2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题52定值问题(新高考专用)(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题自测+考点突破+分层检测)专题52定值问题(新高考专用)(原卷版+解析)，共71页。学案主要包含了真题自测，考点突破，分层检测，整体点评等内容，欢迎下载使用。

【真题自测】2
【考点突破】2
【考点1】长度或距离为定值2
【考点2】斜率或其表达式为定值4
【考点3】几何图形的面积为定值6
【分层检测】7
【基础篇】7
【能力篇】10
【培优篇】10
真题自测
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
2．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
3．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
4．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
考点突破
【考点1】长度或距离为定值
一、解答题
1．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上.
(1)求的方程；
(2)已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值.
2．（24-25高三上·江西·开学考试）已知双曲线其左、右焦点分别为，若，点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且，若成等比数列，则称该双曲线为“黄金双曲线”，判断双曲线C是否为“黄金双曲线”，并说明理由．
3．（24-25高三上·青海西宁·开学考试）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，分别是椭圆的右顶点和上顶点，不过原点的直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，，为坐标原点.
（ⅰ）求与的面积之比；
（ⅱ）证明：为定值.
4．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点.
(1)若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求；
(2)若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：.
5．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知椭圆的左右顶点分别为是椭圆上异于的动点，满足，当为上顶点时，的面积为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点（与不重合），直线分别与直线交于两点，求的值.
6．（24-25高三上·广西·阶段练习）椭圆E：的离心率为，过点的直线l与椭圆E交于M，N两点．当直线l过坐标原点O时，．
(1)求椭圆E的方程．
(2)设A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，过点M作x轴的平行线分别与直线AB，NB交于C，D两点．试探究D，C，M三点的横坐标是否构成等差数列，并说明理由．
反思提升：
探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.
【考点2】斜率或其表达式为定值
一、解答题
1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．
2．（24-25高三上·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值．
3．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为.

(1)直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值；
(2)求证：直线过定点.
4．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点.
(1)求C的方程；
(2)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系．
5．（2024高二上·江苏·专题练习）已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值.
6．（2024·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为．
(1)证明：直线的斜率为定值；
(2)为坐标原点，若的面积为，求直线的方程．
反思提升：
第一步 求圆锥曲线的方程
第二步 特殊情况分类讨论
第三步 联立直线和圆锥曲线的方程
第四步 应用根与系数的关系用参数表示点的坐标
第五步 根据相关条件计算推证
第六步 明确结论
【考点3】几何图形的面积为定值
一、解答题
1．（2024高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P．
(1)若，，求椭圆C的方程
(2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值．
2．（2024·江苏苏州·模拟预测） 已知椭圆 与圆 在第一、第二象限分别交于 Q、P 两点，且满足
(1)求椭圆γ的标准方程；
(2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值.
3．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆：，直线过点且与圆交于点B，C，中点为D，过中点E且平行于的直线交于点P，记P的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.
①的面积是定值；②的面积是定值；③的面积是定值.
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A−2,0，两点．
(1)求C的方程；
(2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明：
（ⅰ）存在常数，满足；
（ⅱ）的面积为定值．
5．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆分别为椭圆的左､右顶点，分别为椭圆的左､右焦点，斜率存在的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为.
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围.
6．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知椭圆系方程：（，），、是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且．
(1)求的离心率，求出的方程．
(2)P为椭圆上任意一点，过P且与椭圆相切的直线l与椭圆交于M、N两点，点P关于原点的对称点为Q，求证：的面积为定值．
反思提升：
探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：的上、下顶点分别为，，是椭圆上异于，的一点，直线和的斜率分别为，，则满足的椭圆的方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西鹰潭·二模）双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A．3B．C．D．
3．（23-24高三上·湖北·期末）抛物线的方程为，过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·四川内江·期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（ ）
A．B．3C．D．
二、多选题
5．（22-23高三上·湖北咸宁·阶段练习）过抛物线的焦点F的一条直线交抛物线于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A．为定值
B．若经过点A和抛物线的顶点的直线交准线于点C，则轴
C．存在这样的抛物线和直线AB，使得OA⊥OB（O为坐标原点）
D．若直线AB与x轴垂直，则
6．（22-23高二下·河南·阶段练习）已知椭圆的两个焦点为是椭圆上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．若是左，右端点，则的最大值为
C．若点坐标是，则过的的切线方程是
D．若过原点的直线交于两点，则
7．（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．的面积
C．若，则D．
三、填空题
8．（22-23高二上·全国·期中）若双曲线的左、右顶点分别为，，是上的点（异于，），则直线与的斜率乘积等于 ．
9．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知抛物线，过抛物线焦点的直线与拋物线交于，则 ．
10．（22-23高三下·辽宁本溪·阶段练习）如图，已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，点P是直线上的一点，直线PB交C于另外一点M，记直线PA，AM的斜率分别为，，则 ．
四、解答题
11．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
(1)求椭圆的方程.
(2)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
(3)若为椭圆的上顶点，求的面积.
12．（20-21高三上·西藏日喀则·阶段练习）设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点．
(1)若l的斜率为2，求的值；
(2)求证：为定值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆：经过点，右焦点为，，分别为椭圆的上顶点和下顶点，若过且斜率存在的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率分别为和，则的值为（ ）
A．1B．3C．2D．
二、多选题
2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切
三、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线的方程为，设点在直线上，过的两条直线分别交于A、两点和，两点，且，则直线的斜率与直线的斜率之和为 ．
四、解答题
4．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为．
(1)求的方程；
(2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值；
(3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
【培优篇】
一、单选题
1．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024高二上·江苏·专题练习）（多选）已知椭圆，分别为它的左右焦点，点分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在点，使得B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值D．的范围为
三、填空题
3．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，且.点为双曲线与圆的交点，直线（为坐标原点）交双曲线于另一点，且，则 ，双曲线的离心率的最小值为 .
专题52 定值问题（新高考专用）
目录
【真题自测】2
【考点突破】9
【考点1】长度或距离为定值9
【考点2】斜率或其表达式为定值19
【考点3】几何图形的面积为定值28
【分层检测】39
【基础篇】39
【能力篇】49
【培优篇】56
真题自测
一、解答题
1．（2024·全国·高考真题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
2．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．
3．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
4．（2022·全国·高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．
(1)求C的方程；
(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．
参考答案：
1．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设Fc,0，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设，Ax1,y1，Bx2,y2，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴.
【详解】（1）设Fc,0，由题设有且，故，故，故，
故椭圆方程为.
（2）直线的斜率必定存在，设，Ax1,y1，Bx2,y2，
由可得，
故，故，
又，
而，故直线，故，
所以
，
故，即轴.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
2．(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果；
（2）设直线的方程，进而可求点的坐标，结合韦达定理验证为定值即可.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在，设，
联立方程，消去y得：，
则，解得，
可得，
因为，则直线，
令，解得，即,
同理可得，
则
，
所以线段的中点是定点.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
3．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）结合题意得到，，再结合，解之即可；
（2）依题意求得直线、与的方程，从而求得点的坐标，进而求得，再根据题意求得，得到，由此得解.
【详解】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，

易得，则直线的方程为，
，则直线的方程为，
联立，解得，即，
而，则直线的方程为，
令，则，解得，即，
又，则，，
所以
，
又，即，
显然，与不重合，所以.
4．(1)；
(2).
【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；
（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.
【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，
此时，所以，
所以抛物线C的方程为；
（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式
设，直线，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直线，代入抛物线方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，
若要使最大，则，设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，
，所以，
所以直线.
[方法二]：直线方程点斜式
由题可知，直线MN的斜率存在.
设,直线
由 得：，,同理，.
直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.
代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，设直线，
代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.
[方法三]：三点共线
设，
设,若 P、M、N三点共线，由
所以，化简得，
反之，若,可得MN过定点
因此，由M、N、F三点共线，得，
由M、D、A三点共线，得，
由N、D、B三点共线，得，
则，AB过定点（4,0）
（下同方法一）若要使最大，则，
设，则，
当且仅当即时，等号成立，
所以当最大时，，所以直线.
【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；
法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；
法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．
考点突破
【考点1】长度或距离为定值
一、解答题
1．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在上.
(1)求的方程；
(2)已知为坐标原点，点在直线上，若直线与相切，且，求的值.
2．（24-25高三上·江西·开学考试）已知双曲线其左、右焦点分别为，若，点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，且，若成等比数列，则称该双曲线为“黄金双曲线”，判断双曲线C是否为“黄金双曲线”，并说明理由．
3．（24-25高三上·青海西宁·开学考试）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，分别是椭圆的右顶点和上顶点，不过原点的直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，，为坐标原点.
（ⅰ）求与的面积之比；
（ⅱ）证明：为定值.
4．（24-25高三上·山东德州·开学考试）已知双曲线焦点在轴上，离心率为，且过点，直线与双曲线交于两点，的斜率存在且不为0，直线与双曲线交于两点.
(1)若的中点为，直线的斜率分别为为坐标原点，求；
(2)若直线与直线的交点在直线上，且直线与直线的斜率和为0，证明：.
5．（24-25高三上·安徽·开学考试）已知椭圆的左右顶点分别为是椭圆上异于的动点，满足，当为上顶点时，的面积为8.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点（与不重合），直线分别与直线交于两点，求的值.
6．（24-25高三上·广西·阶段练习）椭圆E：的离心率为，过点的直线l与椭圆E交于M，N两点．当直线l过坐标原点O时，．
(1)求椭圆E的方程．
(2)设A，B分别是椭圆E的右顶点和上顶点，过点M作x轴的平行线分别与直线AB，NB交于C，D两点．试探究D，C，M三点的横坐标是否构成等差数列，并说明理由．
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及的关系式列出方程组，解之即得；
（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由推得，又由，写出直线的方程，与直线联立，求得点坐标，计算，将前式代入化简即得.
【详解】（1）设Fc,0，依题意，
解得
故的方程为.
（2）

如图，依题意F1,0，联立消去，可得，
依题意，需使，整理得（*）.
因为，则直线的斜率为，则其方程为，
联立解得即
故，
将（*）代入得，故.
2．(1)
(2)是，理由见详解
【分析】（1）根据焦距可得，再根据点到其渐近线的距离可得，即可得方程；
（2）设，根据结合韦达定理可得，进而求，结合等比中项分析判断.
【详解】（1）由题意可知：，即，
则，其中一条渐近线为，即，
因为点到其渐近线的距离为，则，
所以双曲线C的标准方程.
（2）双曲线C为“黄金双曲线”，理由如下：
设Px0,y0为双曲线C的上一点，则，即，
可得，
若为双曲线C的上左支一点，则，则，
且，可得；
若为双曲线C的上右支一点，则，则，
且，可得；
由题意可知：，渐近线方程为，
则直线l的斜率存在，，

设，
联立方程，消去y可得，
则，
因为，则，可得，
即，解得，
此时，，
且，
因为，
即，则成等比数列，
所以该双曲线为“黄金双曲线”.
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值．
3．(1)
(2)（ⅰ）1；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）根据离心率及三角形的面积列出方程组求解即可；
（2）设出直线方程，直线与椭圆交点坐标，联立直线方程与椭圆方程，可得出根与系数的关系，（ⅰ）表示出三角形的面积，由根与系数的关系化简可得解，（ⅱ）直接由两点间的距离公式及根与系数的关系化简即可得证.
【详解】（1）根据题意，可得，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）如图所示：
由椭圆方程知，，故，
设直线的方程为，则，，
联立方程，消去，整理得，
，得且，
设，，则，.
（ⅰ），，
，
与的面积之比为1.
（ⅱ）证明：
.
综上，.
4．(1)16
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率和，得到方程组，求出双曲线方程，利用点差法进行求解；
（2）设，设直线的方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式得到，得到，由，所以，从而，证明出结论.
【详解】（1）设双曲线方程为，
则，解得，
所以，
设
因为两点都在双曲线上，
所以，
两式作差得，
整理得
则；

（2）设，设直线的方程为，
联立，
化简得，
，
则，
故，
，
由，所以，
从而
，即.
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
5．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，取椭圆上顶点列式求出即可得解.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，借助韦达定理计算即得.
【详解】（1）不妨设椭圆上顶点，此时，
因为的面积为8，所以，联立解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）依题意，直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为，
由消去并整理得，
设，则，
直线的方程为y=y1x1+4x+4，令，得点的纵坐标，
则，同理得，
所以
.

6．(1)
(2)D，C，M三点的横坐标构成等差数列，证明见解析
【分析】（1）由题意，得直线l的方程，根据直线l与椭圆相交弦长MN，求出的坐标，从而由离心率与的坐标列出等式求出和的值，进而可得椭圆的方程；
（2）设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，将问题转化成求证，按部就班求解即可．
【详解】（1）由于离心率，所以，
当过点的直线l过坐标原点O时，直线斜率为，
则此时直线l的方程为，
设直线l与椭圆E交点，不妨取，则，且①，
因为，所以②，
由①②可得，，
所以可得，解得，
故椭圆E的方程为
（2）D，C，M三点的横坐标构成等差数列，理由如下：
不妨设直线的方程为，,，,，，
因为直线经过点，所以，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
因为，，三点共线，
所以，而，
即，则，
故，，三点的横坐标成等差数列．
反思提升：
探求圆锥曲线中的定线段的长的问题，一般用直接求解法，即先利用弦长公式把要探求的线段表示出来，然后利用题中的条件(如直线与曲线相切等)得到弦长表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入弦长表达式中，化简可得弦长为定值.
【考点2】斜率或其表达式为定值
一、解答题
1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为．过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为16．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记直线AM、BN的斜率分别为，证明：为定值．
2．（24-25高三上·陕西·开学考试）已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值．
3．（24-25高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知椭圆，右焦点为且离心率为，直线，椭圆的左右顶点分别为为上任意一点，且不在轴上，与椭圆的另一个交点为与椭圆C的另一个交点为.

(1)直线和直线的斜率分别记为，求证：为定值；
(2)求证：直线过定点.
4．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为M，N，且经过点.
(1)求C的方程；
(2)动点A在圆上，动点B在双曲线C上，设直线MA，MB的斜率分别为，若N，A，B三点共线，试探索之间的关系．
5．（2024高二上·江苏·专题练习）已知圆C的圆心坐标为，且该圆经过点.
(1)求圆C的标准方程；
(2)直线m交圆C于M，N两点，若直线AM，AN的斜率之和为0，求证：直线m的斜率是定值，并求出该定值.
6．（2024·广东佛山·模拟预测）已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1，两动点在双曲线上，线段的中点为．
(1)证明：直线的斜率为定值；
(2)为坐标原点，若的面积为，求直线的方程．
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定a,b,c的值，得出椭圆的标准方程.
（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程，由韦达定理得到，，再把用，表示出来，化简即可得解.
【详解】（1）由的周长为16，及椭圆的定义，可知：，即，
又离心率为所以
．
所以椭圆C的方程为：．
（2）依题意，直线l与x轴不重合，
设l的方程为：．
联立得：，
因为在椭圆内，所以，
即，易知该不等式恒成立，
设，
由韦达定理得．
又，则

注意到，即：
.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
2．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设双曲线C的半焦距为，利用双曲线的定义结合勾股定理计算即可；
（2）设的坐标，利用中点坐标公式表示Q，再利用点差法计算即可.
【详解】（1）不妨设双曲线C的半焦距为，
，
，
解得，
则，
故双曲线C的标准方程为；
（2）设，则，
为双曲线C上的两点，
两式相减得，整理得，
则，
故为定值，定值为4．
3．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率列式求，即可得椭圆方程，结合斜率公式分析证明；
（2）解法一：设，联立方程可得韦达定理，根据斜率关系列式求得，即可得结果；解法二：设，联立方程求坐标，进而根据直线方程分析定点.
【详解】（1）由题意，可得，
所以椭圆，且
设，则，即，
可得，
所以为定值.
（2）解法一：设，则，
可得，
设直线，，
联立方程，消去x可得，
则，解得，
且，
则，
整理可得，
则，
因为，则，解得，
所以直线过定点
解法二：设，则，
直线，可知与椭圆必相交，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
同理，
直线的斜率存在时，，
则，
令，；
当的斜率不存在时，则，解得；
综上所述：直线过定点
【点睛】方法点睛：1．过定点问题的两大类型及解法
（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程（斜率存在）为由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；
（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
2．求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
4．(1)
(2)
【分析】（1）借助双曲线定义计算即可得；
（2）设，则有，即可得，结合得到，即可得解.
【详解】（1）由题意知，，由双曲线定义得，
所以，所以C的方程为．
（2）设点，则，即，
由，则①，
又②，
因为N，A，B三点共线，所以，由①②得，即．
5．(1)；
(2)证明见解析，.
【分析】（1）根据给定条件，求出圆C的半径即可作答.
（2）设出直线AM，AN的方程，与圆C的方程联立，求出点M，N的坐标，再用斜率坐标公式计算作答.
【详解】（1）依题意，圆C的半径，
所以圆C的标准方程是：.
（2）设直线方程为：，由消去y并整理得：，
则有点，而直线：，同理，
于是得直线的斜率，
所以直线m的斜率是定值，该定值为.
6．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可得的关系，求解即可.
（2）设，求得弦长与原点到直线的距离，由面积可求直线的方程.
【详解】（1）由已知可得，解得，
所以双曲线方程为，
设，
所以，两式相减，可得，
又线段的中点为，所以，，
所以，解得，
所以直线的斜率为定值；
（2）由（1）设直线的方程为，
由，所以，整理可得，
所以，解得或，
所以，，

所以，
又原点到直线的距离为,
所以的面积为，
化简可得，解得，
所以直线的方程．
反思提升：
第一步 求圆锥曲线的方程
第二步 特殊情况分类讨论
第三步 联立直线和圆锥曲线的方程
第四步 应用根与系数的关系用参数表示点的坐标
第五步 根据相关条件计算推证
第六步 明确结论
【考点3】几何图形的面积为定值
一、解答题
1．（2024高二上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，连接BF并延长交椭圆C于点椭圆P．
(1)若，，求椭圆C的方程
(2)若直线AB与直线AP的斜率之比是-2，证明：为定值，并求出定值．
2．（2024·江苏苏州·模拟预测） 已知椭圆 与圆 在第一、第二象限分别交于 Q、P 两点，且满足
(1)求椭圆γ的标准方程；
(2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值.
3．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆：，直线过点且与圆交于点B，C，中点为D，过中点E且平行于的直线交于点P，记P的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)坐标原点O关于，的对称点分别为，，点，关于直线的对称点分别为，，过的直线与交于点M，N，直线，相交于点Q.请从下列结论中，选择一个正确的结论并给予证明.
①的面积是定值；②的面积是定值；③的面积是定值.
4．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A−2,0，两点．
(1)求C的方程；
(2)设P，M，N三点在C的右支上，，，证明：
（ⅰ）存在常数，满足；
（ⅱ）的面积为定值．
5．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆分别为椭圆的左､右顶点，分别为椭圆的左､右焦点，斜率存在的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为.
(1)证明：；
(2)若，求的取值范围.
6．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知椭圆系方程：（，），、是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且．
(1)求的离心率，求出的方程．
(2)P为椭圆上任意一点，过P且与椭圆相切的直线l与椭圆交于M、N两点，点P关于原点的对称点为Q，求证：的面积为定值．
参考答案：
1．(1)
(2)证明见解析，.
【分析】（1）由和在椭圆上求出，即可.
（2）求出直线BF的方程，并与椭圆方程联立求得点坐标，再由给定条件结合面积公式求解即可．
【详解】（1）由，，得：，解得，
又点在椭圆上，则，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）
证明:依题意，令，直线，由，得，
直线AB的斜率，直线AP的斜率，
则，即，有，得，，
于是得点，，，
所以为定值.
2．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆和圆的对称性可得，，再代入椭圆和圆的方程中，解方程组求出和的值即可；
（2）设，，易知四边形是平行四边形，设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，弦长公式以及椭圆的方程，推出，再利用点到直线的距离公式，表示出四边形的面积，然后化简即可得定值．
【详解】（1）由对称性知，，
因为，，所以△是边长为1的等边三角形，
因为位于第一象限，所以,，
代入椭圆的方程有，
代入圆的方程有，
联立解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）证明：设，，则直线的斜率为，且，即，
因为，所以四边形是平行四边形，，
设直线的方程为，,，,，
联立，得，
所以，，
所以，
因为，
所以，
整理得，即，
而点到直线的距离为，
所以四边形的面积，为定值．
3．(1)
(2)结论③正确，证明见解析
【分析】（1）由几何性质知到，两点的距离之和为定值可得的轨迹为椭圆.
（2）设直线：，Mx1,y1，Nx2,y2，表示出直线，的方程并联立求得的横坐标为定值，进而可得的面积是定值.
【详解】（1）
由题意得，，，
因为D为BC中点，所以，即，
又，所以，
又E为的中点，所以，
所以，
所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆（左、右顶点除外），
设：，其中，，
则，，，，
故的方程为：.
（2）
结论③正确，下证：的面积是定值.
由题意得，，，，，且直线的斜率不为0，
可设直线：，Mx1,y1，Nx2,y2，且，，
由，得，
所以，，
所以，
直线的方程为：y=y1x1+2x+2，直线的方程为：，
由，得，
解得，
故点Q在直线上，所以Q到的距离，
因此的面积是定值为.
4．(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）设C的方程为，其中．由C过A，B两点，代入解得，即可.
（2）（ⅰ）设Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2，其中，，．因为，所以直线BM的斜率为，方程为．
联立结合韦达定理得到，．
同理，．再结合向量运算即可解决.
（ⅱ）结合前面结论，运用点到直线距离公式，三角形面积公式可解.
【详解】（1）设C的方程为，其中．
由C过A，B两点，故，，解得，．
因此C的方程为．
（2）（ⅰ）设Px0,y0，Mx1,y1，Nx2,y2，其中，，i＝0，1，2．

因为，所以直线BM的斜率为，方程为．
由，得，
所以，
．
因此．
同理可得直线AN的斜率为，直线AN的方程为．
由，得，
所以，
，
因此
．
则，即存在，满足．
（ⅱ）由（ⅰ），直线MN的方程为，
所以点P到直线MN的距离．
而，
所以的面积为定值．
【点睛】难点点睛：本题属于中难题，考查直线与双曲线．本题第（1）小问设问基础，但需要注意所设方程的形式；第（2）（ⅰ）小问在题干条件翻译上未设置较多障碍，但是对4个坐标分量的求解非常考验学生的代数基本功和计算能力，区分度较大．
5．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设出直线，联立后消去得与有关的韦达定理后结合斜率公式计算即可得；
（2）借助（1）中的结论，将面积用未知数表达后结合换元法，借助函数性质求最最值即可得.
【详解】（1）设的方程为，联立，
消去，得，需满足，
设，则，
易知，
所以，
同理；
（2）因为，则由（1）知，，
即，
由与轴不垂直可得，所以，即，
所以，即，
整理得，
，
整理得，解得或，
因为在轴的两侧，所以，解得，
又时，直线与椭圆有两个不同的交点，因此，直线恒过点，
当时，，
，
设，则，由与轴不垂直得，
且，
因为函数在上为减函数，所以的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
6．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先根据椭圆，，，求得a，b，进而得到椭圆的方程求解；
（2）作伸缩变换，使椭圆变为圆，椭圆变为圆，由题意得到，再由点P关于原点的对称点为Q，求解.
【详解】（1）解：椭圆的方程为，即，
∵，∴，，
∴，即．
又，
∴，，
∴椭圆的方程为．
∴的离心率，
椭圆的方程为．
（2）作伸缩变换，
则椭圆变为圆，椭圆变为圆．
如图所示．
∵直线MN与椭圆相切于点P，则变换后直线与圆相切于点，此时．
而，，则，
从而，
故，于是．
又点P关于原点的对称点为Q，则，
即的面积为定值．
【点睛】方法点睛：本题第二问通过作伸缩变换，将椭圆问题转化为圆的问题，易得，再利用对称性，由而得解.
反思提升：
探求圆锥曲线中几何图形的面积的定值问题，一般用直接求解法，即可先利用三角形面积公式(如果是其他凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解)把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：的上、下顶点分别为，，是椭圆上异于，的一点，直线和的斜率分别为，，则满足的椭圆的方程是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·江西鹰潭·二模）双曲线：的左，右顶点分别为，曲线上的一点关于轴的对称点为，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A．3B．C．D．
3．（23-24高三上·湖北·期末）抛物线的方程为，过点的直线交于两点，记直线的斜率分别为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·四川内江·期末）椭圆的焦点为、，点在椭圆上且轴，则到直线的距离为（ ）
A．B．3C．D．
二、多选题
5．（22-23高三上·湖北咸宁·阶段练习）过抛物线的焦点F的一条直线交抛物线于，两点，则下列结论正确的是（ ）
A．为定值
B．若经过点A和抛物线的顶点的直线交准线于点C，则轴
C．存在这样的抛物线和直线AB，使得OA⊥OB（O为坐标原点）
D．若直线AB与x轴垂直，则
6．（22-23高二下·河南·阶段练习）已知椭圆的两个焦点为是椭圆上的动点，且的面积最大值是，则下列结论中正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．若是左，右端点，则的最大值为
C．若点坐标是，则过的的切线方程是
D．若过原点的直线交于两点，则
7．（22-23高二上·江苏泰州·期中）已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，设是，的一个交点，与的离心率分别是，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．的面积
C．若，则D．
三、填空题
8．（22-23高二上·全国·期中）若双曲线的左、右顶点分别为，，是上的点（异于，），则直线与的斜率乘积等于 ．
9．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知抛物线，过抛物线焦点的直线与拋物线交于，则 ．
10．（22-23高三下·辽宁本溪·阶段练习）如图，已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，点P是直线上的一点，直线PB交C于另外一点M，记直线PA，AM的斜率分别为，，则 ．
四、解答题
11．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
(1)求椭圆的方程.
(2)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
(3)若为椭圆的上顶点，求的面积.
12．（20-21高三上·西藏日喀则·阶段练习）设抛物线，F为C的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点．
(1)若l的斜率为2，求的值；
(2)求证：为定值．
参考答案：
1．C
【分析】利用点在椭圆上及两点斜率公式转化计算得，再判定选项即可.
【详解】由题意可知，．设（），则，
所以，所以，
所以．结合选项可得椭圆的方程可以为．
故选:C．
2．B
【分析】依题求出点坐标，设出点，得，写出，利用点在双曲线上，化简的表达式，计算即得.
【详解】
如图，,不妨设，则，
依题意，，因点在双曲线上，故有，
于是，.
故选：B.
3．C
【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用斜率坐标公式结合韦达定理计算即得.
【详解】显然直线的斜率存在，设其方程为，，
由消去y并整理得，则，
所以.
故选：C
4．A
【分析】先求出、的坐标，再由轴，可求出，再由勾股定理可求出，然后利用等面积法可求得结果.
【详解】由，得，
所以，
所以，，
当时，，解得，
因为轴，所以，
所以，
设到直线的距离为，
因为，所以，
解得，
故选：A
5．ABD
【分析】由已知可得AB的斜率不等于0，所以设直线方程为，代入抛物线方程，运用韦达定理，可判断A；求得直线OA方程和准线方程联立，求得交点C，可判断B；若，即，运用韦达定理和点满足抛物线方程，解方程即可判断C；当AB与x轴垂直时，，可求得，可判断D．
【详解】
由已知可得AB的斜率不等于0，
所以设AB的方程为，
联立直线与抛物线的方程，消去x得，
所以为定值，即A正确，
经过点A和抛物线的顶点的直线的方程为，与准线的交点的坐标，
因为，
所以，即轴，所以B正确，
因为，
所以不可能，即C错误，
当AB与x轴垂直时，，
则由抛物线定义得，所以D正确，
故选:ABD．
6．BD
【分析】利用已知解出得到椭圆方程，由离心率的公式计算结果验证选项A；利用椭圆定义计算验证选项B；通过联立方程组求切线方程验证选项C；运用点差法验证选项D.
【详解】的面积最大值是，则，椭圆方程.
，椭圆离心率，A选项错误；
若是椭圆的左，右端点，则，以为焦点作新椭圆， P为两个椭圆的交点，当新椭圆短轴最长时最大，所以当P为椭圆的上顶点或下顶点时，有最大值为，B选项正确；
点在椭圆上，过点的的切线斜率显然存在，设切线方程为，
代入椭圆方程消去y得，
由，解得，
则切线方程为，即，故C选项错误；
设，都在椭圆上，有和，
两式相减得，，，
，D选项正确.
故选:BD.
7．ABD
【分析】根据焦点三角形与椭圆双曲线的联系，结合余弦定理，面积公式即可求解.
【详解】设，，又∵，
即，
又∵，，令，
∴，，
∴，故A正确；
，，
，故B正确；
当时，，得，
∴，故C不正确．
设，证明椭圆的焦点三角形面积为，
记，，
在中，由余弦定理有：，
∴，
又由椭圆定义有：，
∴；∴，
又∵，
∴
，
设，证明双曲线的焦点三角形面积为，
记，，
在中，由余弦定理有：，
∴，
又由双曲线定义有：，
∴；∴，
又∵，
∴
，
由，故D正确．
故选:ABD．
8．/
【分析】利用点在双曲线上化简斜率乘积的表达式可求解.
【详解】由题意得，，，
不妨设,则．
故答案为：
9．4
【分析】设出过点的直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即得.
【详解】抛物线的焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为，
由消去x并整理得，显然，
所以.
故答案为：4
10．
【分析】设，由斜率公式可得，设，则有，由，可得.
【详解】，，设，
则，直线PB的斜率．
设，则有，
由，，所以，
所以，故．
故答案为：
11．(1)
(2)证明见解析
(3)6
【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可.
（2）设，直线的方程为，与椭圆联立得到，再利用根系关系求证为定值即可.
（3）根据弦长公式得到或，利用点到直线的距离公式得到，即可得到答案.
【详解】（1）由题意得解得.
故椭圆的方程为.
（2）设，直线的方程为.
由得，
由,得,
则.
因为直线PM,PN均不与轴垂直.,所以，则且,
所以
为定值.
（3）由（2）易得，
解得或.
当时,直线经过点，不符合题意，舍去.
则时，此时直线的方程为.
点到直线的距离,
故的面积.
12．(1)5
(2)证明见解析
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，利用焦点弦长公式，即可求解；
（2）首先设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，并利用韦达定理表示，即可求解.
【详解】（1）过点F1,0，且直线的斜率为2的直线为，
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，得，，
；
（2）设过点F1,0的直线，

联立，得，，
则，
.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆：经过点，右焦点为，，分别为椭圆的上顶点和下顶点，若过且斜率存在的直线与椭圆交于两点，直线与直线的斜率分别为和，则的值为（ ）
A．1B．3C．2D．
二、多选题
2．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于两点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的方程为：
B．抛物线的准线方程为：
C．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D．当直线过焦点时，以为直径的圆与准线相切
三、填空题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知曲线的方程为，设点在直线上，过的两条直线分别交于A、两点和，两点，且，则直线的斜率与直线的斜率之和为 ．
四、解答题
4．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为．
(1)求的方程；
(2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值；
(3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案：
1．B
【分析】由已知可得关于，，的方程组，从而可得，的值，从而可得椭圆的方程；设直线，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，利用两点的斜率公式表示出和，作比，结合根与系数的关系即可求解．
【详解】由题意可知，，，
椭圆的标准方程为．
设直线：，联立直线和椭圆方程，
，得
，记，，
则，
由题意知和．则，，
则，
所以．
故选：B
2．ACD
【分析】对于A,B,根据抛物线的定义即可求解p,进而知道抛物线方程和准线方程；对于C,D，由抛物线的性质易知该结论正确.证明过程见详解.
【详解】对于A，如图所示，过点作准线的垂线，垂足为，

则由抛物线的定义可知:,
解得 .
抛物线的方程为:,故正确;
对于，抛物线的准线方程为，故错误；
对于 ,如图所示，取的中点C,过点C作x轴的垂线，垂足为D,

易知抛物线的焦点，设，则,,
所以,
所以以为直径的圆与轴相切，故C正确；
对于, 当直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点时，直线的斜率存在，
假设,设,AB的中点为,则 ，
如图所示，作垂直于准线于点，则,

联立，消去并整理可得，
所以，
所以所以,
,
,
,
以 AB 为直经的圆与准线相切，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：如图所示，

已知抛物线,过其焦点且与抛物线交于两点的直线，则有如下常用结论：
（1）
（2）若直线AB的倾斜角为，则;
（3）以为直径的圆都与轴相切，以为直径的圆与准线相切；
（4）;
3．0
【分析】先设出直线的方程，再分别将直线的方程与双曲线方程联立，利用设而不求的方法去表达，解之即可求得直线的斜率与直线的斜率之和.
【详解】如图所示，设，
设直线的方程为．
联立，
化简得．
则．
故．
则
设的方程为，
同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．因为，
所以．
故答案为：0
4．(1)
(2)2
(3)
【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解，
（2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得，即可由二次函数的性质求解，
（3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得，将其代入双曲线方程即可求解.
【详解】（1）根据到直线与直线的距离之积等于，可得，化简得，
由于，故，即.
（2）设，，
故当时，最小值为2
（3）联立与可得，
设，
则，
故
设存在点C满足，则，
故，
由于在，故，
化简得，即，解得或（舍去），
由于，解得且，
故符合题意，由于，故，
故,故，
故存在，使得
【培优篇】
一、单选题
1．（24-25高三上·江西九江·开学考试）已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1，过点的直线与交于两点，过点作的切线与轴分别交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024高二上·江苏·专题练习）（多选）已知椭圆，分别为它的左右焦点，点分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ）
A．存在点，使得B．直线与直线斜率乘积为定值
C．有最小值D．的范围为
三、填空题
3．（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，且.点为双曲线与圆的交点，直线（为坐标原点）交双曲线于另一点，且，则 ，双曲线的离心率的最小值为 .
参考答案：
1．C
【分析】通过联立方程组的方法求得的坐标，然后根据向量数量积运算求得.
【详解】依题意，抛物线，即，则，设，
直线，联立得，则.
而直线，即，
令，则，即，令，则，故，
则，故.
故选：C

【点睛】求解抛物线的切线方程，可以联立切线的方程和抛物线的方程，然后利用判别式来求解，也可以利用导数来进行求解.求解抛物线与直线有关问题，可以利用联立方程组的方法来求得公共点的坐标.
2．BCD
【分析】根据椭圆的几何性质，结合正切函数的性质，可得判定A错误；设Px,y，根据椭圆的方程，以及斜率公式化简运算，可判定B正确；根据椭圆的定义，结合基本不等式，可判定C正确；设直线与椭圆相交于，结合椭圆的定义和三角形的性质，可得判定D正确.
【详解】对于A中，由椭圆，可得，
且，可得，所以，所以A错误；
对于B中，设Px,y，则，且，可得，
则为定值，所以B正确.
对于C中，由椭圆的定义，可得，
则
，
当且仅当时，即时等号成立，所以C正确.
对于D中，由点Q在椭圆外，设直线与椭圆相交于，
如图所示，则，
因为，且，
可得，即，
所以，
所以，所以D正确.
故选：BCD.

3． 3
【分析】根据换元法设点结合圆的方程化简得出比值，焦点三角形应用余弦定理结合三角函数值域得出最小值即可.
【详解】由题意知M在双曲线右支上，，
设，设点，则，
即，
则，
即，
又，
所以，所以，所以.
点在双曲线C右支上，所以，所以.
由对称性可得为的中点，
在中，，
即，
又在中，，
所以，
由于，故，
故，
所以双曲线的离心率的最小值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：根据换元法设点结合圆的方程化简得出比值，焦点三角形应用余弦定理结合三角函数值域得出最小值即可
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题号
1
2
3
4
5
6
7



答案
C
B
C
A
ABD
BD
ABD



题号
1
2








答案
B
ACD








题号
1
2








答案
C
BCD