安徽省亳州市蒙城县2023-2024学年高一上学期期末联考数学试题（Word版附解析）

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考生注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用列举法表示出集合A，再利用元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即得.
【详解】依题意，，所以，，B错误，D正确；
显然，，AC错误.
故选：D
2. （ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数运算、指数式与对数式的互化及换底公式计算即得.
【详解】因，所以.
故选：B
3. 中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，下列选项中是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】利用同一函数的定义，逐项分析判断即得.
【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，A不是；
对于B，函数的定义域为，函数的定义域
为或，两个函数定义域不同，B不是；
对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，且，
两个函数定义域相同，对应法则也相同，C是；
对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数定义域不同，D不是.
故选：C
4. 2023年某城市美食节期间，依据小王与小张2023年12月1日至12月7日每日外卖的单数（单位：单）数据，整理并绘制的折线图（如图），小王与小张两组数据的平均数分别为，标准差分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据统计图数据判断小王与小张两人的平均值和波动程度的大小可得．
【详解】由统计图知，小王同学的总体成绩要好于小张同学的成绩，
且小张同学的成绩波动较大，小王同学成绩较稳定，
所以.
故选：C．
5. 已知“，”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，分离参数，借助二次函数求出最小值即得.
【详解】“，”为真命题，则“，”为真命题，
而，当且仅当时取等号，则，
所以实数a的取值范围为.
故选：A
6. 我国古代数学名若（九章算术）中有如下问题“今有北乡八千七百五十八，西乡七千二百三十六，南乡八千三百五十六．凡三乡，发役北乡一百三十六人，欲以算数多少出之，何各几何？“意思是：北乡有8758人，西乡有7236人，南乡有8356人．现要按人数多少从北乡征集136人，问从各乡征集多少人？在上述问题中．需从南乡征集的人数为（ ）
A. 128人B. 130人C. 132人D. 134人
【答案】B
【解析】
【分析】利用分层抽样公式，即可求解.
【详解】设从南乡征集人，则，解得：人.
故选：B
7. 函数在上的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定函数的奇偶性，结合即可判断得解.
【详解】依题意，，因此函数是偶函数，其图象关于y轴对称，排除AB；
又，选项C不满足，D符合题意.
故选：D
8. 定义在上的偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性和单调性分两种情况，解不等式，求出答案.
【详解】因为定义在上的偶函数在上单调递减，且，
所以在上单调递增，且，
所以当或时，；当时，，
因，所以或，
所以或，解得或，
则不等式的解集是．
故选：A．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式性质判断A；举例说明判断BCD.
【详解】由及在R上单调递增，可得，A正确；
取，满足，而，B错误；
由，知是否是非负数不确定，当时，不等式无意义，C错误；
取，满足，而，D错误.
故选：BCD
10. 已知集合，，则（ ）
A. 集合
B.
C. 集合可能是
D. 可能是B的子集
【答案】ABD
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，由已知结合集合运算逐项判断即得.
【详解】集合，，则，，AB正确；
显然，即，而是的真子集，C错误；
由于，，因此可能是B的子集，D正确.
故选：ABD
11. 中国四大名楼是一种泛称，特指山西永济鹳雀楼、江西南昌滕王阁、湖北武汉黄鹤楼、湖南岳阳岳阳楼．记事件“只去黄鹤楼”，事件“至少去两个名楼”，事件“只去一个名楼”，事件“一个名楼也不去”，事件“至多去一个名楼”，则下列命题正确的是（ ）
A. E与H是互斥事件B. F与I是互斥事件，且是对立事件
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据互斥事件、对立事件定义和事件间的运算即可得出答案.
【详解】对于A，事件E，H不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；
对于B，事件F与I不可能同时发生，且发生的概率之和为1，是互斥事件，且为对立事件，故B正确；
事件“至多去一个名楼”刚好包含事件“只去一个名楼”与事件“一个名楼也不去”，所以，，故C正确，D错误
故选：ABC．
12. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若函数在上单调递减，则且
B. 若函数有2个零点，则且
C. 若函数有1个零点，则且
D. 若函数在的最大值为1，则且
【答案】AB
【解析】
【分析】分类探讨分段函数的性质，再结合分段函数单调性、零点及最大值逐项分析判断即得.
【详解】当时，，当时，单调递增，函数值集合为，
当时，，当时，单调递减，函数值集合为；
当时，，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
对于A，由函数在上单调递减，得，解得且，A正确；
对于B，当时，，函数在上最多一个零点，
由函数有2个零点，得函数在上有一个零点，在上有一个零点，
因此且，B正确；
对于C，当时，在上无零点，当时，在上有一个零点，
则当且时，函数也只有1个零点，C错误；
对于D，由于函数在的最大值为1，则在上不能单调递减，即，且，
当时，在上单调递增，，不符合题意，
当时，若，即，则在上单调递减，，
此时在的最大值为1，因此，
若，即，则在上单调递减，在上单调递增，
必有，解得，则，
此时在的最大值为1，因此，
综上所述，函数在的最大值为1，则且，D错误.
故选：AB
【点睛】方法点睛：对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出解析式.
【详解】设幂函数为，将点代入得，解得.
所以．
故答案为：
14. 若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为_________．
【答案】
【解析】
【分析】判断函数单调性再结合零点存在定理求解.
【详解】因为在上均为增函数，
所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，
故若在区间上存在零点，则
解得．
故常数a的取值范围为．
故答案为：
15. 已知函数，若，，且，则的最小值为______.
【答案】36
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数的奇偶性及单调性，由此求出的关系式，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】函数中，，，则函数的定义域为，
而，则函数奇函数，
显然函数在上都单调递减，则函数在上单调递减，
而函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
于是函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，，
由，得，则，即，
于是，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为36.
故答案为：36
16. “秋风起．月渐圆，桂树落叶，兔儿下凡间”．中秋节是中国传统节日，为了让更多的小朋友参与到中秋节的欢乐氛围中来，秦皇岛市青少年宫特别推出了“团圆中秋喜迎国庆”——中秋猜灯谜活动，欢迎小朋友们前来，感受传统文化的熏陶，品味传统习俗的趣味．现有甲，乙两位小朋友组成“快乐宝贝队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲，乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮精对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】分甲两轮猜对个，个，个和乙两轮猜对个，个，个，结合独立事件乘法和互斥加法求解.
【详解】设分别表示甲两轮猜对个，个，个灯谜的事件，分别表示乙两轮猜对个，个，个灯谜的事件．根据独立事件的性质，可得
，
，
设“两轮活动‘快乐宝贝队’猜对2个灯谜”，则，且互斥，与，与，与分别相互独立，所以
，因此，“快乐宝贝队”在两轮活动中猜对2个灯谜的概率是．
故答案为：
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用指数运算法则、对数换底公式计算即得.
（2）利用对数运算法则、对数换底公式计算即得.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 现用分层抽样的方法从某中学的学生中抽取100名学生参加知识竞赛，对其成绩进行统计分析．得到如下图所示的频率分布直方图．
（1）估计该校学生知识竞赛成绩的第60百分位数（精确到0.1）；估计该校学生知识竞赛成绩的众数、平均数；
（2）从样本中成绩是90分以上（包括90分）的学生中选一人，求选到前3名学生的概率（前3名分数各不同）
【答案】（1）估计第60百分位数为76.7，众数估计值为75，平均数估计值为71
（2）
【解析】
【分析】（1）利用百分位，平均数及众数的概念直接求解；
（2）利用古典概型求解.
【小问1详解】
得分在70以下的学生所在比例为，
得分在80以下的学生所占比例为，
所以第60百分位数位于内，
由，估计第百分位数为，
由图可，得众数位于之间，则估计值为，
平均数估计值为．
【小问2详解】
样本中成绩是以上（包括）的学生共，
则选到前3名学生的概率．
19. 已知函数的定义域为，，，总有成立.若时，.
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）若，求解关于x的不等式的解集.
【答案】（1）在上单调递减，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用单调性的定义结合已知即可证明；
（2）利用赋值法求出，根据已知结合函数的单调性，将不等式化得到关于的不等式组，解之即可得解.
【小问1详解】
在上单调递减，证明如下：
因为，，总有成立，当时，，
，且，则，
则，即，
所以在上单调递减.
【小问2详解】
因为因为，，总有成立，
所以，则，
因为，所以，
所以不等式可化为，
所以，解得.
所以不等式的解集为.
20. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求a，b的值；
（2）已知当时，恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知结合三个二次之间的关系，列出关于的方程组，解之即可得解；
（2）利用换元法将问题转化为在上恒成立，再利用对勾函数的性质求得，从而得解.
【小问1详解】
因为，且的解集为，
所以和2是方程的两个不等实根，且，
由韦达定理可得，解得，
故，.
【小问2详解】
因为，所以，
则可化为，
整理可得，
令，，所以，
则上式可化为在上恒成立，
即在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
而当时，；当时，；
所以，故，所以，
所以实数a的取值范围为.
21. 拉鲁湿地国家级自然保护区位于西藏自治区首府拉萨市西北角，是国内最大的城市湿地自然保护区，也是世界上海拔最高、面积最大的城市天然湿地．其中央有一座凉亭，凉亭的俯瞰图的平面图是如图所示的正方形结构，其中EFIJ和GHKL为两个相同的矩形，俯瞰图白色部分面积为20平方米．现计划对下图平面正方形染色，在四个角区域（即图中阴影部分）用特等颜料，造价为200元/平方米，中间部分即正方形MNPQ区域使用一等颜料，造价为150元/平方米，在四个相同的矩形区域即EFNM，GHPN，PQJI，MQKL用二等颜料，造价为100元/平方米．
（1）设总造价为W元，MN的边长为x米，AB的边长为y米，试建立W关于x的函数关系式；
（2）计划至少要投入多少元，才能完成平面染色．
【答案】（1）
（2）元
【解析】
【分析】（1）根据已知条件及矩形正方形的面积公式即可建立函数关系式；
（2）利用基本不等式求最小值，确定取值条件即可.
小问1详解】
由题意得，阴影部分的面积为，
，化简得，
显然，所以．
则
，
故W关于x的函数关系式．
【小问2详解】
，
当且仅当时，即时，W有最小值，
所以当米时，元，
故计划至少要投入元，才能完成平面染色．
22. 已知函数是定义在上的奇函数．
（1）求和实数b的值；
（2）若满足，求实数t的取值范围．
【答案】（1），
（2）当时，；当时，
【解析】
【分析】（1）直接将代入，并结合奇函数定义和对数运算求解得b值；
（2）分离常数判断真数的单调性，再结合复合函数单调性分情况，列不等式求解
【小问1详解】
根据题意可得，
又是定义在上的奇函数，
所以，
即，解得（负值舍去）．
【小问2详解】
由（1）可知，，
易知函数在上单调递减，
由奇函数性质及可得，
当时，由复合函数单调性可知在上单调递增，
需满足解得；
当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，
需满足解得； ．
所以当时，；当时，．