小学数学冀教版（2024）五年级上册（2024）刘徽与割补术第2课时教学设计

这是一份小学数学冀教版（2024）五年级上册（2024）刘徽与割补术第2课时教学设计教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学过程，板书设计，课堂练习，课后作业等内容，欢迎下载使用。
能综合运用割补法、拼组法、分割法、添补法求组合图形（多边形叠加/挖去）的面积，进一步体会“转化”思想的灵活性。
通过“估一估、分一分、算一算”解决生活情境中的不规则图形面积问题，发展估计意识和应用意识。
进一步感悟刘徽“出入相补”原理的一般性，能主动用“割—移—补”分析新问题。
【教学重点】
会用割补法、分割法、添补法将组合图形转化为基本图形，正确计算其面积。
【教学难点】
针对具体图形数据特征，灵活选择最优的转化策略（割、补、移、拼），并准确找准转化前后图形的对应数据。
【教学过程】
导入新课
教师活动：课件出示一个“房子”平面图——由一个长方形（墙身）和一个三角形（屋顶）组合而成，标出数据：墙身长8 m、宽5 m，屋顶底8 m、高3 m。提问：“学校要粉刷这面‘房子’形状的墙，需要算出它的总面积。这个图形我们没学过直接的公式，怎么办？”
学生活动：观察图形，思考转化策略。
答案：预设答案：“可以把它分成一个长方形和一个三角形，分别算面积再相加。”
环节一 方法梳理——组合图形的四种转化策略
教师板书四种基本策略并配合示意图：
①分割法（相加）：把组合图形分成几个基本图形，面积分别算再相加；
②添补法（相减法）：把图形补成一个大基本图形，减去补上的部分；
③割补法（移补）：割下某部分平移/翻转补到空缺处，拼成基本图形；④倍拼法：用两个相同图形拼成基本图形（适用于三角形、梯形）。
教师提问：“这四种方法背后共同的数学思想是什么？”
答案：预设答案：“都是把不会求的图形转化成会求的基本图形，都用到了‘转化’思想。”
教师点明：“这些方法，归根到底都是刘徽‘出入相补’原理的具体运用——分割、移补、拼合，面积保持不变。”
［设计意图］先帮助学生建立组合图形面积求解的“方法工具箱”，并揭示这些方法与刘徽“出入相补”原理的内在统一，为后续灵活运用奠定方法基础。
环节二 任务驱动——割补法求组合图形面积（任务一）
教师出示例题：
“求下图阴影部分面积（单位：cm）。”图形：一个长方形（长10、宽6）右上角叠放一个小正方形（边长4），两图形重叠一个角，形成“L”形阴影。
布置任务：“小组合作，用‘分割法’和‘添补法’两种方法分别求出阴影面积，比一比哪种更简便。限时5分钟。”
学生操作，教师巡视。请两组分别汇报：组1（分割法）：“把L形分成一个长10宽2的长方形和一个长6宽4的长方形，面积=10×2+6×4=20+24=44（cm²）。”组2（添补法）：“把L形补成一个长10宽6的大长方形，减去右上角4×4的小正方形，面积=10×6-4×4=60-16=44（cm²）。”
教师追问：“两种方法结果一样吗？哪种数据用起来更方便？”
答案：预设答案：“结果一样，都是44 cm²。这个图形用添补法更简便，只算两个图形面积相减就行。”
教师归纳：“具体用‘割’还是‘补’，要看图形和数据特征，选最简便、数据最好找的方法——这就是方法的优化选择。”
［设计意图］以同一图形要求用两种策略求解，让学生在对比中体会“割”与“补”的等价性与优劣差异，培养方法优化意识。
环节三 变式探究——不规则图形面积的估计（任务二）
教师出示一片“树叶”形状的不规则图形（印在方格纸上，每小格1 cm²），提问：“这片树叶的面积没法用公式直接算，你能估一估它大约多少平方厘米吗？”
学生独立思考后小组交流。汇报：生1（数格法）：“完整的小格有23格；不足一格的把它们拼起来大约相当于7个整格，所以大约23+7=30（cm²）。”生2（外包矩形法）：“树叶外面画一个长8 cm、宽5 cm的长方形，面积40 cm²，树叶大约占长方形的3/4，估算约30 cm²。”
教师肯定两种方法：“数方格”和“外包矩形估占比”都是估计不规则图形面积的好办法。刘徽算圆面积时，也是用“里面切正多边形”来逼近——思路是一脉相承的。
教师提问：“数方格时，不满一格的怎么处理比较合理？”
答案：预设答案：“可以把两个半格拼成一个整格，或者凡是不满一格的都按半格计算，这样估算比较接近真实值。”
［设计意图］将“转化”思想延伸到不规则图形面积的估计，既呼应刘徽“割圆术”的极限逼近思想，又培养学生“估一估”的应用意识和估计能力。
环节四 综合应用——“我的房间我设计”（任务三·生活情境）
教师创设情境：“小明房间地面是一个组合图形（由一个长方形主体和一个梯形凸窗组成）。长方形部分长4 m、宽3.5 m；凸窗是梯形，上底1.2 m、下底2 m、高1 m，与长方形一侧相连。小明要铺地板，需要买多少平方米的地板？”
学生独立在练习本上画示意图、分割图形、列式计算。教师巡视，请一位同学板演。
板演展示：长方形面积=4×3.5=14（m²）；梯形面积=(1.2+2)×1÷2=1.6（m²）；总面积=14+1.6=15.6（m²）。答：需要买15.6 m²的地板。
教师追问：“如果地板按平方米购买且‘只入不舍’（不够1 m²按1 m²算），小明实际要买多少平方米？”
答案：预设答案：“15.6 m²，按‘只入不舍’要买16 m²。”（渗透生活里的“进一法”）
［设计意图］以“铺地板”这一真实家居情境综合应用组合图形面积计算，让学生体会数学的生活价值，同时渗透“进一法”的实际意义。
环节五 思维拓展——古为今用（任务四）
教师出示一道“刘徽式”问题：
“一个多边形（可看成任意四边形），连接一条对角线分成两个三角形。这两个三角形分别用‘以盈补虚’割补成长方形。请画出割补示意图（可文字说明），并说明原四边形面积与两个长方形面积之和的关系。”
学生小组合作画图讨论，教师巡视指导。请一组展示：生3：“沿对角线把四边形分成△ABC和△ADC；△ABC沿中位线割补成长方形①，△ADC沿中位线割补成长方形
②；两个长方形面积之和=原四边形面积。”
教师归纳：“这就是‘出入相补’原理的威力——再复杂的直线形，都能分割、移补成基本图形来求面积。刘徽正是以长方形面积为‘基石’，用‘以盈补虚’建立起整套平面图形求积理论的。”
课件补充：“现代数学家吴文俊先生把刘徽的方法系统总结为‘出入相补原理’，并指出这是中国古典数学‘机械化’思想的源头。2002年国际数学家大会的会标，就采用了赵爽弦图（同为出入相补思想的经典图式）。”
［设计意图］以“任意四边形→两三角形→两长方形”的拓展任务，让学生体会割补术的一般性与强大，再次深化对刘徽思想的理解和民族自豪感。
环节六 课堂总结与评价
师生共同完成“方法树”：组合图形求面积——分割法（相加）、添补法（相减）、割补法（移补）、倍拼法；共同思想：转化→根源：刘徽“出入相补”原理。
学生谈收获：“这节课你最喜欢哪种方法？生活中哪里会用到组合图形面积？”
布置课堂练习与课后作业。
【板书设计】
刘徽与割补术
组合图形求面积——转化思想
①分割法（相加）
②添补法（相减）
③割补法（移补） ④倍拼法
共同根源：刘徽“出入相补”原理
策略选择：看图形特征与数据，选最简便的
不规则图形：数方格 / 外包矩形估占比
【课堂练习】
一、填空题
求组合图形面积常用的方法有____、____、____、____四种。
答案：分割法；添补法；割补法；倍拼法。
一个L形（大长方形长10 cm、宽8 cm，右上角挖去一个边长3 cm的小正方形），用添补法（大减小）求面积=____cm²。
答案：10×8-3×3=80-9=71（cm²）。
一个不规则图形印在方格纸上（每小格1 cm²），数得完整格28格，不满格约合成6格，估计面积≈____cm²。
答案：28+6=34（cm²）。
把任意四边形沿一条对角线分成两个____，分别割补成长方形，两个长方形面积之____等于原四边形面积。
答案：三角形；和。
刘徽“出入相补”原理被现代数学家____先生系统总结并命名。
答案：吴文俊。
二、判断题
组合图形只能分割成基本图形来求面积，不能用“大图形减小图形”的方法。（ ）
答案：×（也可以用添补法/相减法）。
用割补法把图形转化后，面积不变。（ ）
答案：√。
估计树叶面积时，不满一格的可以按半格计算。（ ）
答案：√。
添补法求面积，是用补成的大图形面积加上补上的部分。（ ）
答案：×（应减去补上的部分）。
刘徽的“出入相补”原理只适用于三角形，不适用于梯形。（ ）
答案：×（适用于各种直线形，具有一般性）。
三、选择题
一个图形由一个长9 cm、宽5 cm的长方形和一个底9 cm、高4 cm的三角形叠拼而成（三角形底与长方形一长边重合），面积用分割法计算为（ ）cm²。
A.45 B.18 C.63 D.27
答案：C（45+18=63）。
估计不规则图形面积，“外包矩形法”的思路是（ ）。
A.直接数方格 B.用外接矩形面积乘图形占比 C.沿对角线分割 D.补成正方形
答案：B。
下面哪种情况用“添补法”最简便（ ）。
A.一个完整长方形 B.L形（大矩形挖去小矩形） C.一个三角形 D.一个梯形
答案：B。
一个四边形沿对角线分成两个三角形，面积分别是24 cm²和36 cm²，四边形面积是（ ）cm²。
A.60 B.30 C.864 D.12
答案：A（24+36=60）。
刘徽“割圆术”从正6边形开始不断翻倍边数，体现了（ ）思想。
A.分类 B.极限逼近 C.方程 D.统计
答案：B。
四、解决问题
一块菜地形状为组合图形：由一个长方形（长20 m、宽12 m）和一个直角三角形（底12 m、高5 m，与长方形一侧相连）组成。求菜地总面积。
答案：长方形=20×12=240（m²）；三角形=12×5÷2=30（m²）；总面积=240+30=270（m²）。答：菜地总面积为270 m²。
学校走廊墙面是一个L形：外面大长方形长15 dm、宽10 dm，左上角挖去一个边长4 dm的正方形。求墙面实际面积（用添补法）。
答案：15×10-4×4=150-16=134（dm²）。答：墙面实际面积为134 dm²。
一个不规则池塘画在方格纸上（每小格代表4 m²）。数得完整格41格，不满格约合成9格。估算池塘面积。
答案：(41+9)×4=50×4=200（m²）。答：池塘面积约为200 m²。
【课后作业】
一、变式练习题
一个组合图形可分割成一个平行四边形（底8 cm、高5 cm）和一个梯形（上底4 cm、下底8 cm、高3 cm）。求图形总面积。
答案：平行四边形=8×5=40（cm²）；梯形=(4+8)×3÷2=18（cm²）；总面积=40+18=58（cm²）。
一个五边形可分割成一个长方形（长12 cm、宽6 cm）和一个三角形（底6 cm、高4 cm）。用分割法求总面积；若改用“添补法”（把五边形补成一个大长方形再减），大长方形的长、宽各是多少？面积差是多少？
答案：分割法=12×6+6×4÷2=72+12=84（cm²）。添补法：大长方形长12 cm、宽6+4=10 cm，面积=12×10=120（cm²）；补上的三角形面积=6×4÷2=12（cm²）；120-12=84（cm²），结果一致。
二、对比练习题
同一L形（外边长方体10×8，挖去3×3小正方形），分别用“分割法（分成三个长方形）”和“添补法（大减小）”计算，比较哪种步骤更少。
答案：添补法步骤更少：10×8-3×3=71（cm²）；分割法需分块相加，步骤较多，但结果相同，均为71 cm²。
求一个三角形面积，分别用“倍拼法（两个拼成平行四边形）”和“割补法（沿中位线变长方形）”，写出两种方法的对应关系与最终公式，说明它们都体现了什么共同思想。
答案：倍拼法→平行四边形底=三角形底、高=三角形高，S△=底×高÷2；割补法→长方形长=底÷2、宽=高，S=底×高÷2。共同思想：转化（出入相补/以盈补虚）。
三、生活情境题
李阿姨家客厅地面是组合图形：主区长6 m、宽4 m，阳台凸出部分是一个梯形（上底2 m、下底3 m、高1.5 m，与主区一侧相连）。铺地砖总面积是多少？
答案：主区=6×4=24（m²）；梯形=(2+3)×1.5÷2=3.75（m²）；总面积=24+3.75=27.75（m²）。
一块梯形稻田（上底80 m、下底120 m、高60 m）要估产。先求稻田面积；若每平方米产稻谷约0.8 kg，这块田约产稻谷多少千克？
答案：面积=(80+120)×60÷2=6000（m²）；产量=6000×0.8=4800（kg）。
四、思维拓展题
一个任意凸四边形，四边长分别为别给出的数据（如AB=10 cm、BC=8 cm、CD=6 cm、DA=5 cm）。仅凭边长能否求出它的面积？为什么？若不能，还需要什么条件？（提示：联系“出入相补”——需要一条对角线将其分成两个三角形，并知道相关高或角度信息。）
答案：仅凭四边长不能唯一确定四边形面积（四边形不具有稳定性）。需要补充一条对角线长度（或两个三角形各自的高/夹角），才能沿对角线分割成两个三角形分别求面积。
刘徽说“割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。请你用自己的话解释这句话的意思，并想一想：为什么“边数越多，正多边形面积越接近圆面积”？
答案：不断把圆内接正多边形的边数加倍，多边形就越来越贴近圆的轮廓，当边数多到“不能再分”时，正多边形就和圆重合为一体，面积差消失。因为每增加边数，多边形外围的“弓形缺口”就越小、越多，累计缺口面积趋于0，所以多边形面积无限逼近圆面积——这是极限思想的朴素表达。