初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3 乘法公式复习练习题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）16.3 乘法公式复习练习题，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图可以解释的乘法公式是（ ）
A． a+ba−b=a2−b2B． a+b2=a2+2ab+b2
C． a−b2=a2−2ab+b2D． a+b2=a2+b2
2．下列公式中，适用平方差公式化简的是（ ）．
A．x−2y2y+xB．x−y2
C．x−2y−x+2yD．x−2yx+y
3．−a+1a+1a2+1等于（ ）
A．a4−1B．a4+1C．a4+2a2+1D． 1−a4
4．已知a2+b2=8，ab=2，则a−b2的值为（ ）
A．8B．20C．4D．16
5．已知3x+a2=9x2+12x+4，则a的值为（ ）
A．4B．±4C．2D．12
6．已知a−b=4,ab=2，则a2+b2的值是（ ）
A．20B．16C．12D．8
7．若x2−6x+m是完全平方式，则m的值为（ ）
A．12B．−12C．9D．−9
8．如图，点B，E，C在同一条直线上，正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a，b．若阴影部分的面积为12，a+b=6，则a−b的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．已知9x2+ax+25是完全平方式，则2a5−3a3÷2a2−a3的值是（ ）
A．45B．±45C．20D．±20
二、填空题
10．定义a※b=ab+1，例如2※3=2×3+1=2×4=8．则x−1※x=_____________．
11．已知x=3+2，则x2−4x+6的值为_____________．
12．若多项式x2+4x−m是一个完全平方式，则m=_____．
13．若M=a+ba−2b,N=−ba+3b（其中a≠0），则M,N的大小关系为________．
14．数形结合是一种重要的数学思想方法，利用图1中边长分别为a、b的两个正方形纸片和长为b、宽为a的长方形纸片，可以拼出一些图形来解释某些等式，如，由图2可得a+2ba+b=a2+3ab+2b2．则由图3可以解释的等式是_____．
三、解答题
15．计算
(1)2x3−x2−12x+5；
(2)x−2y2−x−3yx+3y：
(3)先化简，再求值：a+2b2+a−2b2b+a−2a2a−b÷12a，其中a=14，b=1
16．如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成图②的长方形
(1)比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用字母表示）
(2)请应用这个公式完成下列各题.
①2+122+124+128+1……232+1+1的结果是 .
②计算：2a+b−c2a+b+c；
③计算：1002−992+982−972+……+42−32+22−1
17．在一次数学活动中，小红同学将一个长为2m，宽为2n的长方形，如图①所示，沿图中虚线用剪刀均分成四个全等的小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．小红同学通过观察图①②，用两种不同的方法表示出了图②中阴影部分的面积，并得出m+n2，m−n2，mn这三个代数式之间的一个等量关系．
(1)请写出代数式m+n2，m−n2，mn的一个等量关系，并说明理由；
(2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=6，ab=4，求a−b2的值．
18．如图，某市有一块长为3a+b米，宽为2a+b米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间修建一座边长为a+b米的雕像，则绿化的面积是多少平方米?并求出当a=3，b=2时的绿化面积．
参考答案
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用
【详解】解：图形的面积可表示为a+ba+b=a+b2，也可以表示为a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，
即可以解释的乘法公式是a+b2=a2+2ab+b2．
2．【答案】A
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查平方差公式的适用条件，掌握好平方差公式的结构是关键．
平方差公式为a+ba−b=a2−b2，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数，据此判断各选项即可．
【详解】解：对于A选项：x−2y2y+x=x−2yx+2y，其中x是相同项，−2y与2y互为相反数，符合平方差公式的形式，故A正确；
对于B选项：x−y2是完全平方公式的形式，不符合平方差公式，故B错误；
对于C选项：x−2y−x+2y=−x−2yx−2y=−x−2y2，是完全平方的形式，不符合平方差公式，故C错误；
对于D选项：x−2yx+y中，−2y与y不是互为相反数，不符合平方差公式，故D错误．
故选：A．
3．【答案】D
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】本题考查了平方差公式的应用．通过连续应用平方差公式简化表达式．
【详解】解：−a+1a+1a2+1
=1−a21+a2
=1−a4
故选：D．
4．【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的计算是解题的关键．利用完全平方公式，将(a−b)2展开为a2+b2−2ab，然后代入已知值计算．
【详解】解：∵(a−b)2=a2−2ab+b2=a2+b2−2ab，
又∵a2+b2=8，ab=2，
∴(a−b)2=8−2×2=8−4=4
故答案为：C．
5．【答案】C
【知识点】运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键．
根据完全平方式把左边展开，并比较等式两边对应项的系数，建立方程求解a的值．
【详解】∵3x+a2=3x2+2⋅3x⋅a+a2=9x2+6ax+a2，
且给定3x+a2=9x2+12x+4，
∴9x2+6ax+a2=9x2+12x+4．
比较x项系数：6a=12，
∴a=2；
验证常数项：a2=22=4，符合．
∴a的值为2．
故选C．
6．【答案】A
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式，将已知条件代入求解．
【详解】∵a−b=4，
∴(a−b)2=16，
∵(a−b)2=a2−2ab+b2，ab=2，
∴a2−2×2+b2=16，
即a2+b2−4=16，
∴a2+b2=16+4=20．
故选：A．
7．【答案】C
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【分析】根据完全平方公式的结构特征求解，将给定二次三项式与完全平方公式对比即可得到m的值．
【详解】解：∵ x2−6x+m是完全平方式，
对于x2−6x+m，可得x2=x2，一次项满足−6x=−2×x×3，
∴常数项m=32=9．
8．【答案】D
【知识点】平方差公式与几何图形
【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形，根据阴影面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，再减去两个直角三角形的面积，由此可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵正方形ABCD与正方形GECF的边长分别为a，b，
∴S正方形ABCD=a2，S正方形GECF=b2，
∵BE=DF=a−b，
∴S阴影部分=a2−12a−bb−b2−12aa−b
=a2−12ab+12b2−b2−12a2+12ab
=12a2−12b2=12，
∴a2−b2=24，
∴a+ba−b=24，
∵a+b=6，
∴a−b=4，
故选：D．
9．【答案】B
【知识点】求完全平方式中的字母系数、整式的混合运算
【分析】本题主要考查完全平方式以及整式的混合运算，首先根据完全平方式的意义求得a=±30，再计算出2a5−3a3÷2a2−a3=−32a，最后把a=±30代入计算即可．
【详解】解：∵ 9x2+ax+25是完全平方式，
∴a=±30；
又2a5−3a3÷2a2−a3
=a3−32a−a3
=−32a；
当a=30时，原式=−32×30=−45；
当a=−30时，原式=−32×−30=45；
所以，2a5−3a3÷2a2−a3的值是±45，
故选：B．
10．【答案】x2−1
【知识点】运用平方差公式进行运算
【分析】根据题中定义的新运算规则，将对应式子代入，利用平方差公式计算即可．
【详解】解：由题意得：x−1※x
=x−1x+1
=x2−1．
11．【答案】5
【知识点】实数的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了代数式求值和完全平方公式，把所求式子变形为x−22+2，再代入求值即可．
【详解】解：∵x=3+2，
∴x2−4x+6
=x2−4x+4+2
=x−22+2
=3+2−22+2
=32+2
=3+2
=5，
故答案为：5．
12．【答案】−4
【知识点】求完全平方式中的字母系数
【详解】因为多项式x2+4x−m是一个完全平方式，且x2+4x−m=x2+2×x×2−m，
所以x2+4x−m=x+22=x2+4x+4．
所以−m=4．
所以m=−4．
13．【答案】M>N
【知识点】整式的混合运算
【分析】本题考查了数的大小比较，整式的混合运算，平方的非负性，掌握相关运算法则是解题关键．利用作差法比较大小，根据整式的混合运算法则，求出M−N=a2+b2，再利用平方的非负性得出a2+b2>0，即可得解．
【详解】解：由题可知，M−N=a+ba−2b−−ba+3b=a2−ab−2b2+ab+3b2=a2+b2
∵a≠0,b2≥0，
∴a2>0，
∴a2+b2>0，
∴M−N>0，即M>N．
14．【答案】(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2
【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查了多项式乘法的几何意义、数形结合思想以及面积法的应用．解题的关键是通过 “整体面积法” 和 “分割求和法” 计算同一图形的面积，从而建立等式关系．先计算图 3 大长方形的整体面积，再将其分割为小正方形和小长方形并求面积和，最后根据面积相等得到对应的多项式乘法等式．
【详解】解：方法一：图 3 是一个大长方形，其长为2a+b，宽为a+b，
因此整体面积为：(2a+b)(a+b)
方法二：将图 3 分割为各小图形，面积分别为：
边长为 a 的正方形：2 个，面积和为2a2
边长为 b 的正方形：1 个，面积和为b2
长为 a、宽为 b 的长方形：3个，面积和为3ab
总面积为：2a2+3ab+b2
两种方法计算的面积相等，因此图 3 可以解释的等式为
(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2
故答案为：(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2．
15．【答案】(1)6x3−5x2+2x+5
(2)−4xy+13y2
(3)11
【知识点】整式的加减中的化简求值、整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，整式的化简求值，
对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，再根据整式的加减法计算；
对于（2），根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并即可；
对于（3），先根据整式的混合运算法则计算，再将数值代入求值即可．
【详解】（1）解：2x3−x2−12x+5
=8x3−2x3−2x+5x2−5
=8x3−2x3−5x2+2x+5
=6x3−5x2+2x+5；
（2）解：x−2y2−x−3yx+3y
=x2−4xy+4y2−x2−9y2
=x2−4xy+4y2−x2+9y2
=−4xy+13y2；
（3）解：a+2b2+a−2b2b+a−2a2a−b÷12a
=a2+4ab+4b2+a2−4b2−4a2+2ab÷12a
=−2a2+6ab÷12a
=−4a+12b，
当a=14，b=1时，
原式=−4×14+12×1=11．
16．【答案】(1)a2−b2=a+ba−b
(2)①264；②4a2+4ab+b2−c2；③5050
【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形
【分析】（1）根据两个图形中阴影部分的面积相等得出答案；
（2）①根据平方差公式进行计算即可求解；
②根据平方差公式进行计算即可求解；
③根据平方差公式进行计算即可求解．
【详解】（1）图①中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2−b2；图②中阴影部分是长为a+b，宽为a−b的长方形，因此面积为a+ba−b，
∵两个图形中的阴影部分面积相等，
∴a2−b2=a+ba−b，
故答案为：a2−b2=a+ba−b
（2）解：①2+122+124+128+1……232+1+1
=2−12+122+124+128+1……232+1+1
=22−122+124+128+1……232+1+1
=232−1232+1+1
=264−1+1
=264
故答案为：264．
②计算：2a+b−c2a+b+c
=2a+b−c2a+b+c
=2a+b2−c2
=4a2+4ab+b2−c2；
③计算：1002−992+982−972+……+42−32+22−1
=100+99100−99+98+9798−97+……+2+12−1
=100+99+……+2+1
=1+1002×100
=5050．
【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键．
17．【答案】(1)m−n2=m+n2−4mn
(2)20
【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用
【分析】本题考查完全平方差公式和完全平方和公式的联系．会用代数式表示图形面积是解决问题的关键；两数的完全平方和比它们的完全平方差多了两数积的4倍，该结论经常用到．
（1）(m+n)2,(m−n)2,mn 分别表示大正方形，小正方形和长方形面积，由图知大正方形面积−四个长方形面积=小正方形面积，可得它们之间的关系．
（2）直接把（1）中得到的关系式用a+b、ab的值对应替换即可．
【详解】（1）解：阴影部分的面积可表示为： m−n2或m+n2−4mn
∴m−n2=m+n2−4mn．
（2）∵a+b=6，ab=4，
∴a−b2=a+b2−4ab
=62−4×4
=36−16
=20；
18．【答案】绿化面积是(5a2+3ab)平方米，当a=3，b=2时的绿化面积为63m2
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积、整式的混合运算
【分析】此题考查了整式的混合运算，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．阴影部分即绿化面积等于大长方形面积减去小正方形面积，化简得到最简结果；然后把a=3，b=2的值代入计算即可．
【详解】解：绿化面积为3a+b2a+b−a+b2
=6a2+3ab+2ab+b2−a2+2ab+b2，
=5a2+3ab，
当a=3，b=2时，原式=5×32+3×3×2=63(m2)，
答：绿化面积是(5a2+3ab)平方米，当a=3，b=2时的绿化面积为63m2．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
B
A
D
C
C
A
C
D
B