2027年高考数学一轮复习讲义 第02讲 常用逻辑用语

这是一份2027年高考数学一轮复习讲义 第02讲 常用逻辑用语，共16页。学案主要包含了变式训练 1-2，变式训练 1-3，变式训练 1-4，变式训练 1-5，变式训练 1-7，变式训练 2-1，变式训练 2-3，变式训练 2-5等内容，欢迎下载使用。
合
与
第 常
02
知识点 1充分条件与必要条件用
讲 逻
核心辨析辑
常 用
“p 是q 的充分条件” 等价于 “只要有 p，就一定有 q”；用 语
“p 是q 的必要条件” 等价于 “没有 p，就一定没有 q”；逻
充要条件是数学定义的标准形式，如 “两组对边分别平行的四边形是平行四边形” 就是充要条件。辑
用
1
集合关系与充要条件的对应（新教材重点）语
充要条件证明规范
第一步：证明充分性（由条件推结论）；第二步：证明必要性（由结论推条件）；最后下结论：“综上，p 是q 的充要条件”。
自主检测（2026·福建名校联盟·适应性）已知函数?(?) = ?2 + ?? + 1（? ∈ ?），则“∃?0 > 0，?(?0) = 0”是“? ≤ −2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充分必要条件
知识点 2全称量词与存在量词
命题否定的易错点
不能只否定结论，必须同时改变量词；
常见结论的否定：“是”→“不是”；“都是”→“”；“至少有一个”→“”；“至多有一
集合关系
逻辑关系
条件类型
A⫋B
p⇒q 且q⇏p
p 是 q 的
B⫋A
p⇏q 且 q⇒p
p 是 q 的
A=B
p⟺q
p 是 q 的充要条件
A⊈B 且 B⊈A
p⇏q 且 q⇏p
p 是 q 的既不充分也不必要条件
个”→“”。
含量词命题的真假判断技巧
全称量词命题找反例：只要找到一个不满足的元素，命题即为假。
集
合存在量词命题找特例：只要找到一个满足的元素，命题即为真。
与 3.新教材术语规范：统一使用 “全称量词命题”“存在量词命题”。
第 常
02
用
讲
辑
逻自主检测（2026·长沙铁一中·学考模拟（二））下列命题中，是存在量词命题的是（ ）
常 用A．正方形的四条边相等B．有三个角是60°的三角形是等边三角形
用 语
逻C．正数的平方根不等于 0D．至少有一个正整数是奇数
辑
语
用题型突破
题型 1充分必要条件的判断
2
例 1-1 已知命题?: ∀? < 3， 2 > 2，命题?: ∃? < 0，?2 = √−?，则（ ）
?−2
A．?和?都是真命题B．?和¬?都是真命题
C．¬?和?都是真命题D．¬?和¬?都是真命题
例 1-2（2026·天津南开·二模）设?, ? ∈ ?，则“?3 + ?3 > 0”是“? + ? > 0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
方法技巧充分必要条件的快速判断
定义法：适用于逻辑关系清晰的命题，直接推导两个方向的真假
集合法：适用于条件和结论都能转化为集合范围的命题，如不等式解集
等价转化法：适用于否定形式的命题，转化为判断其逆否命题
易错分析混淆定义
混淆 “p 是 q 的充分条件” 和 “p 的充分条件是 q”
忽略特殊情况，如空集、零向量、常数函数等
立体几何中线面关系的判定定理和性质定理混淆
【变式训练 1-1·变载体】（2026·天津耀华中学·一模）“? = 2π + 2?π或? = 4π + 2?π，（? ∈ ?）”是
33
“tan? = 2cs (π + ?)”的（ ）
2
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练 1-2】（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知?, ?, ? ∈ ?，则（ ）
A．“? > ?”是“?2 > ?2”的充分条件
B．“? > ?”是“?2 > ?2”的必要条件
集
C．“? > ?”是“??2 > ??2”的充分条件合
D．“? > ?”是“??2 > ??2”的必要条件与
第 常
02
逻
【变式训练 1-3】（2026·四川遂宁·二诊）设?, ? ∈ ?, ? > ?，且?, ? ≠ 0，则“1 > 1”是“?? < 0”的（ ）用
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
??
讲 辑
常 用
用 语
逻
【变式训练 1-4】（2026·安徽蚌埠·适应性考试）已知集合? = {2,5,8}，? = {? − 1,2}，则“? = 6”是“? ∩辑
? = ?”的（ ）用
语
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练 1-5】（2026·哈尔滨师大附中·模拟）“?2 + ? − 2 < 0”是“|?| < 2”的（ ）
3
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练 1-6·变载体】（2025·辽宁大连·适应性演练一）已知函数?(?) = ??(? > 1，? ∈ R)，对于
?, ? ∈ R，若命题 ?: ?? > ??， 命题?: ? > ?，则 p 是 q 的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练 1-7】（2025·北京丰台·二模）已知关于?的方程?2 + ?? + ? = 0(?, ? ∈ ?)的两实根为?1, ?2，则“|?1| = |?2|”是“关于?的不等式?2 + ?? + ? < 0的解集为∅”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必
要条件
题型 2充分必要条件的证明
例 2-1（2026·天津耀华中学·二模）设?，? ∈ R，则“? > ?”是“?|?| > ?|?|”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例 2-2（24-25 高三上·安徽铜陵一中&安徽师大附中·12 月联考）设等比数列{??}的前?项和为??，则
“?1 < 0”是“?3 < ?2”的（
）
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
集 合 与 第 常
用
讲 逻
辑 常 用用 语逻 辑 用 语
方法技巧充要条件证明的规范步骤
明确证明方向：分充分性和必要性两步 。
充分性：假设条件成立，推导结论成立 。
必要性：假设结论成立，推导条件成立 。
最后总结：“综上，p 是 q 的充要条件”。
易错分析遗漏过程
只证明一个方向，遗漏另一个方向 。
证明过程中逻辑不严谨，出现循环论证 。
混淆充分性和必要性的推导方向。
【变式训练 2-1】数列{??}的前 n 项和记为??，则“数列{??}为等差数列”是“数列{??}为常数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4
【变式训练 2-2·变考法】下列命题错误的是（ ）
A．“? = 2”是“?2 − 4? + 4 = 0”的充要条件
B．若等比数列{??}公比为 q，则“? > 1”是“{??}为递增数列”的充要条件
C．在△ ???中，若“? > ?”，则“sin? > sin?”
D．命题“若? ≥ − 1，则方程?2 + ? − ? = 0有实根”的逆命题为真命题
4
【变式训练 2-3】设甲：? > 2且? > 1，乙：? + ? > 3且?? > 2，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲是乙的既不充分也不必要条件
【变式训练 2-4·变考法】（25-26 高三下·江苏如皋中学·培优）设集合? = {?|?2 − (? + 1)? + ? = 0}，集
合? = {? | 1
?−2
= 1 }，则“? ∩ ? = {3}”的一个必要不充分条件是（ ）
A．? = 3B．? ∈ {2,3}C．? = 1D．? ∈ {1,2}
【变式训练 2-5】命题?: ? > 1, ? > 2是命题?: {? + ? > 3 成立的（ ） 条件.
?? > 2
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要
【变式训练 2-6】已知?：lg
(? + 1) ≤ 2，?：1 ≥ 1，则?是?的（ ）
02
2?3
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式训练 2-7·变考法】（25-26 高三上·安徽皖南八校·第一次联考）（多选题）若?, ? ∈ ?，则“?3 1
C．?2 < ?2D．0 < 1 < 1
??
【变式训练 2-8】已知集合? = {?|1 ≤ ? ≤ 4 }，? = {?|2 − ? ≤ ? ≤ 2 + ? }.
5
方法技巧含量词命题的解题要点
否定：严格遵循 “改量词，否结论” 的规则。
真假判断：全称命题找反例，特称命题找特例。
常见结论否定：“≥”→“”；“所有”→“存在”；“存在”→“所有”。
易错分析遗漏量词符号的改变
只否定结论，不改变量词。
对 “都是”“至少有一个” 等结论的否定错误。
忽略量词的取值范围，如 x∈N 包含x=0。
若? ∩ ? = ?，求实数 m 的取值范围；集
设?: ? ∈ ?，?: ? ∈ ?，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围.合与 第 常
02
题型 3全称、存在量词命题的否定与真假判断用
讲 逻
辑
常 用
例 3-1（2026·四川巴中·一诊模拟）下列命题中为真命题的是（ ）．用 语
逻
A．∃? ∈ ?，?2 + 1 < 0B．∀? ∈ ?，? + |?| > 0辑
C．∀? ∈ ?，|?| ∈ ?D．∃? ∈ ?，?2 − 3? + 10 = 0用语
例 3-2 命题“∀? > 0，?2 − ? + 1 > 0”的否定为（ ）
A．∀? > 0，?2 − ? + 1 ≤ 0B．∀? ≤ 0，?2 − ? + 1 ≤ 0
C．∃? > 0，?2 − ? + 1 ≤ 0D．∃? ≤ 0，?2 − ? + 1 ≤ 0
【变式训练 3-1】（2025·广西桂林·一模）“∃? ∈ ?，使??2 − 4? − 3 > 0”的一个充分不必要条件是
（ ）
A．? ≤ 0B．? < − 4
3
C．? ≥ 1D．? < − 4或? ≥ 0
3
【变式训练 3-2·变考法】（2025·天枢杯·联考）已知：哥德巴赫猜想认为任一大于 2 的偶数都可写成两个质数之和．定义?为全体素数的集合，那么以下形式化命题中和哥德巴赫猜想不等价的是（ ）
A．¬∃?0 ∈ N ∩ [2, +∞)，∀?1 ∈ ?，∀?2 ∈ ?，?1 + ?2 ≠ 2?0
B．{?1 + ?2|?1 ∈ ?, ?2 ∈ ?} ⊇ {2? ∣ ? ∈ N ∩ [2, +∞ )}
C．{? ∣ ?1
∈ ?, ?2
∈ ?, ? = ?1
+ ?2
且? ∉ N} = 0
2
D．∀? ∈ N, 2? ≤ 2或? ∩ {2? − ? ∣ ? ∈ ?} ≠ 0
【变式训练 3-3】（2024·武汉华师一附中·高考模拟）若命题“∃? ∈ [1,3],??2 + (? − 2)? − 2 > 0”是假命
题，则?不能等于（ ）
A．−1B．0C．1D．2
3
集 合 与 第 常
用
讲 逻
辑 常 用用 语逻 辑 用 语
【变式训练 3-4·变载体】（2024·湖南衡阳·二模）下列命题中的真命题是（ ）
A．∀? ∈ ?，?2 ≥ 1
B．命题“”的否定
??
∃?, ? ∈ ?, + > 2
02
??
C．“直线?1与直线?2垂直”的充要条件是“它们的斜率之积一定等于-1”
D．“? > −1”是“方程
?2
− ?2
= 1表示双曲线”的充分不必要条件
2+??+1
【变式训练 3-5】使命题?:“∃? ∈ (1,2), ? ≤ ?2 + 1”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．? ≥ 4B．? > 5C．? ≤ 2D．? ≤ 5
【变式训练 3-6】命题“∃? ∈ ?，?2 + ? + 1 > 0”的否定为（ ）
A．∃? ∈ ?，?2 + ? + 1 < 0B．∃? ∈ ?，?2 + ? + 1 ≤ 0
C．∀? ∈ ?，?2 + ? + 1 > 0D．∀? ∈ ?，?2 + ? + 1 ≤ 0
6
【变式训练 3-7】（2026·西安高新一中·三模）已知命题?: ∀? ∈ ?, |? + 1| > 1；命题?: ∃? > 0, ?3 = ?，则以下为真命题的是（ ）
A．?和?B．¬?和?C．?和¬?D．¬?和¬?
【变式训练 3-8】（2026·河南邓州十校联考·模拟）（多选题）下列结论正确的有（ ）
A．∀? ∈ ?，?2 + 4 > 2?
B．“∃? ∈ ?，|? − 1| + 1 < 0”是假命题
C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D．“∀? ∈ ?，? + 4?4 ≥ 0”的否定是“∀? ∉ ?，? + 4?4 < 0”
【变式训练 3-9】（2025·河北·模拟）（多选题）已知集合? = {?|?? + 6 > 0 }, ? = {?|−1 < ? < 3 }，则下列结论正确的是（ ）
A．∃? ∈ ?, ? ∩ ? = ?B．∃? ∈ ?, ? ∩ ? = ?
C．∀? ∈ ?, ? ∩ ? ≠ ∅D．∃? ∈ ?, ? ∪ (???) = ?
题型 4根据命题真假/充要关系求参数范围
0
例 4-1 若命题“∃?0 ∈ ?，?2 + ?0 + ? < 0”为假命题，则?的取值范围是（ ）
A．(−∞, − 1]B．(−∞, 1]C．(0, 1]D．[1 , +∞)
4444
例 4-2 已知命题“∀? ∈ R
, ?2
+ ?? + 1
4
> 0” 是假命题，则实数?的取值范围是（ ）
A．(−∞, −1) ∪ (1, +∞)B．(−∞, −1]∪[1, +∞)
C．(−1,1)D．[−1,1]
方法技巧求参数范围的解题思路
先分别求出每个命题为真时参数的取值范围。
根据复合命题真假或充要关系，转化为集合间的包含关系。
利用数轴画出集合范围，列不等式组求解。
注意端点值的取舍，单独验证。
易错分析忽略条件
忽略参数使集合为空集的情况。
端点值取舍错误，导致范围扩大或缩小。
分类讨论不全面，遗漏参数的取值情况。
集 合 与 第 常
02
用
讲 逻
辑
常 用用 语逻
用
【变式训练 4-1】（25-26 高三上·陕西汉中·一调）若∃? ∈ {? ∣ −3 ≤ ? ≤ 3}，使得? − 4? − 13 < 0成立，辑
则实数?的取值范围是（）语
A．(−∞, 3)B．(−4, +∞)C．(−3, +∞)D．(−∞, −4)
7
【变式训练 4-2】（2025·西南名校联盟·四诊）已知命题：“∃? ∈ (0, +∞)，2?2 − ?? + 1 < 0”为假命题，则实数?的取值范围是（ ）
A．(−∞, 2√2]B．(−∞, 2]
C．(−∞, 1]D．(−∞, 1]
2
【变式训练 4-3】若命题“∃? ∈ ?, (?2 − 1)?2 + 2(? − 1)? − 1 > 0”是假命题，则?的值可以为（ ）
A．−1B．1C．2D．3
【变式训练 4-4·变考法】（2025·福建·适应性（二））（多选题）若平面点集?满足：任意点(?, ?) ∈
?，存在? ∈ (0, +∞)，都有(??, ??) ∈ ?，则称该点集?是?阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若? = {(?, ?)|? ≥ ? }，则?是 3 阶聚合点集
B．存在?对任意正数?，使?不是?阶聚合点集
C．若? = {(?, ?) |?2 + ?2 = 1 }，则?不是1阶聚合点集
43
D．“? ∈ [1,+∞）”是“? = {(?, ?)|?2 ≥ ? }是?阶聚合点集”的充要条件
【变式训练 4-5·变载体】若“∃? ∈ (0,π), sin2? − ?sin? < 0”是假命题，则?的取值范围为．
【变式训练 4-6】已知命题“存在? ∈ {?| − 1 < ? < 2}，使得等式3? − ? = 0成立”是假命题，则实数?的取值范围是
【变式训练 4-7】（2025·江西吉安一中·模拟二）若命题“∃? ∈ [−1,2]，使得2?2 + ?? − ? − 10 ≥ 0”是假命题，则 m 的取值范围是．
【变式训练 4-8】（2023·吉林吉林·二调）若命题：“∃? ∈ R，??2 + ? + 1 < 0”为假命题，则实数 a 的取值范围为.
【变式训练 4-9·变考法】（2026·福建部分高中·一模）若实数?使得命题：“∃? ∈ R，使得∀?, ? ∈ R，均有??2 + ?2 − 2?? + 2? + ? ≠ 0”是假命题，则?的取值范围是．
真题训练
集 合 与 第 常
用
讲 逻
辑 常 用用 语逻 辑 用 语
一、单选题
1．（2025·北京·高考）已知函数?(?)的定义域为 D，则“?(?)的值域为R”是“对任意? ∈ R，存在?0 ∈
?，使得|?(?0)| > ?”的（ ）
02
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·天津·高考）设? ∈ ?，则“? = 0”是“sin2? = 0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．（2024·全国甲卷·高考）设向量?⃗ = (? + 1, ?), ?⃗⃗ = (?, 2)，则（ ）
A．“? = −3”是“?⃗ ⊥ ?⃗⃗”的必要条件B．“? = 1 + √3”是“?⃗//?⃗⃗”的必要条件
C．“? = 0”是“?⃗ ⊥ ?⃗⃗”的充分条件D．“? = −1 + √3”是“?⃗//?⃗⃗”的充分条件
8
4．（2024·天津·高考）已知?, ? ∈ ?，则“?3 = ?3”是“3? = 3?”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2024·新课标全国Ⅱ卷·高考）已知命题 p：∀? ∈ ?，|? + 1| > 1；命题 q：∃? > 0，?3 = ?，则
（ ）
A．p 和 q 都是真命题B．¬?和 q 都是真命题
C．p 和¬?都是真命题D．¬?和¬?都是真命题
6．（2023·北京·高考）若?? ≠ 0，则“? + ? = 0”是“?
?
+ ?
?
= −2”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．（2024·上海·高考）定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取?1, ?2, ?3 ∈ Ω，存在不全为
0 的实数?1, ?2, ?3，使得?1?⃗⃗⃗?⃗⃗⃗1 + ?2?⃗⃗⃗⃗?⃗⃗⃗2⃗ + ?3?⃗⃗⃗⃗?⃗⃗⃗3⃗ = 0⃗⃗．已知(1,0,0) ∈ Ω，则(0,0,1) ∉ Ω的充分条件是
（ ）
A．(0,0,0) ∈ ΩB．(−1,0,0) ∈ Ω
C．(0,1,0) ∈ ΩD．(0,0, −1) ∈ Ω
8．（2024·北京·高考）设 ?⃗，?⃗⃗是向量，则“(?⃗ + ?⃗⃗) · (?⃗ − ?⃗⃗) = 0”是“?⃗ = −?⃗⃗或?⃗ = ?⃗⃗”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．（2023·全国甲卷·高考）设甲：sin2? + sin2? = 1，乙：sin? + cs? = 0，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
10．（2023·新课标全国Ⅰ卷·高考）记? 为数列{?
}的前?项和，设甲：{?
}为等差数列；乙：{??}为等差
数列，则（ ）
??
??
集
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件合
与
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件第 常
02
C．甲是乙的充要条件用
讲 逻
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件辑
常 用
11．（2023·天津·高考）已知?, ? ∈ R，“?2 = ?2”是“?2 + ?2 = 2??”的（ ）用 语
逻
A．充分不必要条件B．必要不充分条件辑
9
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件用语