中考数学一轮复习 难点与易错点08二次函数与三角形、相似三角形、四边形的存在性（5大热考题型）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学一轮复习 难点与易错点08二次函数与三角形、相似三角形、四边形的存在性（5大热考题型）（2份，原卷版+解析版），共7页。

题型一：等腰三角形的存在性问题
【中考母题学方法】
【典例1】易错点 等腰三角形的边不确定,则需分情况讨论
（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
(3)如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-1】（2024·内蒙古通辽·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，D是第一象限抛物线上的一个动点，若点D的横坐标为m，连接，，，．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
(2)当四边形的面积有最大值时，求出m的值．
(3)在（2）的条件下，在x轴上是否存在一点M，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1-2】（2024·上海·模拟预测）如图，直线交y轴于点A，交抛物线于点，抛物线经过点，交y轴于点D，点P是抛物线上的动点，作交DB所在直线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当为等腰直角三角形时，求：P点坐标；
(3)在（2）的条件下，连接，将沿直线AB翻折，直接写出翻折后点E的对称点坐标．
【变式1-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，其中，且为等腰直角三角形．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点，求的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究：
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点C，与y轴交于点B0,3，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）．
备用图
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点在抛物线上，且在直线上方，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，若是以为腰的等腰三角形，求出所有符合条件的点的坐标．
2．（2024·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点A−4,0，，交轴于点C0,6，在轴上有一点，连接．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)抛物线对称轴上是否存在点，使为以为底的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标即可；若不存在，请说明理由．
题型二：直角三角形的存在性问题
【中考母题学方法】
【典例2】（2024·山东泰安·中考真题）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上；
(3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-2】（2024·宁夏银川·模拟预测）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答：
(1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，求抛物线的解析式；
(2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值；
(3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝上下滑动，点Q，A，C构成，是否存在某一时刻，使为直角三角形．若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2-3】难点已知边为斜边的直角三角形存在性问题,可构造相似三角形求解
（2024·湖北·模拟预测）若抛物线交x轴于交y轴于
(1)请求出抛物线的解析式并直接写出的解集．
(2)在抛物线对称轴上有一点P．当三角形为直角三角形时请求出P点的坐标．
(3)以B为圆心2为半径做圆，上有一点M，连接．请求出的最小值．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 A．C(点 A 在点 C的右侧)．与y轴交于点 B．直线经过点A，B．
(1)求A，B，C 三点的坐标及直线的表达式．
(2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点 Q，设点 P 的横坐标为．的长为 L．
①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围；
②若与交于点D， 求 m的值．
(3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点 N，使得为直角三角形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·广东·模拟预测）综合探究
如图（1）所示，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，且轴，与y轴交于点E，．
(1)求的长．
(2)求a的值．
(3)如图（2）所示，F是射线上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，求的长．
3．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
题型三：相似三角形的存在性问题
【中考母题学方法】
【典例3】易错点 相似三角形的对应边不确定,需分情况讨论
（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点．
(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
①为何值时线段的长度最大，并求出最大值；
②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3-1】（2024·山东济南·模拟预测）如图，已知抛物线上点的坐标分别为0,2，，抛物线与轴负半轴交于点，连接，点为抛物线上的点．
(1)求抛物线的解析式及点的坐标．
(2)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点为轴负半轴上的点，且，点是线段（包含点）上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．若以点为顶点的三角形与相似，请求出点的坐标．
【变式3-2】（2023·江苏常州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点B．
(1)求该抛物线的解析式以及顶点坐标；
(2)若点D是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等．求出点D的坐标；
(3)若点E在第一象限内抛物线上，过点E作轴于点F，交于点P，且满足与相似，求出点E的横坐标．
【变式3-3】（2024·重庆·模拟预测）如图，二次函数 顶点D1,4， 与x轴交A，B两点， 交y轴于点C，点，

(1)求二次函数的解析式；
(2)如图，连接，点P为线段上方抛物线上一动点，过点P作直线分别交y轴于点E，x轴于点F，求的最大值以及此时点P的坐标
(3)连接， 将抛物线沿射线平移 个单位长度得到新抛物线 的顶点为H，过点H作 轴于点N，连接，在新抛物线对称轴右侧平面内是否存在点Q，使得 与 相似，若存在，请直接写出所有符合题意点Q的坐标，若不存在，请说明理由
【中考模拟即学即练】
1．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D、E、F三点，连接，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值；
(3)点M为y轴负半轴上一点，且，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点，点C的对应点为点，与交于点N．在抛物线平移过程中，当的值最小时，试求的面积．
2．（2024·青海西宁·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E．
(1)求点A，B，C的坐标．
(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标．
(3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点点和点，与y轴交于点C，点P是抛物线上点A与点C之间的动点（不包括点A，点C）．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)如图1，连结，，求的面积的最大值；
(3)如图2，过点P作x轴的垂线交于点D，与交于点Q．探究是否存在点P，使得以点P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
4．（2024·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点左侧），与y轴交于点，连接．
(1)如图1，求的值及直线的解析式；
(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接，设直线交线段于点．当时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，且点的横坐标小于2，在坐标轴上是否存在一点，使得以为顶点的三角形与相似，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
题型四：平行四边形的存在性问题
【中考母题学方法】
【典例4】（2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)在直线AB上方抛物线上有一动点C，连接交AB于点D，求的最大值及此时点C的坐标；
(3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线AB上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标．
【变式4-1】（2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值；
(3)如图点F1,0，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，对称轴为直线
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（不与直线重合）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N，画出图形，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【变式4-3】难点平行四边形的顶点顺序不确定,需分情况讨论
（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线与直线相交于点B和C，点B在x轴上，点C在y轴上，抛物线与x轴的另一个交点为A．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，将直线绕点B逆时针旋转交y轴于点D，在直线上有一点P，求周长的最小值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，在新抛物线上有一点N，在x轴上有一点M，试问是否存在以点B、M、C、N为顶点的平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，，等腰直角三角形的顶点A的坐标为，点B在第四象限，边与x轴交于点C，点M，R分别是线段的中点，过点M的抛物线（m，n为常数）的顶点为P．
(1)点M的坐标为___________，用含m的代数式表示n为___________；
(2)如图2，点N为中点，抛物线经过点N，E，点F在线段上，当以和为对边的四边形是平行四边形时，求点E的坐标；
(3)当点P在等腰直角三角形的边上或内部，且抛物线与有且只有一个公共点时，求出m的取值范围．
2．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为，连接．
(1)求抛物线的函数表达式及点C的坐标．
(2)当的面积等于的面积的时，求m的值．
(3)在（2）的条件下，若M为x轴上一动点，N是抛物线上一动点，是否存在以点C，P，M，N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·甘肃嘉峪关·二模）如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，．
(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式．
(2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
(3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五：特殊平行四边形的存在性问题
【中考母题学方法】
【典例5】（2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当时，y的取值范围是，求t的值；
(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【变式5-1】（2024·江苏无锡·中考真题）已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式5-2】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中存在两条抛物线，抛物线交轴于点，，顶点坐标为．抛物线交轴于点，，顶点坐标为，（）．
(1)求线段的长；
(2)若点在抛物线上，点在抛物线上．试讨论和大小；
(3)若点，在抛物线上，且满足，求的取值范围；
(4)若S、T分别为、上的动点，当为菱形时，是否存在S和T，使得以A、D、S、T为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出S和T的横坐标；若不存在，请说明理由．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·山西·模拟预测）综合与探究
如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点C0,−3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标．
2．（2024·吉林松原·模拟预测）如图1，已知抛物线与x轴负半轴交于点A，点B在y轴正半轴上，连接，交抛物线于点．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)求点A的坐标；
(3)如图2，过点C作轴于点D，点P为线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点E，过点P作轴于点G，交线段于点F，设点P的横坐标为m．
①求线段的长（用含m的代数式表示）；
②已知点M是x轴上一点，N是坐标平面内一点，当以点E、F、M、N为顶点的四边形是正方形时，直接写出此时m的值．
3．（2024·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C在线段上，点C不与点B重合，以点C为顶点的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为．
(1)直接写出点A，B的坐标；
(2)当时，求抛物线M的解析式；
(3)当时，求a的取值范围；
(4)平移抛物线M至Q，点B，C的对应点分别是，，当在y轴上，轴，且以B，C，，为顶点的四边形是矩形时，求抛物线Q的解析式．
4．（2024·山东泰安·二模）如图，抛物线经过点A−2,0，点B4,0，与轴交于点，过点作直线轴，与抛物线交于点，作直线，连接．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上的点，求满足的点的坐标；
(3)点在轴上，且位于点的上方，点在直线上，点为直线上方抛物线上一点，是否存在点使四边形为菱形，如果存在，请直接写出点的坐标．如果不存在，请说明理由．
题型一：等腰三角形的存在性问题
题型二：直角三角形的存在性问题
题型三：相似三角形的存在性问题
题型四：平行四边形的存在性问题
题型五：特殊平行四边形存在性问题
顶点确定法
1.确定等腰三角形顶点位置的常见方法
已知点A,B和直线l,在l上找点P,使APAB为等腰三角形
（1）如图①,若AB 为腰,分别以点 A,B为圆心,以 AB 长为半径画圆,与直线l的交点即为所求;
（2）如图②,若 AB 为底,作线段 A8 的垂直平分线与直线l的交点、即为所求
2.求点坐标的常用方法
(1)代数法(三角形三边长度可直接表示)分别表示出点A,B,P的坐标,再表示出线段 AB,BP,AP长度,由①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP,分别列方程解出坐标:
(2)几何法
作等腰三角形底边的高(即底边的垂直平分线),用勾股定理或相似建立等量关系
顶点确定法
1.确定直角三角形顶点位置的常见方法已知点A.B和直线l,在l上找点P,使△PAB为直角三角形
如图①,分别过线段端点A,B作 AB 的垂线,与直线l的交点即为所求;
(2)如图②,以 AB 为直径画圆,与直线l的交点 即为所求.
2.求点坐标的常用方法
(1)代数法
分别表示出点 A,B,P的坐标,再表示出 AB²,BP²,AP²,分情况讨论:①∠PAB=90°,即AB²+AP²=BP²;
②∠ABP=90°,即AB²+BP²=AP²;③∠APB=90°,即AP²+BP²=AB²分别列方程求解即可;
(2)几何法
过直角顶点作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型,利用相似或全等三角形解题“一线三垂直”模型
相似三角形问题的解题步骤
第一步：找关键点
根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等
第二步：找等角
找到两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角
第三步：求点坐标
根据相似三角形对应边成比例列关系式
顶点确定法
1.确定平行四边形中动顶点的位置,常见方法如下(1)三定顶点、一动顶点:
如图①,分别过 A,B,C三个定点作对边的平行线,所作三条直线两两的交点即为所求动点;
(2)两定顶点、两动顶点:
①如图②,若 AB为平行四边形的边,平移 AB,确定另外两点位置:
②)如图③,若 AB 为平行四边形的对角线,取 AB 中点,作过中点的直线确定另外两点的位置.
2.根据平移法或坐标公式法求点坐标,具体如下:(1)平移法:
如图④,由点B平移到点A的规律即可得到点C平移到,的规律(点C到点, 同理);
(2)平行四边形顶点坐标公式法
设平行四边形 ABCD 的顶点坐标分别为则
顶点确定法
1.确定矩形的顶点位置
A,B为两个定点,点C为直线l上的一动点,D为平面内一点,以A,B,C,D为顶点作矩形
(1)若AB为矩形的边,如图①,分别过点A,B作⊥AB,,⊥AB 确定点 C,再利用矩形对边平行的性质确定点 D
(2)若 AB为矩形的对角线,如图②,以 AB 为直径构造辅助圆,圆与直线l的交点即为所求的点C,过点A,B分别作 BC,AC 的平行线确定点 D.
2.确定菱形的顶点位置
A,B为定点,C为直线l上一动点,D为平面内一点,以A.B.C,D为顶点作菱形
(1)若AB为菱形的边,如图①,以点B为圆心,AB长为半径作⊙B交直线l于点C,再分别过点 A,C作 BC,AB 的平行线交于点 D;如图②,以点A为圆心,AB 长为半径作⊙A交l于点C,再分别过点B,C作AC,AB的平行线交于点D;
(2)若 AB 为菱形的对角线,如图③,作 AB 的垂直平分线交直线l于点 C,交 AB 于点 0.再以点0为圆心,以0C长为半径作0,与垂直平分线另一端交于点D.
3.确定正方形的顶点位置
已知两个定点 A,B,在平面内找点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形为正方形.
(1)若AB为正方形的边,如图①,过点A.B分别作垂直于 AB 的直线,再利用正方形的边长相等,确定另两点的位置:
(2)若AB为正方形的对角线,如图②.可作 AB的垂直平分线,再利用正方形的对角线相等且互相垂直平分,确定另两点的位置。