小学数学冀教版（2024）五年级上册（2024）七 探索乐园第四课时教案

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回顾"鸡兔同笼"问题的解题思路（假设法、列表法、方程法），能灵活运用不同方法解决同类问题。
了解图形密铺的含义，知道哪些图形可以密铺，体验数学与生活的联系。
对本册全部知识进行系统梳理，构建完整的知识网络，形成知识体系。
通过"动物园门票统计""家庭装修地砖选择"等真实情境，提高综合运用知识解决问题的能力。
【教学重点】
"鸡兔同笼"问题的假设解法；全册知识网络的系统建构。
【教学难点】
"鸡兔同笼"问题中假设法的算理理解（为什么用"总差÷单差"）；灵活运用多种方法解决问题。
【教学过程】
导入新课
教师活动：（出示情境）同学们，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道有趣的数学题：
"今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡兔各几何？"这就是著名的"鸡兔同笼"问题。今天我们一起来回顾这类问题的解法，并对全册知识进行系统整理。
学生活动：学生回忆鸡兔同笼问题的已知条件和所求问题。
环节一：回顾鸡兔同笼问题的假设法
教师活动：（出示简化版）笼子里有鸡和兔共8只，一共有26条腿。鸡和兔各有几只？（鸡有2条腿，兔有4条腿）
学生活动：学生尝试用假设法解决。
预设答案（假设法）：
假设8只全是鸡：腿数=8×2=16（条），比实际少26-16=10（条）。
每把1只鸡换成1只兔，腿数增加4-2=2（条）。
需要换10÷2=5（只），即兔有5只。
鸡=8-5=3（只）。
检验：3×2+5×4=6+20=26（条），正确。
教师活动：如果假设8只全是兔呢？结果一样吗？
学生活动：学生计算。
预设答案：假设8只全是兔：腿数=8×4=32（条），比实际多32-26=6（条）。每把1只兔换成1只鸡，腿数减少4-2=2（条）。需要换6÷2=3（只），即鸡有3只，兔=8-3=5（只）。结果一致。
3.教师活动："总差÷单差"中的"总差"和"单差"分别表示什么？
学生活动：学生归纳：总差=假设的总腿数与实际腿数的差；单差=1只兔与1只鸡的腿数差（4-2=2）。总差÷单差=需要替换的只数。
[设计意图]通过经典的鸡兔同笼问题，引导学生掌握假设法的核心步骤，理解"总差÷单差"的算理。
环节二：回顾鸡兔同笼问题的方程法
教师活动：除了假设法，还可以用什么方法解决鸡兔同笼问题？
学生活动：学生回答：可以用列方程的方法。
教师活动：（出示题目）笼子里鸡和兔共10只，共有28条腿。请用列方程的方法解答。
学生活动：学生设未知数，列方程解答。
预设答案：设鸡有x只，则兔有(10-x)只。
2x+4(10-x)=28
2x+40-4x=28
-2x=-12
x=6
鸡有6只，兔有10-6=4只。
检验：6×2+4×4=12+16=28（条），正确。
[设计意图]通过方程法解决鸡兔同笼问题，让学生体会不同解题策略之间的联系，培养一题多解的能力。
环节三：回顾鸡兔同笼问题的变式应用
教师活动：（出示情境）动物园里有龟和鹤共12只，一共有34条腿（龟4条腿，鹤2条腿）。龟和鹤各有几只？
学生活动：学生分析：这是鸡兔同笼的变式，"龟"相当于"兔"（4条腿），"鹤"相当于"鸡"（2条腿）。
预设答案：假设12只全是鹤：腿数=12×2=24，比实际少34-24=10。每换1只龟增加4-2=2条腿，龟=10÷2=5（只），鹤=12-5=7（只）。检验：7×2+5×4=14+20=34，正确。
教师活动：（出示题目）小明参加数学竞赛，共10道题，答对1题得10分，答错1题扣6分（不答按错算）。小明最后得了52分，他答对了几题？
学生活动：学生分析：这也是鸡兔同笼变式，"答对"相当于"兔"（得10分），"答错"相当于"鸡"（扣6分，即得-6分）。
预设答案：假设10题全答对：得分=10×10=100（分），比实际多100-52=48（分）。每把1题答对改为答错，分数减少10+6=16（分）（少得10分，多扣6分）。答错=48÷16=3（题）
，答对=10-3=7（题）
。检验：7×10-3×6=70-18=52，正确。
[设计意图]通过龟鹤问题和竞赛得分问题，让学生认识鸡兔同笼问题的变式类型，提高灵活运用能力。
环节四：回顾图形密铺
教师活动：（出示情境）小明家装修卫生间，工人师傅用正六边形地砖铺满了整个地面，没有缝隙也没有重叠。这就是"密铺"现象。什么是密铺？
学生活动：学生回答：密铺（镶嵌）是指用一种或几种平面图形拼在一起，既不重叠又不留空隙地铺满整个平面。
教师活动：哪些图形可以密铺？哪些不能？举例说明。
学生活动：学生回忆：等边三角形、正方形、正六边形可以密铺；正五边形不能单独密铺。
预设答案：可以密铺的图形：等边三角形（每个内角60°，6个拼在一起360°）、正方形（每个内角90°，4个拼在一起360°）、正六边形（每个内角120°，3个拼在一起360°）。正五边形（内角108°，360÷108不是整数）不能单独密铺。
3.教师活动：密铺的条件是什么？
学生活动：学生归纳：围绕一个拼接点，几个多边形的内角之和能等于360°。
[设计意图]通过家庭装修铺地砖的情境，回顾密铺的含义和条件，感受数学在生活中的应用。
环节五：全册知识网络建构
教师活动：（出示完整的知识网络框架图）同学们，经过前面的复习，我们已经回顾了本册各个单元的知识。现在请大家一起将这些知识串联起来，构建完整的知识网络。
学生活动：在教师引导下，共同梳理全册知识脉络：
五年级上册数学·知识网络
一、小数的认识与加减法 → 小数的意义/性质/近似数/加减法
二、图形的运动(二) → 平移/旋转/轴对称
三、小数乘法和除法 → 小数点位置变化/乘除法/近似值/循环小数
四、随机现象发生的可能性 → 事件类型/可能性大小/游戏公平
五、小数应用问题 → 购物问题/行程问题/归一归总问题
六、多边形的面积 → 平行四边形/三角形/梯形/组合图形
七、探索乐园 → 鸡兔同笼/图形密铺
教师活动：在各单元知识中，你认为哪部分内容是本学期的重点？哪部分最容易出错？
学生活动：学生交流讨论，教师引导归纳：小数乘除法和多边形面积是本学期的重点和考试高频考点；小数除法中除数是小数的转化、组合图形面积的计算是易错点。
[设计意图]通过全册知识网络的系统建构，帮助学生形成完整的知识体系，明确重点和易错点。
环节六：课堂小结
教师活动：通过今天的复习，你有哪些收获？鸡兔同笼问题的关键思路是什么？
学生活动：学生总结：鸡兔同笼问题的关键是假设法和"总差÷单差"；密铺的关键是拼接点各角之和为360°；全册知识已形成系统网络。
[设计意图]通过课堂小结，帮助学生梳理本课时核心内容，巩固复习成果。
【板书设计】
期末复习·回顾整理(四)
——鸡兔同笼·密铺·知识网络
一、鸡兔同笼
已知：头数之和、腿数之和，求鸡兔各几只。
假设法：假设全是鸡→求总差→÷单差(4-2=2)→求兔数
方程法：设鸡x只，则兔(总头-x)只→2x+4(总头-x)=总腿
关键：总差 ÷ 单差 = 需替换的只数
二、图形密铺
密铺：既不重叠又不留空隙地铺满平面。
可密铺：等边三角形、正方形、正六边形……
条件：拼接点各内角之和 = 360°
三、全册知识网络（见框架）
【课堂练习】
（一）填空题
笼子里鸡和兔共10只，共有28条腿。假设10只全是鸡，则腿有（ ）条，比实际少（ ）条，兔有（ ）只，鸡有（ ）只。
正方形每个内角是（ ）°，（ ）个正方形可以密铺一个拼接点（内角之和为360°）。
鸡兔同笼，共15个头，40条腿。兔有（ ）只，鸡有（ ）只。
答案：1.20；8；4；6。 2.90；4。 3.兔5只（假设全鸡：15×2=30，少10条，10÷2=5只兔），鸡10只。
（二）判断题
正六边形可以密铺。（ ）
鸡兔同笼问题中，假设全是鸡求出的结果是兔的只数。（ ）
正五边形可以单独密铺。（ ）
答案：1.√。 2.√（假设全鸡时，总差÷单差=兔的只数）。 3.×。
（三）选择题
鸡兔同笼，共12个头，34条腿。兔有（ ）只。
A.3 B.5 C.7
下列图形中，不能单独密铺的是（ ）。
A.等边三角形 B.正方形 C.正五边形
用列方程的方法解鸡兔同笼（共8个头，26条腿），设鸡有x只，方程正确的是（ ）。
A.2x+4(8-x)=26 B.2x+4x=26 C.2(8-x)+4x=26
答案：1.B（假设全鸡：12×2=24，少10条，10÷2=5只兔）。 2.C。 3.A。
（四）解决问题
自行车和三轮车共10辆，一共有26个车轮（自行车2个轮，三轮车3个轮）。自行车和三轮车各有多少辆？
小明用正方形和等边三角形两种地砖密铺地面。在一个拼接点处，已经有2个正方形，还需要几个等边三角形才能铺满这个拼接点？
答案：
假设10辆全是自行车：车轮=10×2=20，比实际少26-20=6。每换1辆三轮车增加3-2=1个轮，三轮车=6÷1=6（辆），自行车=10-6=4（辆）。检验：4×2+6×3=8+18=26，正确。
2个正方形内角之和=2×90°=180°，还需360°-180°=180°。每个等边三角形内角60°，180°÷60°=3（个）。还需要3个等边三角形。
【课后作业】
（一）变式练习题
鸡兔同笼，共20个头，50条腿。鸡和兔各几只？（用两种方法解答）
用正六边形密铺时，每个拼接点处有3个正六边形。请计算验证：3个正六边形的内角之和是否等于360°？（正六边形每个内角=120°）
答案：1.方法一（假设法）：假设全鸡：20×2=40，少10条，兔=10÷2=5只，鸡=15只。方法二（方程法）：设鸡x只，2x+4(20-x)=50→2x+80-4x=50→-2x=-30→x=15，鸡15只，兔5只。检验：15×2+5×4=30+20=50。 2.3×120°=360°，等于360°，验证正六边形可以密铺。
（二）对比练习题
对比下面两题，说说它们与鸡兔同笼问题的联系：
① 停车场里有汽车和摩托车共15辆，共有50个轮子（汽车4轮，摩托车2轮）。汽车和摩托车各几辆？
② 小明买语文和数学练习本共10本，语文练习本每本1.5元，数学练习本每本2元，一共花了17元。语文和数学练习本各几本？
答案：
① 是鸡兔同笼变式（汽车→兔4轮，摩托车→鸡2轮）。假设全摩托车：15×2=30轮，少20个，汽车=20÷2=10辆，摩托车=5辆。
② 也是鸡兔同笼变式（数学本→兔2元，语文本→鸡1.5元）。假设全买语文本：10×1.5=15元，少2元，数学本=2÷0.5=4本，语文本=6本。两题都是"两种物品的总数+总价值"型鸡兔同笼问题。
（三）生活情境题
动物园里有孔雀和猴子共8只，一共有22条腿（孔雀2条腿，猴子4条腿）。孔雀和猴子各几只？
爸爸用一种正多边形地砖密铺阳台地面，要求不留缝隙。现有正方形、正五边形、正六边形三种地砖可选。哪些可以选择？为什么？
答案：1.假设全孔雀：8×2=16腿，少6条，猴子=6÷2=3只，孔雀=5只。检验：5×2+3×4=10+12=22。 2.正方形（内角90°，360÷90=4，可密铺）和正六边形（内角120°，360÷120=3，可密铺）可以选择；正五边形（内角108°，360÷108不是整数，不能单独密铺）不可选择。
（四）思维拓展题
鸡兔同笼，共有头35个，腿94条。鸡和兔各几只？（这是《孙子算经》中的原题）
一次数学竞赛共有20道题，做对一题得5分，做错一题扣3分（不做按错算）。小明最后得了60分，他做对了几题？
答案：1.假设全鸡：35×2=70腿，少24条，兔=24÷2=12只，鸡=35-12=23只。检验：23×2+12×4=46+48=94。鸡23只，兔12只。 2.假设20题全对：20×5=100分，比实际多100-60=40分。每把1题对改为错，分数减少5+3=8分，错题=40÷8=5题，对题=20-5=15题。检验：15×5-5×3=75-15=60分。