第64讲 求概率统计的综合问题（讲） 2021-2022年新高考数学一轮复习考点归纳 （学生版+教师版）

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第64讲 求概率统计的综合问题

思维导图


题型归纳
题型1 概率模块内知识交汇命题
【例1-1】高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3＋3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S，从学生群体S中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：
选考物理、化学、生物的科目数
1
2
3
人数
5
25
20

(1)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；
(2)从所调查的50名学生中任选2名，记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望；
(3)将频率视为概率，现从学生群体S中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y，求事件“Y≥2”的概率．
【解】　(1)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A，
则P(A)＝＝，
所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为
1－P(A)＝.
(2)由题意可知X的可能取值分别为0,1,2.
由(1)知，P(X＝0)＝，又P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，从而X的分布列为
X
0
1
2
P




E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名，相应的频率为p＝＝，由题意知，Y～B，
所以事件“Y≥2”的概率为P(Y≥2)＝C22＋C3＋C4＝.
【跟踪训练1-1】2016年微信用户数量统计显示，微信注册用户数量已经突破9.27亿．微信用户平均年龄只有26岁，97.7%的用户在50岁以下，86.2%的用户在18～36岁之间．为调查大学生这个微信用户群体中每人拥有微信群的数量，现在从北京大学生中随机抽取100位同学进行了抽样调查，结果如下：
微信群数量
频数
频率
0至5个
0
0
6至10个
30
0.3
11至15个
30
0.3
16至20个
a
c
20个以上
5
b
总计
100
1

(1)求a，b，c的值；
(2)若从100位同学中随机抽取2人，求这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率；
(3)以这100个人的样本数据估计北京市的总体数据且以频率估计概率，若从全市大学生中随机抽取3人，记X表示抽到的是微信群个数超过15个的人数，求X的分布列和数学期望E(X)．
【解】(1)由已知得0＋30＋30＋a＋5＝100，解得a＝35，
b＝＝0.05，c＝＝0.35.
(2)记“这2 人中恰有1人微信群个数超过15个”为事件A，则P(A)＝＝，
所以这2人中恰有1人微信群个数超过15个的概率为.
(3)依题意可知，微信群个数超过15个的概率为P＝.
X的所有可能取值为0,1,2,3.
则P(X＝0)＝3＝，
P(X＝1)＝C12＝，
P(X＝2)＝C21＝，
P(X＝3)＝3＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P





数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
【跟踪训练1-2】为了预防某种流感扩散，某校医务室采取积极的处理方式，对感染者进行短暂隔离直到康复．假设某班级已知6位同学中有1位同学被感染，需要通过化验血液来确定被感染的同学，血液化验结果呈阳性即被感染，呈阴性即未被感染．下面是两种化验方案．
方案甲：逐个化验，直到能确定被感染的同学为止．
方案乙：先任取3个同学，将他们的血液混在一起化验，若结果呈阳性则表明被感染同学为这3位中的1位，后再逐个化验，直到能确定被感染的同学为止；若结果呈阴性，则在另外3位同学中逐个检测．
(1)求方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数的概率；
(2)η表示方案甲所需化验次数，ξ表示方案乙所需化验次数，假设每次化验的费用都相同，请从经济角度考虑哪种化验的方案最佳．
【解】设Ai(i＝1,2,3,4,5)表示方案甲所需化验次数为i次；Bj(j＝2,3)表示方案乙所需化验的次数为j次，方案甲与方案乙相互独立．
(1)P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，P(A5)＝，
P(B2)＝＋＝，P(B3)＝1－P(B2)＝，
用事件D表示方案甲所需化验次数等于方案乙所需化验次数，
则P(D)＝P(A2B2＋A3B3)＝P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B3)＝×＋×＝.
(2)η的可能取值为1,2,3,4,5.ξ的可能取值为2,3.
由(1)知P(η＝1)＝P(η＝2)＝P(η＝3)＝P(η＝4)＝，P(η＝5)＝，
所以E(η)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝，
P(ξ＝2)＝P(B2)＝，P(ξ＝3)＝P(B3)＝，
所以E(ξ)＝2×＋3×＝.
因为E(ξ) 【名师指导】
高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．

题型2 概率与统计、统计案例的交汇命题
【例2-1】(2019·湘东六校联考)市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天锻炼的时间进行了调查，数据如下表：

平均每天锻炼的时间(分钟)
[0,10)
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60]
总人数
20
36
44
50
40
10

将学生日均课外体育锻炼时间在[40,60]内的学生评价为“课外体育达标”．
(1)请根据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；

课外体育不达标
课外体育达标
总计
男



女

20
110
总计




(2)从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(3)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中抽取4名学生，求其中恰好有2名学生课外体育达标的概率．
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【解】　(1)

课外体育不达标
课外体育达标
总计
男
60
30
90
女
90
20
110
总计
150
50
200

K2＝＝≈6.061＜6.635，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．
(2)易知，所抽取的10名学生中，男生为10×＝4名，女生为10×＝6名．X可取0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P





E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)设所抽取的4名学生中，课外体育达标的人数为ξ，(1)中表中学生课外体育达标的频率为＝，将频率视为概率，
∴ξ～B，∴P(ξ＝2)＝C×2×2＝.
∴4名学生中，恰好有2名学生的课外体育达标的概率为.
【跟踪训练2-1】(2019·石家庄市质量检测)某公司为了提高利润，从2012年到2018年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额x(单位：万元)与年利润增长量y(单位：万元)的数据如表：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
投资金额x/万元
4.5
5.0
5.5
6.0
6.5
7.0
7.5
年利润增长量y/万元
6.0
7.0
7.4
8.1
8.9
9.6
11.1

(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程．如果2019年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长量为多少？(结果保留两位小数)
(2)现从2012年到2018年这7年中抽出3年进行调查，记λ＝年利润增长量－投资金额，设这3年中λ≥2万元的年份数为ξ，求随机变量ξ的分布列与期望．
参考公式：＝＝，＝－.
参考数据：iyi＝359.6，＝259.
【解】(1)＝6，＝8.3,7 ＝348.6，
＝＝＝≈1.571，
＝－＝8.3－1.571×6＝－1.126≈－1.13，
所以回归直线方程为＝1.57x－1.13.
将x＝8代入方程得＝1.57×8－1.13＝11.43，
即该公司在该年的年利润增长量大约为11.43万元．
(2)由题意可知，
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
λ/万元
1.5
2
1.9
2.1
2.4
2.6
3.6

ξ的可能取值为1,2,3，P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝.
则ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P



E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
【跟踪训练2-2】(2019·蓉城名校第一次联考)成都市现在已是拥有1 400多万人口的城市，机动车保有量已达450多万辆，成年人中约40%拥有机动车驾驶证．为了解本市成年人的交通安全意识情况，某中学的同学利用国庆假期进行了一次全市成年人安全知识抽样调查．先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了200名成年人，然后对这200人进行问卷调查．这200人所得的分数都分布在[30,100]范围内，规定分数在80以上(含80)的为“具有很强安全意识”，所得分数的频率分布直方图如图所示．


拥有驾驶证
没有驾驶证
总计
具有很强安全意识



不具有很强安全意识
58


总计


200

(1)补全上面的2×2列联表，并判断能否有超过95%的把握认为“‘具有很强安全意识’与拥有驾驶证”有关？
(2)将上述调查所得的频率视为概率，现从全市成年人中随机抽取4人，记“具有很强安全意识”的人数为X，求X的分布列及数学期望．
附表及公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【解】(1)200人中拥有驾驶证的占40%，有80人，没有驾驶证的有120人；具有很强安全意识的占20%，有40人，不具有很强安全意识的有160人．
补全的2×2列联表如表所示：

拥有驾驶证
没有驾驶证
总计
具有很强安全意识
22
18
40
不具有很强安全意识
58
102
160
总计
80
120
200

K2＝＝＝4.687 5>3.841，
所以有超过95%的把握认为“‘具有很强安全意识’与拥有驾驶证”有关．
(2)由频率分布直方图中数据可知，抽到的每个成年人“具有很强安全意识”的概率为，
所以X＝0,1,2,3,4，且X～B.
P(X＝k)＝C·k·4－k(k＝0,1,2,3,4)，
X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P






所以E(X)＝4×＝.
【名师指导】
概率与统计、统计案例交汇问题的考查离不开图表(频率分布直方图、茎叶图、折线图、频数分布表等)，解决此类问题重在审图表、明数据，能从所给图表中正确提取解题所需要的信息是解决问题的关键，然后根据信息一步步实现图表数据与数学符号语言的转化，建立数学模型解决问题．

题型3 概率与函数、数列等综合问题
【例3-1】为响应绿色出行，某市在推出共享单车后，又推出新能源分时租赁汽车．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过40分钟时按0.12元/分计费，超过40分钟时，超出部分按0.20元/分计费．已知张先生家离上班地点15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(单位：分)是一个随机变量．现统计了张先生50次路上开车花费的时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示.
时间t/分
(20,30]
(30,40]
(40,50]
(50,60]
频数
2
18
20
10
　　将频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间．
(1)写出张先生一次租车费用y(单位：元)与用车时间t(单位：分)的函数关系式；
(2)若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望；
(3)若公司每月给1 000元的交通补助，请估计张先生每月(按22天计算)的交通补助是否足够让张先生上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由．(同一时段的时间用该区间的中点值代表)
【解】　(1)当20 当40 所以y＝
(2)张先生租用一次新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的概率P＝＝，
法一：ξ可取0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝C03＝，P(ξ＝1)＝C1·2＝，
P(ξ＝2)＝C21＝，P(ξ＝3)＝C3·0＝，
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P





E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2.
法二：易知ξ～B，
所以E(ξ)＝3×＝1.2.
(3)张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车．理由如下．
法一：张先生租用一次新能源分时租赁汽车的平均用车时间t＝25×＋35×＋45×＋55×＝42.6(分钟)，
每次租用新能源分时租赁汽车的平均费用为0.2×42.6＋11.8＝20.32(元)，
张先生一个月上、下班租车费用约为20.32×22×2＝894.08(元)，因为894.08<1 000，
故张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车．
法二：张先生租用一次新能源分时租赁汽车的平均租车费用为(15＋0.12×25)×＋(15＋0.12×35)×＋(11.8＋0.2×45)×＋(11.8＋0.2×55)×＝20.512(元)，
张先生一个月上、下班租车费用约为20.512×22×2＝902.528(元)，
因为902.528<1 000，
故张先生每月的交通补助足够让他上、下班租用新能源分时租赁汽车．
【例3-2】(2019·全国卷Ⅰ)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
【解】　(1)X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列为
X
－1
0
1
P
(1－α)β
αβ＋(1－α)(1－β)
α(1－β)
(2)①证明：由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1，
因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，
故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，
即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1)．
又因为p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列．
②由①可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝p1.
由于p8＝1，故p1＝，
所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)
＝p1＝.
p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．
【跟踪训练3-1】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立．
(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：
年入流量X
40 80≤X≤120
X>120
发电机最多可运行台数
1
2
3

若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
【解】(1)依题意，得p1＝P(40 p2＝P(80≤X≤120)＝＝0.7，
p3＝P(X>120)＝＝0.1.
由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为
P＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3
＝(0.9)4＋4×(0.9)3×0.1＝0.947 7.
(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．
①安装1台发电机的情形．
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000(万元)．
②安装2台发电机的情形．
依题意，当40 Y
4 200
10 000
P
0.2
0.8

所以E(Y)＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840(万元)．
③安装3台发电机的情形．
依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1，由此得Y的分布列如下：
Y
3 400
9 200
15 000
P
0.2
0.7
0.1

所以E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620(万元)．
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．
【跟踪训练3-2】如图是某小区2017年1月至2018年1月当月在售二手房均价(单位：万元/米2)的散点图．(图中月份代码1～13分别对应2017年1月～2018年1月)

根据散点图选择＝＋和＝＋ln x两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程分别为＝0.936 9＋0.028 5和＝0.955 4＋0.030 6ln x，并得到一些统计量的值如下表所示.

＝0.936 9＋0.028 5
＝0.955 4＋0.030 6ln x
(yi－i)2
0.000 591
0.000 164
(yi－)2
0.006 050

(1)请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好．
(2)某位购房者拟于2018年6月份购买这个小区m(70≤m≤160)平方米的二手房(此房为其家庭首套房)．若购房时该小区所有住房的房产证均已满2年但未满5年．请你利用(1)中拟合效果更好的模型解决以下问题．
①估算该购房者应支付的购房金额；(购房金额＝房款＋税费，房屋均价精确到0.001万元/米2)
②若该购房者拟用不超过100万元的资金购买该小区一套二手房，试估算其可购买的最大面积．(精确到1平方米)
注：根据有关规定，二手房交易需要缴纳若干项税费，税费是按房屋的计税价格进行征收的．(计税价格＝房款)
征收方式见下表.
契税(买方缴纳)
首套面积在90平方米以下(含90平方米)的税率为1%；首套面积在90平方米以上且在144平方米以下(含144平方米)的税率为1.5%；首套面积在144平方米以上或非首套的税率为3%.
增值税(卖方缴纳)
房产证未满2年或满2年且面积在144平方米以上(不含144平方米)的税率为5.6%；其他情况免征．

个人所得税(卖方缴纳)
首套面积在144平方米以下(含144平方米)的税率为1%；首套面积在144平方米以上或非首套的税率均为1.5%；房产证满5年且是家庭唯一住房的免征.

参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 17≈2.83，ln 19≈2.94，≈1.41，≈1.73，≈4.12，≈4.36.
参考公式：相关指数R2＝1－.
【解】(1)设模型＝0.936 9＋0.028 5和＝0.955 4＋0.030 6ln x的相关指数分别为R和R，则R＝1－，R＝1－，
因为0.000 591>0.000 164，所以R 所以模型＝0.955 4＋0.030 6ln x的拟合效果更好．
(2)由(1)知，模型＝0.955 4＋0.030 6ln x的拟合效果更好，利用该模型预测可得，这个小区2018年6月份的在售二手房均价为
＝0.955 4＋0.030 6ln 18＝0.955 4＋0.030 6(ln 2＋2ln 3)≈1.044(万元/米2)．
①设该购房者应支付的购房金额为h万元，因为税费中买方只需缴纳契税，所以
(ⅰ)当70≤m≤90时，契税为计税价格的1%，
故h＝m×1.044×(1%＋1)＝1.054 44m；
(ⅱ)当90 故h＝m×1.044×(1.5%＋1)＝1.059 66m；
(ⅲ)当144 故h＝
所以，当70≤m≤90时，购房金额为1.054 44m万元；
当90 当144 ②设该购房者可购买该小区二手房的面积为t平方米，
由①知，当70≤t≤90时，应支付的购房金额为1.054 44t万元，
又1.054 44t≤1.054 44×90<100，且房屋均价约为1.044万元/米2，所以欲使购房面积最大，应有90 由1.059 66t≤100，解得t≤，
因为≈94.4，所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为94平方米．