀起爱国热潮．某兴趣小组开展以“爱国为主题”项目式学习：
〖素材1〗某影院7月28日的票房收入为10万元，随着观影人数的不断增多，7月30日的票房收入达到16.9万元．
〖素材2〗某商家生产了一批以爱国为主题的图册，一册成本为14元，当售价定为每本28元时，平均每天售出200本．经市场调研，每降1元出售，平均每天多售出40本．
问题解决：
(1)求从7月28日到7月30日票房收入的平均增长率？
(2)根据素材2，使每天销量达到400本时，应降多少元？
(3)根据素材2，商家每天固定成本为300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系不变的情况下，求售价为多少元时，每天最大利润为多少？
3．（2024·江苏宿迁·三模）校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克．
(1)当时，求与的函数关系式；
(2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？
4．（2025·云南·模拟预测）随着母亲节的临近，鲜切花市场迎来又一高峰，在被誉为“亚洲花都”的云南斗南花卉市场，鲜切花供货量维持高位运转并逐步上涨，母亲节的拉动效应在康乃馨这一品类上体现得尤为突出．某花店销售商在昆明国际花卉拍卖交易中心10天全部售完，根据记录的数据发现，该康乃馨每天的销售量y(单位：把)与销售时间x(单位：天)(x为整数)之间的关系式为，销售价p(单位：元/把)与销售时间x(单位：天)之间的关系如图所示．
(1)求p与x之间的函数关系式；
(2)求日销售额的最大值．
5．（2025·贵州·一模）某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如下表：
已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
(3)公司在销售的前28天中，每销售1kg这种商品就捐赠元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围．
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧02：利用二次函数解决抛物形实际问题
【典例】
1．（2025·贵州铜仁·三模）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．如图所示，若该航模飞机从水平安全线上的处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为．
(1)求的值；
(2)求关于的函数解析式，并求飞行高度的最大值；
(3)该活动小组在水平安全线上的点处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度．
2．（2025·陕西咸阳·三模）果树拉枝的作用是通过调整枝条生长方向和树形结构，实现营养与生殖生长的平衡，从而提升产量和果实品质．如图1，果树右侧的枝条经过拉枝后近似呈抛物线型．将图1经过拉枝的枝条．抽象成如图2所示的抛物线，为果树主干，为拉枝的绳子，与均与地面垂直，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知，点到轴的水平距离为，抛物线的对称轴为直线．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是枝条的末端，点到的水平距离为，求点到水平地面（轴）的距离．
3．（2025·河南周口·二模）大部分低速新能源电车都采用鼓刹制动，工作原理是通过机械外力将刹车片与刹车盘紧密接触，通过摩擦力使车辆减速或停止．已知某新能源电车在一次刹车后，行驶距离与行驶时间的函数图象是下面抛物线的一部分，且点为该图象的顶点，抛物线经过原点．
(1)解释点坐标的意义，并求出抛物线解析式；
(2)已知该新能源电车在此次刹车后的运动速度（单位：）与（单位：）之间满足关系式，试驾者驾驶该新能源电车，突然导航提示前面35米处有隔离带，于是立即刹车．为确保安全通过隔离带，需要将车速降低到5米/秒以下．通过计算说明试驾者是否有安全风险．
4．（2025·福建宁德·二模）学完二次函数知识后，小明利用抛物线设计了一个如图1所示的公园休憩凉亭，凉亭的支柱为抛物线的一部分，为保护支柱，要求设计时让每个柱脚到屋檐铅垂线的距离不小于．图2是凉亭的截面图，其中抛物线柱脚之间的距离，抛物线柱的最高点离地面的距离为，平屋面离地面的距离为，其一端恰好在抛物线柱上，根据设计要求，柱脚到过屋檐的铅垂线的距离，斜屋面与平屋面的夹角，档板与斜屋面的夹角．
(1)在图2所示的平面直角坐标系中，求出抛物线的函数表达式；
(2)求平屋面的长；（结果精确到）
(3)判断柱脚到过屋檐的铅垂线的距离是否满足设计要求？（结果精确到）
（参考数值：，，，）
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧03：利用二次函数解决几何面积的最值问题
【典例】
1．（2025·山东青岛·一模）小明爸爸打算用一块长为，宽为的矩形铁皮（图①）制作一个无盖的长方体容器（图②），需要将四角各裁掉一个正方形（厚度不计）．
(1)请你在图①中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并计算长方体底面面积为时，裁掉的正方形边长是多少分米？
(2)若所制作的长方体底面的长不超过底面宽的5倍，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.25元，底面每平方分米的费用为1元，则裁掉的正方形边长是多少分米时，总费用最低，最低为多少元？
2．（2025·河南漯河·一模）如图1，用一段长为45米的篱笆围成一个一边靠墙，并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为18米．设的长为米，矩形菜园的面积为平方米．
(1)___________平方米．（用含的代数式表示，结果需化简）
(2)若分成的两个小矩形是正方形，求的值．
(3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方和中间的篱笆隔墙各开一个1米宽的门（无需篱笆），当为何值时，取得最大值？最大值为多少？
3．（2025·广东江门·一模）如图，学校在教学楼后搭建了两个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼长60m的后墙，其他的边用总长70m的不锈钢栅栏围成．左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．另外，在距离后墙8m外，还规划有机动车停车位．
(1)若设车棚宽度AB为xm，则车棚长度BC为______m；
(2)设自行车车棚面积为，车棚宽度AB为，求S与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(3)学校调研教职工及学生的需求后，现决定对车棚进行扩建．在不对后墙进行改造的情况下，若希望扩建后车棚面积不小于405m，是否有必要改动机动车停车位的位置规划？但机动车停车位EF向外最多移动2m，如有必要，请给出具体方案；如无必要，请说明理由．
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形是矩形，分别以边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为，矩形的边长．（注：取）
(1)试用含x的代数式表示y；
(2)现计划在矩形区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元；
①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式；
②该工程要求矩形的边的长不超过长的，政府计划投入万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？
"file/D:\\0工作\\精品老师\\安徽%20宋文晶\\0已完结专辑%20%20%20xkw_420114352%20%20%20%20%20%20%20%20店铺ID：650024\\【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单\\专题01%20%20数与式%20（4大模块知识梳理+10个基础考点+1个方法技巧+4个易错点）原卷版.dcx" \l "_Tc182324402" 技巧04：二次函数的几何动点问题
【典例】
1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发沿方向匀速运动，速度为，连接、、．若设运动时间为．
(1)求的长度；
(2)当时，求t的值；
(3)设的面积为S，求S关于t的函数关系式．
2．（2025·吉林·模拟预测）如图，在中，，，，D是边中点，延长至点E，使，动点P、Q分别从点E、D同时出发，点P以的速度沿向终点D运动，点Q以的速度沿运动，以为边向上方作等边三角形．设与重叠部分的面积为，点P运动的时间为．
(1)________；
(2)当点A落在边上时，求t的值；
(3)当与重叠部分的图形是四边形时，求S与t之间的函数解析式．
3.（2025·吉林·模拟预测）如图，在直角三角形中，，，．动点P从点A出发，沿线段向终点B以的速度运动，同时动点Q从点C出发沿线段以的速度向终点A运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，以、为邻边作．设与直角三角形重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为．
(1)直接写出_____；
(2)当点E落在线段上时，求t的值；
(3)求与之间的函数关系式．
4.（2025·吉林松原·模拟预测）如图，在中，，，，平分，过点作，垂足为，点从点出发，以的速度沿边运动，同时点从点出发，沿运动，点在段以每秒的速度运动，在段以每秒的速度运动，当点与点重合时，两点同时停止运动．设点的运动时间为与重叠部分图形的面积为．
(1)请直接写出的长；
(2)求点到达点时，点和点的距离；
(3)求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
一、单选题
1．（2024·北京西城·二模）下面问题中，y与x满足的函数关系是二次函数的是（ ）
①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系；
②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系；
③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价x（元）的关系．
A．①B．②C．③D．①③
2．（2025·广东深圳·二模）“科技点亮未来，创新成就梦想”，在坪山区某九年一贯制学校2025年的科技节活动中，水火箭这一汇聚了物理智慧与巧妙构思的科技作品，闪耀着耀眼的光芒，水火箭从地面竖直向上弹出，其初始速度为20米/秒．水火箭在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（ ）
A．1秒B．2秒C．3秒D．4秒
3．（2025·黑龙江佳木斯·二模）某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
设每天的总利润为W（元），则W与x之间的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·天津南开·三模）飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是．有下列结论：
①飞机着陆后滑行时，滑行的距离为；
②飞机着陆后滑行才能停下来；
③飞机着陆后滑行才能停下来．
其中，正确的结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．（2025·广西防城港·模拟预测）如图是小颖家门口的路灯示意图，为垂直于地面的竖直灯杆（点在地面上），灯杆顶端与灯泡之间用一根曲杆连接，曲杆的形状可看成是一条抛物线的一部分，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知该拋物线的顶点，竖直灯杆的高度为，灯泡到轴的水平距离为，则灯泡到地面的高度为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·江西·模拟预测）如图1所示的旋转木马的运动轨迹可抽象成同心圆，小明乘坐的木马A离入口的距离y（单位：）与旋转时间x（单位：s）之间的关系如图2所示．下列说法错误的是（ ）
A．旋转木马转一圈需要
B．当时，小明与入口的距离为
C．小明与入口的距离为时，旋转木马恰好转了
D．当时，y随x的增大而增大
7．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，在正方形中，，对角线相交于点O，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点C出发沿方向以的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），的面积为，则点P分别在上运动时，y与x的函数关系分别是（ ）
A．均为一次函数B．一次函数，二次函数
C．均为二次函数D．二次函数，一次函数
8．（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．（2025·甘肃酒泉·一模）用总长为米的篱笆围成矩形的场地，矩形的面积随矩形的一边长的变化而变化，则当是 时，场地的面积最大？
10．（2025·青海西宁·一模）某车刹车距离与开始刹车时的速度之间的函数关系式为，这辆汽车以的速度行驶，在前方处停放一辆故障车，此时刹车 有危险（填“会”或“不会”）．
11．（2020·辽宁沈阳·二模）某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润 ．
12．（2024·吉林松原·模拟预测）如图为一座拱桥的部分示意图，中间桥洞的边界线是抛物线形，涝季的最高水位线在处，此时桥洞中水面宽度仅为4米，桥洞顶部点O到水面的距离仅为1米；旱季最低水位线在处，此时桥洞中水面宽度达12米，那么最低水位与最高水位之间的距离为 米．
13．（2025·青海西宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，点和点分别在轴和轴的正半轴上，，，以，为邻边作矩形.点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动。过点作交于点，连接.设运动时间为秒，记的面积为，求与的函数解析式
14．（2025·甘肃·模拟预测）一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为 ．
15．（2025·甘肃定西·三模）某公园计划修建一个如图所示的凉亭，凉亭正中间立柱的高为，立柱左右两侧是关于立柱对称的抛物线形凉伞，凉伞的最高点距离地面，且最高点到立柱的水平距离为．为使凉伞更加美观牢固，在凉伞最外侧的（两点分别在这两条抛物线上）处，分别修建了高度均为的支架．建立了如图所示的平面直角坐标系，与之间的距离是 m．
16．（2025·江苏无锡·一模）如图，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图是的面积（cm2）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段）， ；当的面积为时，运动时间为 ．
三、解答题
17．（2025·湖南·模拟预测）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，水面上升，求水面宽度．

18．（2023·北京·模拟预测）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板距水面高为3米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度4米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)求运动员落水点与点C的距离．
19．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）
已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和．
(1)求喷头喷出的水流的最大高度；
(2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？
20．（2025·湖北·三模）为迎接学校运动会，综合实践小组的同学研究了每位同学掷实心球的训练情况，下面是对小宇同学某次掷球的研究．根据实心球运动的路线，发现其行进路线是抛物线的一部分．如图，以过点O水平方向的直线为x轴，过点O竖直方向的直线为y轴，建立平面直角坐标系．实心球运动的高度与水平距离的部分数据如表：
(1)求实心球运动的高度与水平距离的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）
(2)求实心球出手时（即与y轴交点）的高度；
(3)当实心球落地点到原点的距离超过时，得分为满分．请通过计算说明小宇此次掷球是否得到满分．
21．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)当时，求的面积；
(2)当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？
(3)是否存在某一时刻t，使的面积等于矩形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
22．（2025·湖北十堰·模拟预测）小钉从某超市获得关于销售甲，乙两种品牌洗手液的信息如下：
➢甲洗手液的进价为12元/瓶，每瓶利润不得高于进价的．
➢乙洗手液每瓶的利润保持不变．
➢当甲、乙两种洗手液每瓶的利润相同时，销售甲可获利150元．
➢甲洗手液的日均销售量y瓶与每瓶售价x元的关系如表：
请根据以上信息，解决以下问题：
(1)利用学过的函数知识，选择一种模型来确定y与x的函数关系式．
(2)求乙洗手液每瓶的利润为多少元？
(3)据了解，该超市销售甲、乙两种洗手液获得的最大日均利润和不少于380元，请问该超市每日至少销售甲、乙两种洗手液共多少瓶？
23．（2025·湖北·模拟预测）某种蔬菜的销售单价与销售月份x之间的关系如图①所示，成本与销售月份x之间的关系如图②所示（图①的图象是线段，图②的图象是抛物线），已知6月份这种蔬菜的成本最低．
(1)直接写出与x以及与x之间的函数解析式；（不要求写自变量的取值范围）
(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（收益=售价一成本）
(3)已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克．
24．（2024·全国·模拟预测）综合与实践
在学习了二次函数之后，数学兴趣小组对物理学中的探究实验“阻力对物体运动的影响”有了新的认识．于是对一个静止的小球从斜坡上滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究．
【实验过程】如图1是一个含有两个斜坡的轨道的截面，该图形是一个轴对称图形，两个斜坡材质等都完全一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、运动距离（单位：）的数据．
【收集数据】记录的数据如下表：
【建立模型】
（1）观察表格发现是的__________（填“一次函数”“二次函数”或“反比例函数”），函数表达式为__________．
（2）请在图2的平面直角坐标系中画出关于的函数图象，观察发现是的__________（填“一次函数”“二次函数”或“反比例函数”）．请求出关于的函数表达式．
【拓展应用】
（3）①求黑球在水平木板上运动的最大距离．
②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由．
x
0
1
y
0
6
9
刹车后行驶的时间
0
1
2
3
刹车后行驶的距离y
0
27
48
63
《方法技巧》
利用二次函数解决利润最值的方法：利润问题主要涉及两个等量关系:利润=售价-进价，总利润=单件商品的利润x销售量，在解答此类问题时，应建立二次函数模型，转化为函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题.
时间x（天）
售价（元）
60
日销售量
《方法技巧》
利用二次函数解决拱桥、隧道、拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，一般选择抛物线形建筑物的底(顶)部所在的水平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高(低)点为坐标原点建立直角坐标系来解决问题，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图像信息解决实际问题.
《方法技巧》
几何图形中求最值，常用的建立函数关系的方法：
几何图形中的最值问题，一般是利用二次函数的最值求解，根据几何图形建立二次函数关系是解题的
关键.一般在几何图形中建立函数关系有如下方法：
(1)面积法：利用几何图形面积公式建立函数关系：
(2)勾股法：利用勾股定理建立函数关系
(3)和差法：利用所给图形面积的和或差表示所求图形的面积，从而建立函数关系
《方法技巧》
利用二次函数解决运动型几何问题的方法：对于运动型几何问题中的函数应用问题，解题时应深入理解运动图形所在的条件与环境，用运动的眼光去观察和研究问题，挖掘运动、变化的全过程，并特别关注运动过程中的不变量、不变关系和特殊关系，然后化“动态”为“静态”、化“变化”为“不变”，通过分析找出题中各图形的结合点，借助函数的性质予以解决.当图形(或某一事物)在运动的过程中某一量取到最大值或最小值时，其位置必定在一个特殊的位置,这是普遍规律.
售价x（元/千克）
50
60
70
销售量y（千克）
100
80
60
1
2
4
6
7
…
2.25
3
2.25
…
x（元）
…
13
14
…
y（瓶）
…
70
65
60
45
…
运动时间
运动速度
运动距离