2027年全国高考数学一轮复习讲义 1.4 基本不等式

这是一份2027年全国高考数学一轮复习讲义 1.4 基本不等式，共5页。
1.基本不等式:ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
(3)其中a+b2叫做正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤a+b22(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P.
(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14S2.
(3).若a>0,b>0,则21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22.其中21a+1b和a2+b22分别叫做a,b的调和平均数和平方平均数.可根据题目需要选择合适的形式.
考点一 直接利用基本不等式求最值
考点二 利用配凑法求最值
考点三 利用常数代换法求最值
考点四 利用消元法求最值
考点五 利用齐次化法求最值
考点六 利用对勾函数求最值
考点七 利用基本不等式求参数值或范围
考点八 利用基本不等式解决实际问题
考点一 直接利用基本不等式求最值
1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
3．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
4．（2026·浙江宁波·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________．
考点二 利用配凑法求最值
6．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（ ）
A．2B．4
C．3D．6
7．（25-26高三上·山东烟台·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（24-25高一上·重庆·月考）已知，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
9．（2026高三上·山东枣庄·月考）已知，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
考点三 利用常数代换法求最值
10．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
11．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______.
12．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
13．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
14．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．5C．4D．3
15．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．D．
考点四 利用消元法求最值
16．（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
17．（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________.
18．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________．
19．（25-26高三上·云南·月考）若非零实数a，b满足，则的最小值为_____.
20．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．7B．9C．10D．12
考点五 利用齐次化法求最值
21．（25-26高三上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
22．（25-26高三上·上海·月考）若对恒有，则的取值范围是_____
23．（25-26高三上·江西·月考）已知，则的最大值是（ ）．
A．B．C．5D．8
考点六 利用对勾函数求最值
24．（25-26高三上·广东广州·月考）（多选）下列函数最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
25．（25-26高三上·天津西青·月考）下列说法正确的个数是（ ）．
①；
②函数的最小值为4；
③若，则最大值为1；
④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8．
A．0B．1C．2D．3
26．（25-26高三上·山东潍坊·月考）函数的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
27．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值为
B．函数的最小值为
C．函数的最大值为
D．函数的最小值为
28．（25-26高三上·辽宁·开学考试）（多选）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最小值为
C．的最小值为12D．的最小值为
考点七 利用基本不等式求参数值或范围
29．（25-26高三上·广东·月考）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
30．（25-26高三上·山东日照·月考）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________．
31．（25-26高三上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
32．（25-26高三上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）.
A．B．C．1D．
33．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考点八 利用基本不等式解决实际问题
34．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（ ）

A．B．C．D．
35．（25-26高三上·上海静安·月考）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元．
(1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？
(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数）
36．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围.
37．（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
1．（25-26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（ ）
A．3B．C．9D．18
2．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
3．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（25-26高三下·山东·月考）若直线过点，则的最小值为（）
A．7B．C．6D．
5．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知正实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
8．（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）若，则的值可能是（ ）
A．0B．C．2D．
9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知，，且，则下列说法正确的有（ ）
A．ab的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为4
10．（25-26高二上·贵州毕节·期中）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为1B．的最小值为2
C．的最小值为4D．的最小值为4
11．（2026·北京昌平·一模）当时，函数的最小值为_____．
12．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________．
13．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为_____.
14．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______．
15．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______.1.4 基本不等式
1.基本不等式:ab≤a+b2
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.
(2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
(3)其中a+b2叫做正数a,b的算术平均数,ab叫做正数a,b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤a+b22(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
(1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P.
(2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14S2.
(3).若a>0,b>0,则21a+1b≤ab≤a+b2≤a2+b22.其中21a+1b和a2+b22分别叫做a,b的调和平均数和平方平均数.可根据题目需要选择合适的形式.
考点一 直接利用基本不等式求最值
考点二 利用配凑法求最值
考点三 利用常数代换法求最值
考点四 利用消元法求最值
考点五 利用齐次化法求最值
考点六 利用对勾函数求最值
考点七 利用基本不等式求参数值或范围
考点八 利用基本不等式解决实际问题
考点一 直接利用基本不等式求最值
1．（25-26高三上·重庆沙坪坝·月考）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.
【详解】，因为，故，
则，当且仅当，也即取得等号，
故的最小值为.
故选：D.
2．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】由基本不等式得到，即，
当且仅当，即时，等号成立.
的最大值为
3．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】借助基本不等式计算即可得.
【详解】，
当且仅当，即、时，等号成立，
即的最小值为.
4．（2026·浙江宁波·二模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基本不等式，结合充分、必要条件的定义，分析即可得答案.
【详解】若，则，充分性成立；
若，取，满足条件，
则，不满足，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
5．（2026·上海崇明·二模）若，，且，则的最小值为________．
【答案】
【详解】由基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
考点二 利用配凑法求最值
6．（2026·北京海淀·二模）函数的最小值为（ ）
A．2B．4
C．3D．6
【答案】C
【分析】由关系，结合基本不等式求结论.
【详解】，，
，
当且仅当时，即时等号成立，
因此函数最小值为.
7．（25-26高三上·山东烟台·期末）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C.
8．（24-25高一上·重庆·月考）已知，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】将原式配凑为，利用基本不等式求解即可.
【详解】，，，
，
当且仅当，即时等号成立.
所以的最小值为6.
故选：C.
9．（2026高三上·山东枣庄·月考）已知，则的最小值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】将原式变形为，再使用基本不等式求解即可．
【详解】由，得，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是3.
故选：C.
考点三 利用常数代换法求最值
10．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】B
【详解】由可知，易知，且，
所以
，
当且仅当时，即时，等号成立，
因此的最小值为3.
11．（2026·辽宁沈阳·三模）已知正数x，y满足，则的最小值为______.
【答案】
【分析】根据题意得，再结合基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】因为正数x，y满足，所以，即，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
12．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，且，所以，
所以，
当且仅当即、时等号成立．
所以的最小值为.
13．（2026·陕西商洛·二模）已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．6D．9
【答案】D
【详解】由，，，得，
所以，
当且仅当，即时等号成立.
故的最小值为9.
14．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．5C．4D．3
【答案】B
【详解】已知，，且，
，
当且仅当，结合得时等号成立，
的最小值为5．
15．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用“1”的代换并变形，再利用基本不等式求解.
【详解】实数，且，则
，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
考点四 利用消元法求最值
16．（2026·广东江门·二模）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】C
【分析】方法一：条件等式可化为，再结合关系利用基本不等式求结论；
方法二：由条件等式可得，消元变形可得，再利用基本不等式求其最小值即可.
【详解】（方法一）由，可得，
因为，，所以，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
故的最小值为13．
（方法二）由，可得，因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为13．
17．（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________.
【答案】5
【分析】根据题意得，对整理，再利用基本不等式求解.
【详解】由得，所以，
因为，，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为5.
18．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________．
【答案】2
【详解】因，则，当且仅当时取等号.
则
即，解得，（舍去）
当且仅当时等号成立，故的最小值为2.
19．（25-26高三上·云南·月考）若非零实数a，b满足，则的最小值为_____.
【答案】
【分析】变形给定等式可得，令并换元，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】依题意，，
则，即，
令，则，，
因此，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
20．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为（ ）
A．7B．9C．10D．12
【答案】B
【分析】根据题设条件求得，代入所求式利用基本不等式即可求解.
【详解】由可得，显然，则有，
由，可得，
则，
当且仅当，即时等号成立，
此时的最小值为9.
故选：B.
考点五 利用齐次化法求最值
21．（25-26高三上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【分析】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可.
【详解】由条件可得，
所以，所以，所以，
所以，所以，
当且仅当，且，即，，等号成立.
故选：B.
22．（25-26高三上·上海·月考）若对恒有，则的取值范围是_____
【答案】
【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围.
【详解】由，
令，则，
当时，，当且仅当，即时取等号，
若时，，则，此时代数式的范围为，
当时，，
当时，，当且仅当，即时取等号，
若时，，则，此时代数式的范围为，
综上，，
所以对恒有，只需，即.
故答案为：
23．（25-26高三上·江西·月考）已知，则的最大值是（ ）．
A．B．C．5D．8
【答案】A
【分析】化简变形利用基本不等式计算即可．
【详解】易知．
因为，所以，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故，则的最大值是．
故选：A
考点六 利用对勾函数求最值
24．（25-26高三上·广东广州·月考）（多选）下列函数最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】A选项通过二次函数求最值，BCD通过基本不等式可求最值，注意验证成立要求.
【详解】A. ，二次函数，当时，
取得最小值为,A选项不正确.
B. ,
当且仅当即时成立，B选项正确.
C．，当且仅当即，不成立，C选项不正确.
D. ,
当且仅当，即时成立，故D选项正确.
故选：BD
25．（25-26高三上·天津西青·月考）下列说法正确的个数是（ ）．
①；
②函数的最小值为4；
③若，则最大值为1；
④已知时，，当且仅当，即时，取得最小值8．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.
【详解】对于①只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则①不正确；
对于②,，令，
则在上单调递增，则最小值为,
则②不正确；
对于③,，则③正确；
对于④,当时，，当且仅当
时，即，等号成立，则④不正确.
综上只有1个正确，
故选：B.
26．（25-26高三上·山东潍坊·月考）函数的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】根据对勾函数的性质可得最小值.
【详解】由，令，则.
，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以时，函数.
故函数的最小值为.
故选：C.
27．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值为
B．函数的最小值为
C．函数的最大值为
D．函数的最小值为
【答案】C
【分析】根据基本不等式即可判断.
【详解】当时，函数无最小值，故A错误；
函数，当且仅当时取等号，明显不成立，故B错误；
当时，函数，当且仅当时取等号，故C正确, D错误.
故选：C.
28．（25-26高三上·辽宁·开学考试）（多选）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的最小值为
C．的最小值为12D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】已知条件可化为，对A，令，则，结合其单调性可判断；对B，由条件式消元得到二次函数，求其最值即可判断；对C，由条件式消元，利用基本不等式，可得判断；对D，直接由基本不等式判断.
【详解】由得，
对于A，因为，所以，所以，
令，因为所以，即，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
因为，所以，A正确；
对于B，因为，所以，
当且仅当时取等号，B正确；
对于C，因为，所以，
当且仅当，即时取等号，C错误；
对于D，，
当且仅当，即时取等号，D正确；
故选：ABD.
考点七 利用基本不等式求参数值或范围
29．（25-26高三上·广东·月考）已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用已知条件将等式变形为1的表达式，再通过“1的代换”将展开，最后应用基本不等式求出最小值，再根据不等式恒成立的条件，将问题转化为关于的不等式，从而确定的取值范围.
【详解】因为，则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
若不等式恒成立，则，
所以，解得.
故选：C
30．（25-26高三上·山东日照·月考）若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】
【分析】将问题转化为，利用基本不等式求的最小值，再解绝对值不等式即可求解.
【详解】因为不等式恒成立，所以，
因为正实数满足，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以.
所以，即，所以，
解得，则实数m的取值范围是.
故答案为：.
31．（25-26高三上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可．
【详解】即，
（当且仅当时取等号），
又不等式恒成立，
所以．
故选：C．
32．（25-26高三上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（ ）.
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得.
【详解】，，恒成立，
而
，
当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为.
故选：C.
33．（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围.
【详解】令，则代入得，
将代入原不等式，得，
两边同时除以，得，
把代入，得，
即，
由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，，
恒成立，
故实数的取值范围为.
故选：.
考点八 利用基本不等式解决实际问题
34．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长.
【详解】设
则，所以，
所以，
因为，即且，解得，
所以.
故
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元.
故选：B
35．（25-26高三上·上海静安·月考）甲乙两地的高速公路全长166千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时）．已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分为，固定部分为220元．
(1)若每小时的运输成本不高于420元，汽车的速度应该控制在什么范围？
(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本约为多少元？（结果保留整数）
【答案】(1)（千米/时）；
(2)当时，最小运输成本为696元．
【分析】（1）根据题意列出不等式，根据一元二次不等式的解法，求出结果即可.
（2）根据题意，列出函数，根据基本不等式，求出最小值即可.
【详解】（1）由题意得汽车每小时的运输成本为（元），
每小时的运输成本不高于420元，所以，解得，
可得，即（千米/时），
所以，此时汽车的速度应该控制在（千米/时）；
（2）因为汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车速（千米/时），
所以汽车的行驶时间为（小时），
所以全程运输成本，，
由基本不等式可得，当且仅当时，即时取等号，
即当速度为（千米/时），最小运输成本为696元．
36．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长.
(1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围.
【答案】(1)10米
(2)
【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度；
（2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围.
【详解】（1）设甲工程队的总报价为元，
依题意，左、右两面墙的长度均为（）米，
则长方体前面新建墙体的长度为米，
所以，
即，
当且仅当，即时，等号成立.
故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元.
（2）由题意可知，，
即对任意的恒成立，
所以，可得，即.
，
当且仅当，即时，取最小值36.
所以，即的取值范围是.
37．（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合物理中的电阻、电流和功率公式，以及基本不等式，即可求出结果.
【详解】由题知，总电阻，
电路电流，
所以滑动变阻器功率为
，
因为，当且仅当即时，等号成立，
此时满足到的范围，
所以此时最大，且为.
1．（25-26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（ ）
A．3B．C．9D．18
【答案】B
【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到与的关系式，再用基本不等式求最小值.
【详解】由换底公式可得 ，
原式化为 ，所以 ，
因为，由基本不等式得，
当且仅当，即时，取等号成立.
所以的最小值是.
2．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意得：，
，
当，即时，等号成立.
3．（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用指数的运算得到，再利用基本不等式，即可求解.
【详解】因为，所以，又是正数，
则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.
4．（25-26高三下·山东·月考）若直线过点，则的最小值为（）
A．7B．C．6D．
【答案】C
【详解】直线过点，代入得，即，且，
由此解得（），代入目标函数并化简得：
，
，
因为，所以，
所以由基本不等式，
得：，
当且仅当即时取等，
故的最小值为.
5．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当，且满足时，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，，，利用基本不等式推得，再由恒成立得，求解即得.
【详解】因为，且满足，，
即，则，即，当且仅当时，等号成立，
又因为恒成立，所以，即，
即，解得.
6．（2026·海南省直辖县级单位·二模）已知正数，满足.若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由基本不等式乘“”法，求得的最小值，进而可求解.
【详解】由题意可知，不等式恒成立，
即，
，即
，
，
，，
，，
，当且仅当，即时等号成立，
当时，取得最小值为8，
，即，解得.
7．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知正实数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，即可判断；对于B，利用即可判断；对于C，对式子两边同时平方可得，根据的范围即可判断；对于D，由可得，根据二次函数的性质即可判断.
【详解】选项A，由，可得，即，故A正确；
选项B，利用基本不等式可知，整理可得，
当且仅当，即，时，等号成立，故B错误；
选项C，整理式子，可得，
两边同时平方得，即，
因为，所以，当且仅当，时，等号成立，故C正确；
选项D，由，可得，得，
则，
函数是开口向上的二次函数，对称轴为，
所以，故D正确.
8．（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）若，则的值可能是（ ）
A．0B．C．2D．
【答案】CD
【详解】因为，所以，，，
当时，，
当时，，
结合选项，的值可能为或．
9．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选）已知，，且，则下列说法正确的有（ ）
A．ab的最大值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为4
【答案】AC
【分析】选项A，由，，，直接利用基本不等式求出的范围，从而得到的最大值；选项B，将所求的的分子转化为，利用基本不等式求解即可；选项C，设，则，由得到从而得到的范围，即可得到的最大值；选项D，将所求的转化为，利用基本不等式求解即可.
【详解】选项A，，，，，
，当且仅当，即时，等号成立；
故ab的最大值为，故选项A正确；
选项B，，，
当且仅当时，即时，等号成立，
故的最小值为，故选项B错误；
选项C，设，则，
，，
，，，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最大值为，故选项C正确；
选项D，，，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为，故选项D错误.
故选：AC.
10．（25-26高二上·贵州毕节·期中）（多选）下列说法正确的有（ ）
A．的最小值为1B．的最小值为2
C．的最小值为4D．的最小值为4
【答案】ABC
【分析】根据对勾函数的性质及基本不等式可得.
【详解】对于A：由，当且仅当时等号成立，所以A正确；
对于B：，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C：，
当且仅当，即时等号成立，所以C正确；
对于D：令，则，由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，
所以，所以D错误.
故选：ABC.
11．（2026·北京昌平·一模）当时，函数的最小值为_____．
【答案】
【分析】由基本不等式进行求解．
【详解】因为，所以，等号成立时，，
故函数的最小值为．
12．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，且在上恒成立，则实数的最小值为___________．
【答案】
【分析】利用所给定义域构造基本不等式求最值
【详解】当时，，当且仅当时等号成立
．又，即实数的最小值为-3．
13．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为_____.
【答案】3
【分析】设，将待求式化为关于的函数式，再利用基本不等式求解即得.
【详解】设，因，则，
且，
因，当且仅当时取等，
即时，也即时，取得最小值4，此时的最小值为3.
14．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则的最小值为______．
【答案】0
【详解】已知，则，
，
，
，
设，则，，
，
当且仅当，即时等号成立，
的最小值为0．
15．（2026·重庆·模拟预测）已知，且，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_______.
【答案】4
【分析】由题设可得，随后讨论的取值可得，，最后由基本不等式可得答案.
【详解】由得，
故当时，，
当时，，故，
故当时，，
即，故，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为4.