第3章《圆的基本性质》检测2026-2027学年浙教版九年级数学上册

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第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．的半径为6，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内B．点P在上C．点P在外D．不能确定
2．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）

A．50°B．80°C．90°D．100°
如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，
当点C的对应点恰好落在边上时，的度数是（ ）

A．B．C．D．
河道里的水轮截面如图，圆轮被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，
则轮子的直径为（ ）

A．34mB．C．D．
如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．
若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
6．如图，的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）

A．B．C．D．
7．已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线．
嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．”
淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．”
对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（ ）

A．只有嘉嘉说的对B．只有淇淇说的对
C．嘉嘉和淇淇说的都对D．嘉嘉和淇淇说的都不对
如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，
连接，相交于点．已知，则的长为（ ）

A．B．C．6D．8
如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（ ）

A．4B．5C．6D．7
如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，．
已知于点，．下列结论：
①；
②若点为的中点，则．
③若，则；
④；
其中正确的是（ ）

A． B．C．D．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．如图，绕点O逆时针旋转得到，若，则_____．

12. 古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．
第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．

如图，破残的轮子上，弓形的弦为，高为．这个轮子在没有损坏前，
其圆面的面积为 ．

14．如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为______.

15. 如图，是的内接三角形，，直径与边交于点E，B是的中点．
若，则的半径为 ．

一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．
小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，
纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．

三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，四边形内接于，连结，且，延长至点E．求证：平分．

18．如图，为的直径，弦交于点E，，，则的长是多少？

19.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧．

(1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______；
(2)求该圆的半径．
20.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1＝∠C．

（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，BE＝2，求CD的长．
如图，已知为直径的半圆上有点，连结，，为中点，
连结，，分别交于点，．

求与的数量关系，并说明理由；
若，且，求的长．
22.“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，
如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，
如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，
且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度
（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米．

求该圆的半径．
若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，
则水面下盛水桶的最大深度为多少米？
如图，是的直径，点C是圆上一点，连结，，过点O作于点D，交于点E．

求证：．
若，，求的长．
在（2）的条件下，求弓形的面积．
问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），
，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．
下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．

（1）证明：如图2，在上截取，连接和．
∵M是的中点，
∴
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：
如图3，已知内接于，，D是的中点，
依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．
如图4，已知等腰内接于，，D为上一点，
连接，，于点E，的周长为，，请求出的长．
答案解析
第一部分 选择题
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1．的半径为6，圆心在坐标原点上，点的坐标为，则点P与的位置关系是（ ）
A．点P在内B．点P在上C．点P在外D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查了两点之间的距离公式、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键．先求出，再根据点与圆的位置关系求解即可得．
【详解】解：∵圆心在坐标原点上，点的坐标为，
∴，
∵的半径为，
∴点在内，
故选：A．
2．如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）

A．50°B．80°C．90°D．100°
【答案】D
【详解】试题分析：因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°．
故选D．
如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，
当点C的对应点恰好落在边上时，的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由旋转的性质可知：，然后可得，问题可求解．
【详解】解：由旋转的性质可知：，
∴
河道里的水轮截面如图，圆轮被水面截得的弦长为，轮子的吃水深度为，
则轮子的直径为（ ）

A．34mB．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．先表示，求得，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
由条件可知，
由题意得：，
在中，，
∴，
∴，
即轮子的直径为．
故选：A．
如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．
若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可．
【详解】解：连接，
点在的延长线上，
是的中点
．
6．如图，的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定，证明是等腰直角三角形，得到是解题的关键．先根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，再证明是等腰直角三角形，设，则，利用勾股定理解得的值，即可获得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵的直径垂直于弦，
∴，，
∴，即是等腰直角三角形，
设，则，
∴在中，可有，
即，解得或（舍去），
∴．
故选：B．
7．已知是的外接圆，且，要求仅用直尺作出圆周角的平分线．
嘉嘉说：“对于图1的情况，连接，即为的平分线．”
淇淇说：“对于图2的情况，的延长线与交于点Q，连接，即为的平分线．”
对于嘉嘉和淇淇的说法，判断正确的是（ ）

A．只有嘉嘉说的对B．只有淇淇说的对
C．嘉嘉和淇淇说的都对D．嘉嘉和淇淇说的都不对
【答案】C
【分析】如图1，首先根据易得，再根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”可得，即为的平分线，故嘉嘉说的对；在图2中，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，由垂径定理可得，易知，即为的平分线，故淇淇说的也对．
【详解】解：如图1，
∵是ABC的外接圆，且，
∴，
∴，即为的平分线，故嘉嘉说的对；
在图2中，连接，如下图，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵为半径，
∴，
∴，即为的平分线，故淇淇说的也对．
综上所述，嘉嘉和淇淇说的都对．
如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，
连接，相交于点．已知，则的长为（ ）

A．B．C．6D．8
【答案】C
【分析】由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质推出，判定是等腰直角三角形，得到，由三角形内角和定理推出，判定，推出．
【详解】解：∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，
且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（ ）

A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】本题主要考查点与圆的位置关系．由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，当点在线段上时，取得最小值，据此求解可得．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
若要使取得最小值，则需取得最小值，
连接，当点在线段上时，取得最小值，
过点作轴于点，
圆心的坐标为，
则，，
，
又的半径为2，
的最小值为，
，
故选：C
如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，．
已知于点，．下列结论：
①；
②若点为的中点，则．
③若，则；
④；
其中正确的是（ ）

A． B．C．D．
【答案】A
【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，依次分析判断，即可解决问题．
【详解】解：，
，
，
是的直径，
，
，

故正确，符合题意；
点为的中点，
，
为直径，
，
，
，
，
，，
，
，
故正确，符合题意；
连接，

，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故正确，符合题意；
，
，
当时，，
故错误，不符合题意；
故选：．
第二部分 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上．
11．如图，绕点O逆时针旋转得到，若，则_____．

【答案】25
【分析】本题主要考查了旋转的性质，
根据旋转的性质得，再根据得出答案．
【详解】解：将绕点O逆时针旋转得到，且，
∴，
∴．
故答案为：25．
12. 古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．
第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为______．

【答案】
【分析】本题考查了正多边形和圆的关系，根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为，
故答案为：．
如图，破残的轮子上，弓形的弦为，高为．这个轮子在没有损坏前，
其圆面的面积为 ．

【答案】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理，勾股定理列出关于圆半径的方程．设圆的半径是，则，由垂径定理推出
由勾股定理得到，求出，即求出到圆面的面积．
【详解】解：设圆的半径是，则，
∵半径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴圆面的面积为．
故答案为：．
14．如图，四边形是的内接四边形，若，则的大小为______.

【答案】
【分析】 本题考查了圆内接四边形“对角互补”的性质，理解圆的有关性质是解题的关键．利用圆内接四边形的对角互补，可先求出；再依据圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍），计算出的大小。
【详解】解：在中，，
，
是弧所对的圆心角，是弧所对的圆周角，
，
故答案为：．
15. 如图，是的内接三角形，，直径与边交于点E，B是的中点．
若，则的半径为 ．

【答案】
【分析】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，连接，设的半径是R，依题意得，则，，进而得，再根据得，由此可求出，则，然后在中，由勾股定理即可求出半径R的长．
【详解】解：连接，设的半径是R，如图所示：

点B是的中点，是的直径，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
即的半径为，
故答案为：
一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，测量一次性纸杯杯口的直径．
小明同学所在的学习小组设计了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，
纸条的上下边沿分别与杯口相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你根据上述数据计算纸杯的直径是 ．

【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，垂径定理，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键．如图，记圆心为，连接，作于，作于，则，，由矩形的性质可知，，则三点共线，设，则，由勾股定理得，，即；，即；由，可得，可求，则，进而可求纸杯的直径．
【详解】解：如图，记圆心为，连接，作于，作于，
∴，，
由矩形的性质可知，，
∴三点共线，
设，则，
由勾股定理得，，即；
，即；
∵，
∴，
解得，，
∴或（舍去），
∴纸杯的直径是，
故答案为：．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，四边形内接于，连结，且，延长至点E．求证：平分．

【答案】
证明：四边形内接于，
．
又，
．
，
，
，
，
，
即平分．
18．如图，为的直径，弦交于点E，，，则的长是多少？

【答案】1
【分析】本题主要考查了垂径定理及其推论，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，
先证，，结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半及垂径定理得到线段关系，再利用勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴弧弧，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
设的半径为r，则，
∵为的直径，
∴，
在中，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
解得：，（不合题意舍去），
∴，
∴．
19.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧．

(1)该圆弧所在圆的圆心坐标为______；
(2)求该圆的半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查垂径定理，确定圆的条件，坐标与图形性质．
（1）连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心；
（2）根据勾股定理即可求得半径．
【详解】（1）解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心，
由图可得该圆弧所在圆的圆心坐标，
故答案为：；
（2）解：连接，设的中点为D，
，，
，
∴圆的半径为．
20.如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1＝∠C．

（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC＝3，BE＝2，求CD的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）要证明CB∥PD，只要证明∠1＝∠P；根据圆周角定理可得∠P＝∠C，可得∠1＝∠P，即可解决问题；
（2）首先运用勾股定理求出CE的长度，然后运用垂径定理证明CE＝DE，即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，∵∠1＝∠C，∠P＝∠C，
∴∠1＝∠P，
∴CB∥PD．
（2）解：∵CE⊥BE，
∴CE2＝CB2﹣BE2，
∵CB＝3，BE＝2，
∴CE＝，
∵AB⊥CD，AB为直径，
∴DE＝CE，CD＝2CE＝2．
如图，已知为直径的半圆上有点，连结，，为中点，
连结，，分别交于点，．

求与的数量关系，并说明理由；
若，且，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是综合运用以上知识求解．
（1）由垂径定理可得，由三角形中位线定理即可求解；
（2）证明，可得，设，则，再根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：，理由如下：
为中点，
，
，
，
；
（2）解： 是直径，
，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
，
．
22.“筒车”是一种以水流作动力，取水罐田的工具，点表示筒车的一个盛水桶，
如图①．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图绘出了“筒车”的工作原理，
如图②．当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的一个圆，
且圆心始终在水面上方．若圆被水面截得的弦长为，水面下盛水桶的最大深度
（即水面下方圆上的点距离水面的最大距离）为2米．

求该圆的半径．
若水面下降导致圆被水面截得的弦的长度从原来的8米变为6米，
则水面下盛水桶的最大深度为多少米？
【答案】(1)该圆的半径为米
(2)1米
【分析】此题考查勾股定理，垂径定理．
（1）过作于点，交于点，根据垂径定理有米，设圆的半径为米，则米，（米）， 在中，根据勾股定理即可构造方程，求解即可；
（2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，根据垂径定理有米，在中，根据勾股定理求得米，则米，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
过作于点，交于点，则，
∴（米）
设圆的半径为r米，则米，（米），
在中，，
即，
解得，
∴该圆的半径为5米；
（2）如图所示，设水面下降至，过点O作于点，交于点，
∴（米），
∵的半径为5米，
∴米
∴在中，（米），
∴（米），
∴水面下盛水桶的最大深度为（米）．
如图，是的直径，点C是圆上一点，连结，，过点O作于点D，交于点E．

求证：．
若，，求的长．
在（2）的条件下，求弓形的面积．
【答案】(1)
证明：∵是的直径，
∴．
∵，即，
∴，
∴．
(2)
(3)
【分析】本题考查了圆的性质，包括直径所对的圆周角为直角，平行线的判定与性质，勾股定理解三角形，等边三角形的判定与性质，扇形面积公式，解决本题的关键是熟练掌握圆的相关知识并添加合适的辅助线．
（1）根据直径所对的圆周角为直角，可得，再由垂直可得，根据“同位角相等，两直线平行”证明即可．
（2）先得到点D为AC中点，设圆的半径为r，表示出，再由勾股定理求解即可．
（3）先由的长度，可得，即，即可得，再得为等边三角形，由此可得，再由扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：在中，点O为的中点，
∵，
∴点D为中点．
∴．
设圆的半径为r，则．
在中，，
即，整理可得，
解得．
∵点O与点D分别为与的中点，
∴．
（3）解：连接，如图，
∵圆的半径为6，即，
在中，，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，即，
∴弓形的面积．
问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），
，M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．
下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．

（1）证明：如图2，在上截取，连接和．
∵M是的中点，
∴
……
请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
实践应用：
如图3，已知内接于，，D是的中点，
依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ．
如图4，已知等腰内接于，，D为上一点，
连接，，于点E，的周长为，，请求出的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）4
【分析】（1）首先证明，进而得出，再利用等腰三角形的性质得出，即可得出答案；
（2）直接根据阿基米德折弦定理得出结论；
（3）根据阿基米德折弦定理得出，进而求出，最后用勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图2，在上截取，连接和．

∵M是的中点，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）根据阿基米德折弦定理得，，
答案为：；
（3）根据阿基米德折弦定理得，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．