第10讲反比例函数的图像与性质（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册

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这是一份第10讲反比例函数的图像与性质（暑假预习）2026-2027学年人教版九年级数学上册，共7页。学案主要包含了反比例函数的图象与性质，反比例系数k的几何意义，反比例函数与一次函数综合等内容，欢迎下载使用。
学习目标
1. 掌握反比例函数的图像分布、经过象限、增减性、对称性；
2. 掌握反比例系数k的几何意义；
3. 掌握反比例函数与一次函数综合相关知识点.
考点整理
一、反比例函数的图象与性质
注意：
(1)研究反比例函数的增减性及比较两个函数值的大小时，要分象限进行研究或比较.
(2)判断某点是否在反比例函数的图象上，只需要判断该点的横、纵坐标之积是否等于k即可.
(3)因为反比例函数和正比例函数的图象都关于原点对称，所以在同一直角坐标系中，若反比例函数与正比例函数图象有两个交点，则这两个交点关于原点对称.
二、反比例系数k的几何意义
当反比例函数图象与三角形、矩形结合时,可直接利用k的几何意义求解,若图形为不规则图形,则结合割补法进行求解.
（一）一点一垂线

结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC=k
（二）一点两垂线

结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD=k
（三）两点一垂线
结论：S△ABC =2S△ABO =k
如左图，已知一次函数与反比例函数y=kx交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC
=12c•|yA|+12c•|yB|=12c(|yA|+|yB|)
如右图，已知一次函数与反比例函数y=kx交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC
=12c•|xA|+12c•|xB|=12c(|xA|+|xB|)
（四）两点两垂线
【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k|
（五）两点和原点
方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】
方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB．
方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】
方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝12OD•（|yA|-|yB|）
方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝12OC•（|xB|-|xA|）
（六）两曲一平行
类型一两条双曲线的k值符号相同
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝12|k1|- 12|k2|
结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE
类型二两条双曲线的k值符号相同
结论：S△AOB＝S△ACB＝12(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2|
三、反比例函数与一次函数综合
1.自变量取值范围
当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB