初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）5.1 直角三角形的性质定理公开课课件ppt

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）5.1 直角三角形的性质定理公开课课件ppt，共36页。PPT课件主要包含了再由AC⊥BD，合作探究，∴∠B60°，证法1，证法2，证法3，第4题，第5题，∴∠A30°，第8题等内容，欢迎下载使用。
动手：用刻度尺测量含 30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系.
含30°角的直角三角形的性质
如图，△ADC 是 △ABC 的轴对称图形，
因此 AB = AD， ∠BAD = 2×30° = 60°，
从而 △ABD 是一个等边三角形.
证明：取线段 AB 的中点 D，连接 CD.∵CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，
∵∠BCA = 90°，且 ∠A = 30°，
∴△CBD 为等边三角形.
证明：在 △ABC 中，∵∠ACB = 90°，∠BAC = 30°， ∴∠B = 60°．延长 BC 到 D，使 BD = AB，连接 AD，则△ABD 是等边三角形．
证明： 在 BA 上截取 BE = BC，连接 EC. ∵ ∠B = 60° ，BE = BC. ∴ △BCE 是等边三角形， ∴ ∠BEC = 60°，BE = EC. ∵ ∠A = 30°， ∴ ∠ECA = ∠BEC -∠A = 60° - 30°= 30°. ∴ AE = EC， ∴ AE = BE = BC， ∴ AB = AE + BE = 2BC.
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
应用格式：因为在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，　　
A.8B.4C.16D.2
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边 AB 上的高，AD＝3 cm，则 AB 的长度是(　)A．3 cm B．6 cm C．9 cm D．12 cm
注意：运用含 30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
解析：在 Rt△ABC 中，∵CD 是斜边 AB 上的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠B＝30°. 在 Rt△ACD 中，AC＝2AD＝6 cm，在 Rt△ABC 中，AB＝2AC＝12 cm. ∴ AB 的长度是 12 cm.
∵∠B = ∠ACB = 15° (已知)，∴∠DAC = ∠B+∠ACB = 15°+15° = 30°，
例2 已知：等腰三角形的底角为 15°，腰长为 20. 求腰上的高.
解：过 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线于点 D.
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造含 30° 角的直角三角形来解决．
分析：如图，取轮船航向所在的直线为 OB .过点 A 作 AD⊥OB ，垂足为D. AD 的长为 A 岛到轮船航道的最短距离，若 AD 大于 20 海里，则轮船由西向东航行不会有触礁的危险.
(方法一) 解：如图，取线段 AB 的中点 D，连接 CD.∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的中线，∴CD = AB = BD = BC，即△BDC 为等边三角形．∴∠B = 60°.∵∠B +∠A = 90°，∴∠A = 30°.
(方法二)如图，延长 BC 到 F，使 CF = BC，连接 AF
所以 BF = AB，因此 BF = AB =AF，即△ABF 是等边三角形.所以∠B = 60°，因此∠CAB=90° -∠B = 30°.
因为 ∠BCA = 90°，BC = CF，所以 AC 垂直平分 BF，于是 AB = AF
(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30°.
应用格式：∵ 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，　
例5 如图所示，在四边形 ACBD 中，AD∥BC，AB⊥AC，且 AC ＝ BC，求∠DAC 的度数．
解：∵AB⊥AC， ∴∠CAB ＝ 90°.∵AC ＝ BC，∴∠CBA ＝ 30°.∵AD∥BC，∴∠BAD ＝ ∠CBA ＝30°．∴∠DAC ＝ ∠CAB＋∠BAD ＝ 120°.
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半（反之亦成立）
含 30°角的直角三角形的性质
找准 30° 的角所对的直角边，点明斜边
前提条件：含30° 角的直角三角形中