中考数学二轮复习二次函数重难点练习专题20 二次函数与相似三角形存在性问题（2份，原卷版+解析版）

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【问题描述】
在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．
【基本定理】
判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；
判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；
判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．
以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决问题．
【题型分析】
通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”两类问题．
【思路总结】
根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！
所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．
然后再找：
思路1：两相等角的两边对应成比例；
思路2：还存在另一组角相等．
事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．
一、如何得到相等角？
二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？
搞定这两个问题就可以了．
直击中考
1．如图，设抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，顶点记为点．且．
(1)求的值和抛物线的解析式；
(2)已知过点A的直线交抛物线于另一点．若点在轴上，以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，的外接圆半径等于 ．（直接写答案）
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）由点、，对称轴为直线，先求得点，然后用待定系数法即可得到抛物线解析式
（2）与相似分两种情况讨论即可求得点的坐标
（3）在（2）的条件下，分两种情况讨论可求得的外接圆半径
【详解】（1）抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，
，
解得：，
∴，
将点、分别代入抛物线得：
，
解得：
抛物线的解析式为
（2）联立直线与二次函数解析式得：
解得：，
，，，
与相似分为以下两种情况：
①当时得：
，
②当时得：
综上所述：或．
（3）当点时
线段的垂直平分线为
线段的垂直平分线为
联立方程组：
解得圆心坐标为
外接圆半径为
同理：当点坐标为
线段的垂直平分线为
线段的垂直平分线为
联立方程组：
解得圆心坐标为，
外接圆半径为
综上所述：外接圆半径为或．
【点睛】本题是相似三角形问题(二次函数综合)综合题，考查了待定系数法求二次函数表达式、二次函数的图象和性质、一次函数的图象、相似三角形的性质及圆的基本性质；熟练掌握数形结合的数学方法是解决问题的关键
2．（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=-x2+2x+3；
(2)存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由见解析；
(3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或
【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∵A（-1，0），
∴B（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入抛物线的解析式得：
-3a=3，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；
（2）存在，P（0，-1），理由如下：
∵∠APB+∠ACB=180°，
∴∠CAP+∠CBP=180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，
如图所示，
∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3），
∴OB=OC=3，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠APC=∠ABC=45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP=OA=1，
∴P（0，-1）；
（3）解：存在，理由如下：
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性得：E（2，3），
∵A（-1，0），
∴，
∴，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3，
∵点M在直线l下方的抛物线上，
设，则t＞2或t＜0，
∵MF⊥l，
∴点F（t，3），
∴，，
∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，
∴或，
∴或，
解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或（舍去）或，
∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或，
综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角形并得出AD∶AE的值是解题关键．
3．（2022·辽宁·统考中考真题）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2＝S1时．求点P的横坐标；
(3)如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．
【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3
(2)P点的横坐标为或
(3)Q点坐标为(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5)
【分析】（1）用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）先分别求出直线AE、AC的解析式，进而求出点B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2），过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，设P（m，m2﹣2m﹣3），则M（m，m﹣3），由面积关系求出P点的横坐标；
（3）分类讨论①当△CDF∽△QAE时， ；②当△CDF∽△AQE时，；③当△CDF∽△EQA时， ；④当△CDF∽△QEA时， ．分别求出点Q的坐标．
（1）
解：将A（3，0），点C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）
将A（3，0）代入y＝﹣x+b中，
∴b＝3，
∴y＝﹣x+3，
设直线AC的解析式为y＝kx+b'，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴B（1，2），D（1，0），F（1，﹣2），
过点P作x轴垂线交AC于点M，交x轴于点N，
设P（m，m2﹣2m﹣3），则M（m，m﹣3），
∴PM＝﹣m2+3m，
∴S2＝×OA×PM＝m2+m，
S1＝×BF×AD＝4，
∵S2＝S1，
∴m2+m＝，
解得m＝或m＝，
∴P点的横坐标为或；
（3）
∵C（0，﹣3），D（1，0），F（1，﹣2），
∴CD＝，CF＝，DF＝2，
∵E（﹣2，5），A（3，0），
∴AE＝5，
设Q（x，y），
①当△CDF∽△QAE时，
∴＝＝，
∴AQ＝5，EQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（﹣7，5）；
②当△CDF∽△AQE时，，
∴＝＝，
∴AQ＝5，QE＝10，
∴，
解得（舍）或，
∴Q（﹣12，5）；
③当△CDF∽△EQA时， ，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝10，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣10）；
④当△CDF∽△QEA时， ，
∴＝＝，
∴EQ＝5，AQ＝5，
∴，
解得或（舍），
∴Q（3，﹣5）；
综上所述：Q点坐标为（﹣7，5）或（﹣12，5）或（3，﹣10）或（3，﹣5）．
【点睛】本题主要是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，三角形面积，相似三角形的判定和性质，利用数形结合和分类讨论思想解答是解题的关键．
4．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求CP+PQ+QB的最小值；
(3)过点P作PM⊥y轴于点M，当CPM和QBN相似时，求点Q的坐标．
【答案】(1)A(﹣1，0)，B(4，0)，C(0，4)
(2)6
(3)(，)或(，)或(，)
【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；
（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）．
（1）
解：在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）．
（2）
将C（0，4）向下平移至，使，连接交抛物线的对称轴l于Q，如图所示：
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵B，Q，共线，
∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为的值，
∵C（0，4），，
∴，
∵B（4，0），
∴＝＝5，
∴，
∴CP+PQ+BQ最小值为6．
（3）
如图：
由y＝﹣x2+3x+4得，抛物线对称轴为直线，
设Q（，t），则P（，t+1），M（0，t+1），N（，0），
∵B（4，0），C（0，4）；
∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，
∵∠CMP＝∠QNB＝90°，
∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，
①当＝时，＝，
解得t＝或t＝，
∴Q（，）或（，）；
②当＝时，＝，
解得t＝或t＝（舍去），
∴Q（，），
综上所述，Q的坐标是(，)或(，)或(，)．
【点睛】本题主要考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用．
5．（2022·广西玉林·统考中考真题）如图，已知抛物线：与x轴交于点A，（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上的任一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D为线段的中点，则能否是等边三角形？请说明理由；
(3)过点P作x轴的垂线与线段交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与相似，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)不能，理由过程见详解
(3)(1,4)或者()
【分析】（1）根据抛物线对称轴即可求出b，再根据抛物线过B点即可求出C，则问题得解；
（2）假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，根据等边三角形的性质即可求出P点坐标，再验证P点是否在抛物线上即可求证；
（3）先根据PH⊥BO，求得∠MHB=90°，根据（2）中的结果求得OC=4，根据B点(2,0)，可得OB=2，则有tan∠CBO=2，分类讨论：第一种情况：△BMH∽△CMP，即可得，即P点纵坐标等于C点纵坐标则可求出此时P点坐标为(1,4)；第二种情况：△BMH∽△PMC，过P点作PG⊥y轴于点G，先证明∠GCP=∠OBC，即有tan∠GCP=2，即有2GC=GP，设GP=a，则GC=，即可得PH=OG=+4，则有P点坐标为(a,+4)，代入到抛物线即可求出a值，则此时P点坐标可求．
【详解】（1）∵的对称轴为，
∴，即b=2，
∵过B点(2,0)，
∴，
∴结合b=2可得c=4，
即抛物线解析式为：；
（2）△POD不可能是等边三角形，
理由如下：
假设△POD是等边三角形，过P点作PN⊥OD于N点，如图，
∵当x=0时，，
∴C点坐标为(0,4)，
∴OC=4，
∵D点是OC的中点，
∴DO=2，
∵在等边△POD中，PN⊥OD，
∴DN=NO=DO=1，
∵在等边△POD中，∠NOP=60°，
∴在Rt△NOP中，NP=NO×tan∠NOP=1×tan60°=，
∴P点坐标为(,1)，
经验证P点不在抛物线上，
故假设不成立，
即△POD不可能是等边三角形；
（3）∵PH⊥BO，
∴∠MHB=90°，
根据（2）中的结果可知C点坐标为(0,4)，
即OC=4，
∵B点(2,0)，
∴OB=2，
∴tan∠CBO=2，
分类讨论
第一种情况：△BMH∽△CMP，
∴∠MHB=∠MPC=90°，
∴，
∴即P点纵坐标等于C点纵坐标，也为4，
当y=4时，，
解得：x=1或者0，
∵P点在第一象限，
∴此时P点坐标为(1,4)，
第二种情况：△BMH∽△PMC，
过P点作PG⊥y轴于点G，如图，
∵△BMH∽△PMC，
∴∠MHB=∠MCP=90°，
∴∠GCP+∠OCB=90°，
∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠GCP=∠OBC，
∴tan∠GCP=tan∠OBC=2，
∵PG⊥OG，
∴在Rt△PGC中，2GC=GP，
设GP=a，
∴GC=，
∴GO=+OC=+4，
∵PG⊥OG，PH⊥OH，
∴可知四边形PGOH是矩形，
∴PH=OG=+4，
∴P点坐标为(a,+4)，
∴，
解得：a=或者0，
∵P点在第一象限，
∴a=，
∴，
此时P点坐标为()；
∵△BMH与△PCM中，有∠BMH=∠PMC恒相等，
∴△PCM中，当∠CPM为直角时，若∠PCM=∠BMH，则可证△PCM是等腰直角三角形，
通过相似可知△BMH也是等腰直角三角形，这与tan∠CBO=2相矛盾，故不存在当∠CPM为直角时，∠PCM=∠BMH相等的情况；
同理不存在当∠PCM为直角时，∠CPM=∠BMH相等的情况，
综上所述：P点坐标为：(1,4)或者()．
【点睛】本题考查了求解抛物线解析式、二次函数的图像与性质、等边三角形的判定、相似三角形的性质、解直角三角形等知识，掌握二次函数的图像与性质是解答本题的关键．
6．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），即可得到关于a、b的方程，从而可以求得a、b的值，然后即可写出抛物线的解析式；
（2）根据（1）中抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据是等腰直角三角形，得出是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），
∴
解得
∴此抛物线的解析式为：
（2）当时，，所以，OB=OC=3，
∴是等腰直角三角形，
以点P、Q、E为顶点的三角形与相似，
∴是等腰直角三角形，
设点P的坐标为，抛物线的对称轴为直线，
设BC的解析式为，将B（﹣3，0），C（0，3）代入得，
，
解得，，故BC的解析式为，
把代入得，，则E点坐标为，
如图，当E为直角顶点时，，解得，，（舍去），把代入得，，则P点坐标为，
当Q为直角顶点时，PQ=QE，即，解得，（舍去），把代入得，，则P点坐标为；
当P为直角顶点时，作PM⊥EQ于M，PM=ME，即，解得，（舍去），则P点坐标为；
综上，P点坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键是熟练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程．
7．（2023秋·上海浦东新·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的正、负半轴分别交于点B、A，与y轴交于点C，已知，，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)设该抛物线的对称轴分别与x轴、交于点E、F，求的长；
(3)在（2）的条件下，联结，如果点P在该抛物线的对称轴上，当和相似时，求点P的坐标
【答案】(1)
(2)
(3)P的坐标为：或．
【分析】（1）先利用抛物线的解析式求解C的坐标，再求解B的坐标，A的坐标，设设抛物线为，把代入即可；
（2）先求解抛物线的对称轴为直线，再求解直线为，可得F的坐标，从而可得答案；
（3）如图，过作于，证明，可得，而，可得，则，当和相似时，显然与对称轴没有交点，不在的下方，只能在的上方，且与是对应角，再分两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线，
当，则，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
设抛物线为，把代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为：．
（2）∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为，
当时，，即，
∴．
（3）如图，过作于，
∵，，，
∴，，，，
∴，则，
∴，而，
∴，
而，
∴，
∴，
当和相似时，显然与对称轴没有交点，
∴不在的下方，只能在的上方，且与是对应角，
当时，
∴，
∴，
∴，
当，
∴，
∴，解得：，
∴．
综上：P的坐标为：或．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，求解一次函数的解析式，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，勾股定理的应用，熟练的证明与是对应角是解（3）的关键．
8．如图，直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、、三点．
(1)填空：， 、 ， 、 ， ；
(2)求抛物线的函数关系式；
(3)为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，此时点的坐标为，
【分析】（1）直线中，，则；，则，解得A|、B坐标，根据旋转的性质知：，即；
（2）把，，两点坐标代入抛物线即可解得；
（3）过点作轴垂足为点，求出，分情况讨论，①当时，，过点作轴，垂足为点，根据勾股定理求出，②当时，，则，求出点坐标．
【详解】（1）直线中，
，则；，则；
，；
根据旋转的性质知：，即；
，，；
（2）抛物线经过点，
；
又抛物线经过，两点，
，解得；
；
（3）过点作轴垂足为点；
由（2）得
，
，；
，
；
，
；
①当时，，
则，
过点作轴，垂足为点；
，
设，则
在中，．
，
，（不合题意，舍去）
又，
；
②当时，，则，
；
，
（不合题意，舍去）
综上所述，存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，此时点的坐标为，．
【点睛】此题考查了一次函数与坐标轴交点，求抛物线解析式，三角形相似， 解决本题的关键时熟练掌握二次函数得图像和性质，一元二次方程的知识．
9．（2022春·全国·九年级专题练习）已知：如图，，，点的坐标为，抛物线过、、三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点作交抛物线于点，求四边形的面积；
(3)在轴上方轴左侧的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、、三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在点，使与相似
【分析】（1）由题意知，为等腰直角三角形，则，由此可得、、的坐标，进而利用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）由，可得，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，由于点位于抛物线的图象上，将点代入抛物线的解析式中，即可确定点的坐标；易知的长，可分别求出和的面积，它们的面积之和即为四边形的面积；
（3）根据、、的坐标，可求出、的长，由于，若以、、三点为顶点的三角形与相似，那么它们的对应直角边对应成比例，可设出点的横坐标，然后表示出、的长，进而可根据①，②，两种情况下所得不同的比例线段，求出不同的点的坐标．
【详解】（1）解：，，
为等腰直角三角形，
点，
点，点，
设抛物线的解析式为，
，
，
抛物线的解析式为．
（2）解：，
，
，
；
过点作轴于点，则为等腰直角三角形；
令，则，
；
点在抛物线上，
，解得，（不合题意，舍去），
；
四边形的面积．
（3）解：假设存在符合条件的点．
，
，
轴于点，
，
在中，，
，
在中，，
，
设点的横坐标为，则，
点在轴上方轴左侧，
；
①当时，有，
，，即，
解得（舍去），（舍去）；
②当时，有，
即，
解得（舍去），；
综上可知，存在点，使与相似．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的性质、函数图象上点的坐标意义、相似三角形的判定和性质，注意（3）小问中，要根据相似三角形不同对应顶点来分类讨论，以免漏解．
10．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，一次函数的图象与二次函数图象的对称轴交于点．
(1)写出点的坐标 ；
(2)将直线沿轴向上平移，分别交轴于点、交轴于点，点是该抛物线与该动直线的一个公共点，试求当的面积取最大值时，点的坐标；
(3)已知点是二次函数图象在轴右侧部分上的一个动点，若的外接圆直径为，试问：以、、为顶点的三角形与能否相似？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)相似，点的坐标为或
【分析】（1）由抛物线解析式求出对称轴，再代入即可求出点的坐标；
（2）如图1，由题意可设直线的解析式为，要是的面积最大，只需直线与抛物线相切，由此可求出的值，即可求得点的坐标；
（3）过点作轴，如图2，由题意可设直线的解析式为，从而可得，，，由的外接圆直径为可得，易证，根据相似三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：①，②，用含的代数式表示点的坐标，然后代入抛物线的解析式，求出，即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，
当时，，
则点的坐标为．
故答案为：；
（2）解：如图1，
设直线的解析式为，
联立，
消去并整理得，
，
当直线与抛物线相切时，
，
解得，
此时直线的解析式为，
令，可得，
的面积最大时，点的坐标为；
（3）解：过点作轴，如图2．
设直线的解析式为，
则有，，
从而可得，，．
的外接圆直径为，
，
．
，
，
．
，
，
．
①若，则有．
，
，，
，
点的坐标为．
点在抛物线上，
，
解得：（舍去），，
点的坐标为；
②若，则有．
，
，，
，
点的坐标为．
点在抛物线上，
，
解得：（舍去），，
点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了抛物线的对称轴，抛物线与直线的交点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程，运用分类讨论和构造型相似是解题的关键．
11．已知抛物线与轴交于，两点，（在的左侧），与轴交于，若，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在一点，过作轴于，以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在符合条件的点，且坐标为：，，，，
【分析】（1）根据，可得，将，的坐标代入抛物线解析式中，即可求得待定系数的值，从而确定抛物线的解析式．
（2）根据小得到的抛物线的解析式，可求得点的坐标，分点在轴上方和在轴下方两种情况，根据相似三角形和轴点的坐标特征即可得点的坐标．
（3）根据，的坐标，可知进而由相似三角形可得或者，可设出点的横坐标根据抛物线的解析式表示出它的纵坐标，然后表示出，的长，从而得出点的坐标．
【详解】（1）解：∵且
∴
∴将代入抛物线及解析式中，
∴可得： ，解得；
∴
故答案为：．
（2）如图：
解：∵，
∴
∴
∴
∵函数解析式为：
∴
∵
∴
∴
∵
∴
当点在轴上方时
∵
∴
∴=
∴=
∴
∵
∴
当点在轴下方时
∵
∴点和点关于轴对称
∴点的坐标为
故答案为：或者．
（3）解：∵
∴
∵
若以，，为顶点的三角形与相似
∴或者
∴或者
设则
如图：
∵当时
∴
若
∴
解得
若
∴
解得
∵且
∴上述四个结果都不符合题意
如图：
∵当时，
∴
若
∴
解得(舍去)
若
∴
解得(舍去)(舍去)
∴，
如图
∵当时，
∴
若
∴
解得（舍去），
若
∴
解得：(舍去)，
故）或者
综上所述符合，存在符合条件的M点，且坐标），，
【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数解析式的确定以及相似三角形的判定和性质，要注意的是第二和第三小问需要分类讨论，一定要考虑全面，以免漏解．
12．如图，已知过坐标原点的抛物线经过，，，两点，且、是方程两根，抛物线顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；
(3)是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，是否存在点使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在点，的坐标是，，，
【分析】（1）通过解方程求出的值，就可以求出点A、B的坐标，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式．
（2）①当为边时，根据E在上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；②为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标；
（3）设，根据勾股定理的逆定理求出直角三角形，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可．
【详解】（1）、是方程的两根，
解得原方程的两根分别是：，，
，，
设抛物线的解析式为，，则，
解得：，
抛物线的解析式是．
（2），
对称轴为：，
①当为边时，
以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
，，
在对称轴上，
的横坐标是1或，
的坐标是或，此时的坐标是；
②当是对角线时，则和互相平分，有在对称轴上，且线段的中点横坐标是，
由对称性知，符号条件的点只有一个，即是顶点，此时，
综合上述，符合条件的点共由两个，分别是或．
（3）假设存在，设，
，，
，，，
，
是直角三角形，，，
以、、为顶点的三角形和相似，
又，
，或，
，
解得：或或或，
存在点，的坐标是，，，，，．
【点睛】本题综合考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解，分类讨论思想的巧妙运用．
13．（2022春·全国·九年级专题练习）已知，如图二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，，点，抛物线的对称轴为，直线交抛物线于点．
(1)求二次函数的解析式并写出点坐标；
(2)点是中点，点是线段上一动点，当和相似时，求点的坐标．
【答案】(1)，点的坐标为
(2)点的坐标为或，
【分析】（1）运用待定系数法就可求出二次函数的解析式，然后把点代入二次函数的解析式，就可求出点D的坐标；
（2）过点D作于点H，如图，根据勾股定理可求出，易求出点A的坐标，从而得到长，然后分两种情况（①若，②若）讨论，只需运用相似三角形的性质就可求出，从而得到，即可得到点Q的坐标．
【详解】（1）由题可得：
，
解得：，
二次函数的解析式为．
点在抛物线上，
，
点的坐标为．
（2）过点作于点，如图，
点，点，
，，，
，
．
点为的中点，
．
令得，
解得：，，
点为，
．
①若，
则，
，
解得：，
，
点的坐标为；
②若，
则，
，
，
，
点的坐标为，．
综上所述：点的坐标为或，．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，运用相似三角形的性质及分类讨论是解决第（2）小题的关键．
14．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交点
(1)求抛物线的解析式以及顶点的坐标；
(2)若是线段的中点，连接，猜想线段与线段之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想；
(3)在坐标轴上是否存在点，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式是，顶点的坐标是
(2)，理由见解析
(3)坐标轴上存在点，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，P点坐标为，，．
【分析】（1）设抛物线的解析式是：，把C的坐标代入求出即可；
（2）分别求得、、的长，利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，根据直角三角形斜边的中线即可求解；
（3）①当，②当时，③当，根据相似三角形的性质得到比例式，代入求出即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式是：，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴，
答：抛物线的解析式是，顶点的坐标是．
（2）解：线段与线段之间的数量关系是．
证明：∵顶点的坐标是，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∵为的中点，
∴；
（3）解：坐标轴上存在点，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似，点的坐标是，，．
∵为直角三角形，，
若点P在x轴上，
当，即点P在原点时，
∵，
∴，此时P点坐标为；
当，，，
即，
解得，此时P；
若P点在y轴上，
当时，P点在原点满足条件，
当时，，，
即，解得，
则，此时P点坐标为，
综上所述，P点坐标为，，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；熟练运用相似三角形的知识求线段的长；理解坐标与图形性质；理解勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边的中线性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题．
15．如图，平面直角坐标系中，点、、在轴上，点、在 轴上，，，，直线与经过、、三点的抛物线交于、两点，与其对称轴交于．点为线段上一个动点（与、不重合），PQ∥y轴与抛物线交于点．
(1)求经过、、三点的抛物线的解析式；
(2)是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点坐标为，或，
【分析】（1）由条件可以求出点B、E、C的坐标，然后利用待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式．
（2）易知是等腰，若以P、Q、M为顶点的三角形与相似，那么也必须是等腰；由于，因此本题分两种情况：①为斜边，M为直角顶点；②为斜边，Q为直角顶点；首先求出直线的解析式，进而可得到M点的坐标；设出P点横坐标，然后根据抛物线和直线的解析式表示出P、Q的纵坐标，即可得到的长；在①中，的长为M、P横坐标差的绝对值的2倍；在②中，的长正好等于M、P横坐标差的绝对值，由此可求出符合条件的P点坐标；
【详解】（1），，，
，，，，
设函数解析式为，
，解得，
经过、、三点的抛物线的解析式为：
（2）设直线的解析式为
，；
∴
解得
所以直线；
联立，
解得，
∴，，，；
设点坐标为，，则；
；
由条件容易求得，，
若以、、为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形；
①以为直角顶点，为斜边；，
即：，
解得，（不合题意舍去）
，；
②以为直角顶点，为斜边；，
即：，
解得，（不合题意舍去）
，
故存在符合条件的点，且点坐标为，或，．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，同时还考查了分类讨论的数学思想．
16．（2022秋·湖南郴州·九年级校考期末）如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点的右边），交轴于点．点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点E．
(1)求，两点的坐标；
(2)求线段的最大值；
(3)如图2，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)最大值为
(3)存在，或
【分析】（1）令，得到，即可求解；
（2）设，则，先求出直线的解析式为，可得，可得到用m表示的长，再根据二次函数的的性质，即可求解；
（3）根据题意可得，从而得到当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点．然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点
∴．
解得：，
∴，；
（2）解：设，则，
∵抛物线与轴相交于点，
∴．
设直线解析式为，
∵直线经过点，，
∴，解得 ．
∴直线的解析式为，
∴，
又∵，
∴；
∴当时，取得最大值；
（3）解：存在以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下：
设，
由（2）得：，
如图，过点F作轴于点G，则，
由（1）可得：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，与为对应顶点．
①当时，，
即，
解得：或（舍去），
∴；
②当时，，即
解得：或（舍去）
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．