冀教版（2024）五年级上册（2024）刘徽与割补术教案

这是一份冀教版（2024）五年级上册（2024）刘徽与割补术教案，文件包含2026学年新人教版初中数学七年级上册32代数式的值第1课时课件pptx、2026学年新人教版初中数学七年级上册32代数式的值第1课时教案docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共22页， 欢迎下载使用。
本节课是冀教版五年级上册多边形面积单元的拓展延伸内容，承接平行四边形、三角形、梯形面积公式的常规推导知识。教材以古代数学家刘徽的割补术为文化载体，核心渗透“出入相补”数学原理，是对图形转化思想的深度拓展。常规课堂仅简单运用割补法推导面积公式，本节课系统讲解割补术的起源、内涵、应用方法，弥补课本数学文化缺失，同时为学生后续不规则图形面积计算、组合图形解题奠定思维基础。内容兼具知识性、文化性、思维性，是衔接基础几何知识与高阶几何思维的重要拓展课程。
【学情分析】
五年级学生已经掌握长方形、平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式，能够初步运用割补、平移的简单方法拼接图形，具备基础的几何操作和观察分析能力。但学生普遍存在“知其然不知其所以然”的问题，不了解割补法的数学起源与核心原理，仅机械套用公式计算，缺乏主动转化、数形结合的思维。同时，学生对古代数学文化认知浅薄，对数学知识的历史价值、文化价值感知不足。本节课通过具象情境、实操活动，可有效弥补学生思维短板，深化知识理解，渗透数学文化。
【课时目标】
1.知识与技能：了解魏晋数学家刘徽的数学成就，掌握割补术“出入相补、面积不变”的核心原理，熟练运用割、补、平移、拼接的方法转化平面图形，能用割补法推导、验证常见多边形面积，解决简单的不规则图形面积问题。
2.数学思考：经历“观察图形—动手割补—转化推导—总结规律”的全过程，建立图形转化的数学思维，理解“化不规则为规则、化未知为已知”的几何解题思想，发展数形结合与逻辑推理能力。
3.问题解决：能够独立运用割补术解决组合图形、不规则图形的面积计算问题，学会用古人的数学思维分析几何问题，提升几何解题的灵活性与变通性。
4.情感态度：感受中国古代数学的博大精深，了解刘徽割补术的历史价值，增强民族自豪感与数学文化自信，养成主动探究、严谨求实的数学学习习惯。
【教学重点】
1.理解刘徽割补术“出入相补，各从其类，面积守恒”的核心原理。
2.掌握割补转化的基本方法，能运用割补术推导、计算多边形与简单不规则图形面积。
【教学难点】
灵活运用割补、平移、拼接的技巧转化复杂图形，精准把握割补过程中图形面积不变的核心本质，突破固定解题思维。
【教学准备】
教师准备：刘徽人物介绍视频、割补术动态演示课件、平行四边形、三角形、梯形、不规则卡纸图形、磁吸教具、方格纸、直尺、剪刀。
学生准备：方格纸、剪刀、胶水、直尺、练习本、各类多边形卡纸。
【教学课时】
1课时
【教学过程】
导入新课（情境激趣，溯源引题）
创设情境：学校数学文化节要制作古代数学智慧展板，其中有一个难题：
古人没有现代的计算公式，是如何算出三角形、梯形的面积的？今天我们就穿越古今，探寻魏晋大数学家刘徽的智慧，解锁古代几何解题神器——割补术。
教师活动：播放1分钟刘徽人物及割补术简介短视频，提问：同学们，我们平时推导平行四边形面积时，会把图形剪开拼接，古人早在一千七百多年前就系统总结了这个方法，大家知道这个方法叫什么吗？刘徽提出的核心数学原理是什么？
学生活动：观看视频，自由发言，结合预习内容回答问题。
预设学生答案：这个方法叫割补术；核心原理是出入相补原理。
教师小结：没错！魏晋数学家刘徽在《九章算术注》中提出“出入相补，各从其类”的割补思想，也就是我们今天要重点学习的割补术，今天我们就深入探究割补术的奥秘。板书课题：
刘徽与割补术。
环节一：认识数学家刘徽，初识割补术
教师活动：结合课件讲解刘徽生平与数学成就，创设文化情境：刘徽是我国魏晋时期著名数学家，被称为“中国古代数学泰斗”，他不满足于现成的数学结论，通过大量实操验证、推理总结，提出了出入相补原理，创立割补术，精准推导各类平面图形面积，还发明割圆术推算圆周率，极大推动了中国古代几何数学的发展。
2.教师提问：结合刚才的介绍，大家思考，刘徽的研究和我们现在的数学学习有什么共同点？
学生活动：独立思考后小组交流，举手作答。
预设学生答案：都是通过动手操作、推理验证得出数学规律；都是研究图形面积、几何问题；都注重实践和总结。
3.教师活动：讲解割补术的基础定义：割补术就是将一个图形分割成若干部分，通过平移、拼接、补全的方式，转化为熟悉的规则图形，转化前后图形总面积保持不变。
4.教师提问：割补术最核心的特点是什么？
学生活动：齐读定义，提炼核心关键词。
预设学生答案：图形形状改变，面积不变。
5.教师活动：简单演示：将长方形卡纸剪开，拼接成不规则图形，引导学生观察面积变化。
6.学生活动：观察教师演示，直观感知割补术“形变面积不变”的特点。
[设计意图]通过数学文化情境导入，让学生了解割补术的历史起源，认识古代数学家的智慧，初步感知割补术的核心内涵，激发探究兴趣，渗透文化育人理念。
环节二：探究割补术核心原理——出入相补
1.创设实操情境：给出平行四边形卡纸，提问：我们学过平行四边形面积公式，结合刘徽割补思想，如何用割补的方法验证公式？
教师活动：布置小组实操任务，指导学生动手操作，巡视指导学困生。
2.学生活动：小组合作，用剪刀沿平行四边形的高剪开，将剪下的三角形平移到另一侧，拼接成长方形。
3.教师提问：拼接前后，图形的什么变了？什么没变？长方形的长和宽与原平行四边形的底和高有什么关系？
学生活动：观察拼接后的图形，小组讨论后汇报结果。
预设学生答案：图形的形状变了，由平行四边形变成长方形；面积没有变化；长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。
4.教师活动：结合学生操作总结出入相补原理：把图形多余的部分割下，补到缺少的位置，分割、平移、补全的过程中，图形总面积始终守恒，这就是刘徽“出入相补，各从其类”的核心思想。
5.教师提问：根据这个原理，我们如何推导平行四边形的面积公式？
学生活动：自主推导公式，举手汇报。
预设学生答案：长方形面积=长×宽，所以平行四边形面积=底×高。
6.教师小结：割补术的本质就是化未知为已知，化不规则为规则，依靠面积不变的规律，用熟悉的图形推导陌生图形的公式。
[设计意图]通过动手实操，让学生亲身经历割补转化的过程，深度理解出入相补原理，突破本节课教学重点，培养学生动手操作与逻辑推理能力。
环节三：运用割补术推导多边形面积
1.创设问题情境：古人利用割补术不仅能推导平行四边形面积，还能计算三角形、梯形面积，现在请大家尝试用割补法推导三角形面积公式。
教师活动：出示完全相同的两个三角形教具，示范拼接思路，引导学生自主操作。
2.学生活动：独立操作，将两个完全相同的三角形拼接成平行四边形，观察图形关系。
3.教师提问：拼接后的平行四边形和原三角形有什么关系？三角形的面积该如何计算？
学生活动：独立思考后作答。
预设学生答案：平行四边形的底和高与三角形的底和高相等，一个三角形的面积是平行四边形面积的一半；三角形面积=底×高÷2。
4.教师活动：进阶提问，引导学生用割补法推导梯形面积，鼓励学生自主创新拼接方法。
5.学生活动：自主尝试割补拼接，小组交流不同方法，汇报推导结果。
预设学生答案：两个完全相同的梯形拼成平行四边形，梯形面积=（上底+下底）×高÷2。
6.教师总结：所有常规多边形的面积公式，都可以用刘徽割补术推导验证，这也印证了古代数学思想的科学性与实用性。
[设计意图]迁移运用割补思想，将知识落地到多边形面积推导中，巩固核心知识点，培养学生知识迁移与自主探究能力。
环节四：割补术解决不规则图形面积问题
1.创设生活情境：小区休闲区有一块不规则的草坪，物业需要计算草坪面积铺设地砖，如何快速算出不规则草坪的面积？我们可以用割补术解决这个生活问题。
教师活动：出示方格纸上的不规则图形草坪示意图，引导学生思考解题思路。
2.教师提问：面对不规则图形，我们可以用割补术怎么处理？
学生活动：小组讨论，思考转化方法，汇报思路。
预设学生答案：把凸出的部分割下来，补到凹陷的地方，转化成长方形或正方形，再计算面积。
3.教师活动：示范不规则图形割补转化过程，强调割补前后面积不变。
4.学生活动：自主在方格纸上完成不规则图形割补转化，计算图形面积。
5.教师巡视：纠正学生错误操作，重点指导不会转化的学生。
6.师生总结：不规则图形面积计算的核心方法：割补转化为规则图形，再利用公式计算。
[设计意图]结合生活真实情境，突破教学难点，让学生学会灵活运用割补术解决实际问题，体会数学的实用性。
环节五：课堂小结，梳理知识体系
1.教师提问：本节课我们学习了哪些知识？割补术的核心是什么？可以解决哪些数学问题？
2.学生活动：自主梳理知识点，举手总结，相互补充。
预设学生答案：学习了刘徽的数学成就、割补术的出入相补原理；核心是形变面积不变；可以推导多边形面积、计算不规则图形面积。
3.教师补充小结：割补转化是小学数学核心几何思维，不仅适用于平面图形面积计算，后续立体图形学习也会用到，希望大家传承古人智慧，灵活运用转化思想解决数学问题。
4.学生活动：整理课堂笔记，梳理知识框架。
5.（无第六环节，课堂收尾）
[设计意图]帮助学生梳理本节课核心知识，构建完整的知识体系，强化转化数学思维，实现知识内化。
【板书设计】
刘徽与割补术
1.人物：魏晋·刘徽 《九章算术注》
2.核心原理：出入相补，各从其类
形变 → 面积不变
3.割补方法：分割、平移、拼接、补全
4.核心思想：化未知为已知、化不规则为规则
5.应用：推导多边形面积、计算不规则图形面积
【课堂练习】
一、填空题
1.割补术是我国古代数学家（ ）提出的，核心原理是（ ）。
2.图形经过割补平移后，（ ）改变，（ ）不变。
3.用割补法推导平行四边形面积，可将其转化为（ ），长方形的长对应平行四边形的（ ），宽对应平行四边形的（ ）。
预设答案：1.刘徽、出入相补；
2.形状、面积；
3.长方形、底、高。
二、判断题
1.把三角形割补拼接后，面积会变小。（ ）
2.割补术的核心是将复杂图形转化为规则图形计算面积。（ ）
3.刘徽的割补思想只适用于平行四边形面积计算。（ ）
预设答案：1.×；
2.√；
3.×。
三、选择题
1.下列图形转化过程，运用割补术的是（ ）
A.长方形剪成两个正方形 B.梯形拼接成平行四边形 C.圆形随意裁剪
2.割补转化图形时，始终保持不变的是（ ）
A.周长 B.面积 C.形状
预设答案：1.B；
2.B。
四、解决问题
一个不规则图形，通过割补转化成一个长8cm、宽5cm的长方形，求原不规则图形的面积。
预设答案：8×5=40（平方厘米）
答：原不规则图形的面积是40平方厘米。割补前后图形面积不变，直接计算转化后长方形面积即可。
【课后作业】
一、变式练习题
用割补法简述梯形面积公式的推导过程。
预设答案：取两个完全相同的梯形，将其中一个梯形翻转，通过平移拼接成一个平行四边形。拼接后的平行四边形底为梯形上底与下底的和，高与梯形的高相等。平行四边形面积=（上底+下底）×高，因此一个梯形的面积=（上底+下底）×高÷2。
二、对比练习题
对比填空：平行四边形、三角形、梯形通过割补转化后，（ ）面积可以直接等于转化后图形面积，（ ）（ ）面积是转化后平行四边形面积的一半。
预设答案：平行四边形、三角形、梯形。
三、生活情境题
家里有一块不规则的桌面，工人师傅通过割补将其修补成边长为6/5分米的正方形，求这块桌面的面积。
预设答案：（平方分米）
答：这块桌面的面积是平方分米。
四、思维拓展题
一个组合图形，凸出部分面积为12平方厘米，凹陷部分面积为12平方厘米，通过割补转化为边长7厘米的正方形，求原组合图形的面积。
预设答案：7×7=49（平方厘米）
答：原组合图形面积为49平方厘米。割补过程中凸出与凹陷面积抵消，总面积不变，等于转化后正方形面积。