数学五年级上册（2024）☆拓展学习刘徽与割补术第1课时教学设计

这是一份数学五年级上册（2024）☆拓展学习刘徽与割补术第1课时教学设计教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学过程，板书设计，课堂练习，课后作业等内容，欢迎下载使用。
了解数学家刘徽的生平及其对《九章算术》的注解贡献，知道“以盈补虚”的含义。
通过七巧板拼摆与平行四边形割补的回顾，初步理解“出入相补”原理：图形分割、平移、旋转后面积不变。
动手用割补法将三角形转化为长方形/平行四边形，重新体会三角形面积公式“底×高÷2”的由来。
【教学重点】
理解“以盈补虚”的含义，会用割补法将三角形转化为已学图形并推导面积公式。
【教学难点】
准确找到三角形两腰的中点，沿中位线剪开并翻转补入，说清理据“面积不变”。
【教学过程】
导入新课
教师活动：课件出示一套七巧板拼成的正方形，再演示将其拆开、重新拼成一座“小房子”造型。提问：“同学们，同样这七块板，一会儿拼成正方形，一会儿拼成小房子，它们占桌面的大小（面积）有没有变化？为什么？”
学生活动：观察动画，思考并回答。
答案：预设答案：“没有变化，因为用的还是同样的七块板，只是摆的位置和形状不一样了，块数没多没少，所以总面积不变。”
环节一 初识刘徽——跨越千年的数学家
课件出示刘徽画像及简介文字：“刘徽（约公元225—295年），三国魏国（今山东邹平）人，中国古典数学理论奠基人之一。公元263年，他为《九章算术》作注，还写出测量数学著作《海岛算经》。”
教师讲述：“《九章算术》是我国古代最重要的数学专著，原书只有题目和答案，没有推导过程。刘徽不甘心‘只知答案不知道理’，从小研读《九章》，长大反复推敲，用‘以盈补虚’的方法为书中各种图形面积公式给出了严谨的证明。”
出示《九章算术》“方田”章记载：“半广以乘正从”——“广”指底，“正从”指高，意思是三角形面积=底的一半×高。
教师提问：“刘徽是怎么证明这句话的呢？他在注文中写道：‘半广者，以盈补虚，为直田也。’谁猜一猜‘以盈补虚’是什么意思？
答案：预设答案：“‘盈’是多的、鼓出来的部分，‘虚’是少的、凹进去的空缺；‘以盈补虚’就是把多出来的部分割下来，补到空缺的地方去。”
教师归纳并板书核心原理——“出入相补（以盈补虚）原理”：(1)一个图形可以切割成若干块，总面积不变（各块面积之和=原图形面积）；(2)一块图形可以平移、旋转、翻转，面积不变；(3)把割下的部分补到另一处，拼成新图形，总面积不变。这就是刘徽“割补术”的思想核心。
［设计意图］以七巧板“同块异形、面积不变”的生活化现象切入，唤醒学生的直观经验；再通过刘徽生平与“以盈补虚”的字面释义，让学生在历史情境中初步建构“出入相补”原理的表象，为后续动手割补奠定认知基础。
环节二 回顾旧知——平行四边形的割补（温故知新）
教师出示一个平行四边形纸片（底10 cm、高4 cm），提问：“我们以前是怎么推导出平行四边形面积公式的？谁来一边说一边用教具演示？”
答案：预设答案：“沿高剪开，把左边的直角三角形平移到右边，拼成一个长方形；长方形的长=平行四边形的底，宽=平行四边形的高，所以平行四边形面积=底×高。”
教师在黑板上演示剪拼，并追问：“拼成的长方形和原来的平行四边形比，面积变了没有？为什么？”
答案：预设答案：“没有变。因为只是把左边多出来的三角形割下来、补到右边空缺处，割下的和补入的面积相等，所以总面积不变。”
教师点明：“这种‘把多余部分割下、补到不足处’的做法，正是刘徽所说的‘以盈补虚’。我们今天要学的，就是古人用这种方法推导三角形、梯形的面积公式。”
［设计意图］从学生已掌握的平行四边形割补入手，既复习了“转化”方法，又自然对接到刘徽“以盈补虚”的思想，实现“旧知—新方法—文化源流”的有机衔接。
环节三 动手探究——把三角形割补成长方形（任务一）
教师布置任务：“请拿出学具袋里的任意三角形纸片和方格纸。小组合作：只用一个三角形，不拼别的三角形，能不能通过‘剪一刀、翻一翻、补一补’，把它转化成长方形？限时6分钟，试试看。”
学生分组操作，教师巡视指导，重点关注：能否找到两条腰的中点、能否沿中位线正确剪开、能否将上部小三角形翻转后补到下方。
全班汇报交流。请一组上台展示：生1：“我们先找到三角形两条腰的中点，用尺子连起来画一条线段（中位线）；沿这条线剪开，上面是一个小三角形；把这个小三角形翻转过来，补到原三角形的下方空缺处，就拼成了一个长方形。”
教师配合课件动画演示三步操作：
①找两腰中点连中位线；
②沿中位线剪开；
③上部小三角形翻转补入下方。
师生共同分析转化前后对应关系，板书：长方形的长=原三角形底的一半（底÷2）；长方形的宽=原三角形的高；长方形面积=长×宽=(底÷2)×高。因为长方形由原三角形割补而来（面积不变），所以：三角形面积=(底÷2)×高=底×高÷2。
教师追问：“如果不把底折半，换个割法，还能得到‘底×高÷2’吗？”引导发现另一种割法：以上方顶点为“盈”，沿一侧剪下补到另一侧，可得“高的一半×底”，同样得到底×高÷2。教师小结：“不管‘底折半’还是‘高折半’，最后都得到‘底×高÷2’，条条大路通罗马——这就是刘徽‘半广者，以盈补虚，为直田也’的真实含义。”
［设计意图］以“只用一刀把一个三角形变成长方形”的核心任务驱动深度探究，让学生在“找中点—剪中位线—翻转补入”的操作中亲历刘徽的割补思路，并用算式验证“底×高÷2”，既巩固了公式，又深刻体会了“以盈补虚”的一般性。
环节四 再探梯形——把梯形割补成长方形（任务二）
教师出示一个等腰梯形纸片（上底6 cm、下底10 cm、高4 cm），提问：“梯形能不能也用‘以盈补虚’割补成长方形呢？小组讨论试试。”
学生操作，教师巡视。请一组汇报：生2：“我们找到梯形两腰的中点连起来，沿这条中位线剪开，把上面的小梯形翻转，补到下方，拼成一个长方形。”
师生分析：长方形的长=梯形中位线长=(上底+下底)÷2；长方形的宽=梯形的高；长方形面积=(上底+下底)÷2×高，即梯形面积=(上底+下底)×高÷2。
教师追问：“这和我们用‘两个完全一样的梯形拼成平行四边形’推导出的公式‘(上底+下底)×高÷2’一样吗？”
答案：预设答案：“一样！两种方法得到的结果完全相同，说明割补法和拼组法都能推出梯形的面积公式。”
教师归纳：“刘徽在《九章算术》‘邪田术’的注文中说‘并之半之者，以盈补虚也’，意思就是把上底和下底相加再取一半（中位线），通过割补变成长方形。古人用的正是我们刚才的方法！”
［设计意图］将割补法从三角形迁移到梯形，让学生在“举三反一”中概括出“以盈补虚”的一般方法，同时再次验证梯形面积公式，强化“转化”思想的普适性。
环节五 文化感悟——刘徽还做了什么
课件出示“割圆术”简介：“刘徽还创造了‘割圆术’——从圆内接正六边形开始，不断把边数翻倍（正12、24、48……边形），正多边形面积越来越接近圆面积。他说：‘割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。’他算出了圆周率π≈3.1416（徽率），比牛顿、莱布尼茨的微积分早约1500年！”
教师提问：“从‘割圆术’里，你感受到刘徽怎样的精神？”
答案：预设答案：“他非常严谨、爱钻研，不满足于近似答案，一直追求更精确的结果；他善于从‘有限’联想到‘无限’，很有想象力。”
教师总结：“刘徽被后人称为‘中国数学史上的牛顿’。我们今天课堂上‘剪一剪、拼一拼’推导面积公式的方法，思想源头就是他的‘出入相补’原理。希望同学们也能像刘徽一样，遇事多问‘为什么’，动手去验证。”
［设计意图］以“割圆术”的极限思想拓展学生视野，让学生感受刘徽成就的伟大与中华数学文化的深厚，激发民族自豪感，实现情感态度目标的落地。
环节六 课堂小结与当堂检测
师生共同填写“知识树”板书（见板书设计）。
教师提问梳理：“这节课你最大的收获是什么？‘以盈补虚’四个字你现在怎么理解？”
布置课堂练习（见下）与课后作业。
【板书设计】
刘徽与割补术
刘徽（约225—295） 注解《九章算术》
以盈补虚 = 出入相补（割补术）
原理：割、移、补、拼 —— 面积不变
三角形：找两腰中点→沿中位线剪→翻转补入
长方形长=底÷2 宽=高 S=底×高÷2
梯形：找两腰中点→沿中位线剪→翻转补入
长方形长=(上底+下底)÷2 宽=高 S=(上底+下底)×高÷2
【课堂练习】
一、填空题
刘徽是____时期（朝代）的数学家，他为《九章算术》作注，提出了“以盈补虚”的割补思想。
答案：三国（三国魏）。
三角形面积公式“底×高÷2”，在《九章算术》中表述为“____以乘正从”，“广”指____，“正从”指____。
答案：半广；底；高。
把一个三角形沿两腰中点的连线（中位线）剪开，将上部翻转补到下方，拼成的图形是____，它的长等于原三角形底的____，宽等于原三角形的____。
答案：长方形；一半（底÷2）；高。
出入相补原理告诉我们：一个图形经过____、____、____后，____不变。
答案：分割（割）；平移；旋转（翻转）；面积。
一个三角形底是8 cm，高是5 cm，用割补法转化后长方形的长=____cm，宽=____cm，长方形面积=____cm²，即三角形面积=____cm²。
答案：4；5；20；20。
二、判断题
刘徽生活的年代比祖冲之早，“徽率”π≈3.1416是刘徽算出的。（ ）
答案：√。
把三角形割补成长方形后，因为形状变了，所以面积也变了。（ ）
答案：×（面积不变，割补是等积变形）。
“以盈补虚”就是把图形中多出来的部分割下，补到空缺处。（ ）
答案：√。
任意三角形都可以用“沿中位线割补”的方法转化成长方形。（ ）
答案：√（锐角、直角、钝角三角形均可）。
梯形只有等腰梯形才能用割补法转化成长方形。（ ）
答案：×（任意梯形都可沿中位线割补成长方形）。
三、选择题
下列属于刘徽贡献的是（ ）。
A.发明阿拉伯数字 B.注解《九章算术》并创立割补术 C.发现勾股定理 D.发明计算器
答案：B。
一个三角形底12 cm、高6 cm，割补成长方形后，长方形面积是（ ）cm²。
A.72 B.36 C.18 D.24
答案：B（12×6÷2=36）。
“半广以乘正从”中“半广”的意思是（ ）。
A.高的一半 B.底的一半 C.底和高都取一半 D.周长的一半
答案：B。
刘徽“割圆术”体现的是（ ）数学思想。
A.分类讨论 B.极限（无限逼近） C.方程 D.统计
答案：B。
把一个上底4 cm、下底8 cm、高5 cm的梯形沿中位线割补成长方形，长方形的长是（ ）cm。
A.6 B.12 C.5 D.4
答案：A（(4+8)÷2=6）。
四、解决问题
一个三角形铁皮底16 dm，高7.5 dm。小明用“以盈补虚”法将它割补成一个长方形，求这个长方形的面积。（即求三角形面积）
答案：解：长方形面积=三角形面积=底×高÷2=16×7.5÷2=60（dm²）。答：长方形面积为60 dm²。
一个梯形茶园，上底30 m，下底50 m，高20 m。用刘徽“并之半之”的割补思路，把它转化成长方形后求茶园面积。
答案：解：长方形长=(30+50)÷2=40（m），宽=20 m，面积=40×20=800（m²）。答：茶园面积为800 m²。
刘徽说“割之弥细，所失弥少”。一个圆内接正6边形面积约为2.93 r²，正12边形面积约为3.00 r²，正24边形面积约为3.11 r²（r为半径）。观察数据，你发现了什么规律？
答案：答：正多边形边数越多，面积越接近圆面积πr²（约3.14 r²）；边数不断翻倍，多边形面积无限逼近圆面积，误差越来越小——这就是“割之弥细，所失弥少”的含义。
【课后作业】
一、变式练习题
一个三角形割补成长方形后，长方形长9 cm、宽4 cm。求原三角形的底和高。
答案：长=底÷2→底=9×2=18（cm）；宽=高→高=4（cm）。原三角形底18 cm、高4 cm，面积=18×4÷2=36（cm²）。
一个梯形割补成长方形后，长方形长15 cm、宽8 cm。求这个梯形的面积，并写出它上底与下底的和。
答案：面积=15×8=120（cm²）；上底+下底=长×2=15×2=30（cm）。
二、对比练习题
同样求三角形面积，比较“两个完全一样的三角形拼成平行四边形”和“一个三角形沿中位线割补成长方形”两种方法：(1)两种方法得到的面积公式一样吗？(2)你认为哪种更能体现刘徽“以盈补虚”的思想？
答案：(1)一样，都是底×高÷2。(2)第二种（割补法）更能体现“以盈补虚”——它是把一个图形内部“盈”的部分割下补到“虚”处，不用借助另一个相同的三角形。
一个平行四边形底14 cm、高6 cm。分别用“割补法”和“直接套公式”求面积，验证结果是否一致。
答案：割补法→拼成长方形14×6=84（cm²）；直接公式→14×6=84（cm²），一致。
三、生活情境题
王大爷有一块三角形菜地，底25 m、高16 m。他用刘徽的“以盈补虚”思路，把这块地割补成长方形后再规划种植。这块菜地的面积是多少平方米？
答案：25×16÷2=200（m²）。
学校操场旁有一块梯形空地（上底18 m、下底32 m、高12 m），计划在上面建小花园。若用割补法把它转化成长方形，求这块空地的面积。
答案：(18+32)×12÷2=300（m²）。
四、思维拓展题
一个任意四边形（凸四边形），能否用“以盈补虚”的思路割补成一个长方形？请画出你的割补设想（可文字说明），并思考转化前后面积的关系。
答案：提示：可连接四边形的一条对角线，分成两个三角形；每个三角形分别沿中位线割补成长方形，再把两个长方形拼在一起。转化前后面积相等（出入相补，等积变形）。（开放题，合理即可）
刘徽从圆内接正六边形出发，边数不断翻倍。若半径r=1，正6边形面积≈2.598，正12边形≈3.000，正24边形≈3.106，正48边形≈3.133。请根据数据估一估：当边数非常大时，正多边形面积接近多少？（提示：这就是圆周率π的由来）
答案：接近π≈3.1416（即半径为1时圆面积≈3.1416）。