初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）5.1 直角三角形的性质定理第一课时教学设计

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课题
5.1直角三角形的性质定理(1)
单元
第五章
学科
数学
年级
八年级上
教材分析
直角三角形是在学习了等腰三角形、等边三角形后又一种特殊的三角形，它除了具备一般三角形的所有性质外，还具有许多特殊的性质，为解决直角三角形的有关计算与证明提供了依据，也为后面学习解直角三角形奠定基础。
核心素养
能力培养
通过创设问题，‌引导学生独立思考、‌自主探索、学生操作实验、‌推理论证等的过程中，‌发展数学抽象、‌逻辑推理、‌直观想象等数学思想；
掌握如何将复杂的几何问题转化为代数问题，‌通过计算和推理来解决问题，‌有助于培养学生的逻辑思维和问题解决能力。‌
教学目标
掌握“直角三角形两锐角互余”，并能利用“两锐角互余”判断三角形是直角三角形；
探索、理解并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的性质.
教学重点
理解直角三角形的几条特殊性质；体会直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的几何事实.
教学难点
理解直角三角形的性质定理；会用其性质解答简单的实际问题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
（新知导入）
前面已经知道，有一个角是直角的三角形是直角三角形. 直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有一些特殊性质 .
下面我们来研究.
学生回顾直角三角形的定义及图形，思考直角三角形的性质有哪些？
结合三角形的性质来研究直角三角形的特殊性质，为新课做好铺垫。
新知探究
【说一说】
在Rt△ABC中，若∠C = 90°，则∠A + ∠B = ？
如图，在Rt△ABC中，因为∠C = 90°， 由三角形内角和定理可得：∠A + ∠B = 90°.
由此得到：
直角三角形的两个锐角互余.
【议一议】
（1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是什么？
（2） 该逆命题是真命题吗？
（1）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“有两个角互余的三角形是直角三角形”
（2） 该逆命题是真命题.
理由如下：
如上图，在△ABC中，
因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=90°，
所以∠C = 90°.
因此，△ABC是直角三角形
由此得到：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
【思考】
如图，用三角板画一个Rt△ABC，取线段 AB 的中点 D，连接 DC. 以点 D 为圆心，DB 长为半径画圆弧，则所画的弧经过点 C 吗？DC 与 AB 之间有怎样的数量关系？
可以发现，该弧经过点C，且DC = DB = AB. 下面给出证明.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD是斜边AB上的中线.
过点D作DE ∥ BC，DF ∥ AC，分别交AC，BC于点E，F，
于是∠ADE = ∠B，∠AED = ∠ACB = 90°，
∠FDC = ∠ECD，∠DFB = ∠ACB = 90°.
在△ADE与△DBF中，
所以△ADE ≌ △DBF（角角边），
从而DE = BF.①
在△DFC与△CED中，
所以△DFC ≌ △CED（角角边），
从而CF = DE.②
由①式和②式得，CF = BF.
因此，直线DF是线段BC的垂直平分线.
根据线段垂直平分线的性质定理得，DC = DB.
因此DC = DB =AB.
由此可得直角三角形的性质定理:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1 如图，已知 CD 是△ABC 的边AB 上的中线，且CD=AB.
求证：△ABC是直角三角形.
证明 因为CD =AB = AD = BD，
所以∠1 = ∠A，∠2 = ∠B.
因为∠A +∠B +∠ACB = 180°,∠ACB =∠1 +
∠2，
所以 ∠A +∠B +∠1 +∠2 = 180°，
从而 2(∠A +∠B)= 180°.
因此 ∠A + ∠B = 90°.
所以△ABC 是直角三角形.
学生独立思考，经历探索的过程，进而发现结论。
学生分析讨论后，师生共同完成解题步骤，进一步巩固学生本节课的所学内容。
创设情景，引导学生探究从一般到特殊的情景，借助于教具，模型，教学手段，使学生得到直观的认识。由此得到直角三角形的性质。
让学生概况结论，培养学生的概括能力。
进一步学习直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
通过例题提升，使学生能运用所学知识和技能解决问题，同时为学生提供充分发挥创造力的空间，更大地调动学生的积极性。
课堂练习
1.在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，斜边上的中线 CD = 2. 5，则斜边AB的长是多少？
解 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.所以AB=2CD=5
2.如图，AB∥CD，∠CAB 和∠ACD 的平分线相交于点H，E为AC的中点，EH = 2. 那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.
解 因为AB//CD，所以∠CAB +∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补）
因为∠CAB和∠ACD的平分线相交于点H
所以∠HAC+∠ACH=90°
所以△AHC是直角三角形
因为E为AC的中点
所以AC=2EH=4（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
学生通过课堂练习巩固本节课所学的知识点。
通过设置课堂练习，进一步检测学习效果，做到“堂堂清”。
课堂小结
1.直角三角形的两个锐角互余；
2.有两个角互余的三角形是直角三角形；
3.直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
教师引导学生归纳本节所学知识，进一步复习巩固新知识。
注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会。
课后练习
1.必做题：教科书P162页习题——学而时习之1-2
2.选做题：教科书P163页习题——温故而知新6
巩固所学知识。提供不同难度的习题，使学生充分掌握本节课所学的知识点。
巩固学生课堂所学的知识点，提高学生对知识点的理解和应用能力。让学生通过实践掌握理论知识，提高学生自主学习能力和探究精神。