2027年全国高考数学一轮复习讲义 第32讲 解三角形(全国I卷地区通用)

这是一份2027年全国高考数学一轮复习讲义 第32讲 解三角形(全国I卷地区通用)，共19页。
三、典题精讲 PAGEREF _Tc233471868 \h 4
考点一：正弦定理的应用 PAGEREF _Tc233471869 \h 4
考点二：余弦定理的应用 PAGEREF _Tc233471870 \h 6
考点三：判断三角形的形状 PAGEREF _Tc233471871 \h 7
考点四：三角形解的个数 PAGEREF _Tc233471872 \h 9
考点五：正、余弦定理的综合应用 PAGEREF _Tc233471873 \h 10
考点六：三角形中的面积与周长问题 PAGEREF _Tc233471874 \h 13
考点七：倍角关系 PAGEREF _Tc233471875 \h 15
考点八：解三角形的实际应用 PAGEREF _Tc233471876 \h 15
四、高考真题 PAGEREF _Tc233471877 \h 18
一、考情分析
1. 考查频次与题型
近三年全国一卷对解三角形的考查比较稳定，每年均有涉及，且常以解答题或多选题的形式出现，分值占比较高.考查内容主要集中在正余弦定理、面积公式的综合应用，同时常与三角恒等变换或空间几何相结合.
2. 命题角度与特色
（1） 核心考点：重点考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，常涉及边角互化、求特定角或边长.
（2） 命题趋势：命题逐渐向综合化方向发展，不仅在平面几何背景下考查，还常与三角恒等变换深度融合，或作为解决立体几何空间角问题的工具.
（3） 试题特点：对代数变形能力和几何图形的分析能力要求较高，常需要通过添加辅助线或构建方程组来破局.
3. 备考策略
（1） 熟练掌握正弦定理、余弦定理及面积公式的各种变形形式，做到边角互化灵活自如.
（2） 强化三角恒等变换与解三角形的结合训练，特别注意二倍角公式、两角和差公式在化简过程中的应用.
（3） 提升几何直观与图形分析能力，学会在复杂的平面图形或立体图形中剥离出基本的三角形模型进行求解.
二、知识清单
1. 基本定理公式
（1） 正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
（2） 面积公式：
① 基础公式：S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acsinB.
② 内切圆与外接圆相关：S△ABC=abc4R=12(a+b+c)⋅r（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r）.
③ 海伦公式：S△ABC=p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=a+b+c2为三角形的半周长.
2. 相关应用与性质拓展
（1） 正弦定理的应用
① 边化角，角化边 ⇔a:b:c=sinA:sinB:sinC.
② 大边对大角 大角对大边 a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔csAc2，则角C为锐角；若三角形三边均满足任意两边平方和大于第三边平方，则该三角形为锐角三角形.
② 若a2+b2=c2，则角C为直角，该三角形为直角三角形.
③ 若a2+b2a>b.又tanB=sinBcsB=13sin2B+cs2B=1B∈(0,π4)，解得sinB=1010.∴bc=sinBsinC=101022=55，即△ABC的最短边与最长边之比为55.故选：C.
【规律】在已知三角函数值求边长比例时，正弦定理是核心工具.若已知正切值，需先通过同角三角函数关系求出正弦值，同时利用大角对大边定理准确定位最长边与最短边.
考法3：正弦定理与面积公式综合
例3.（2026·安徽皖江名校联盟·最后一卷）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足(a+b+c)(sinA+sinB−sinC)=asinB+2bsinA.
（1）求角C的大小；
（2）若c=3，求△ABC面积的最大值.
【答案】（1）C=π3
（2）334
【思路】第一问中的等式含有边和角的正弦值，优先考虑利用正弦定理将正弦值全部转化为边长，化简后即可得到余弦定理的形式，从而求出角C.第二问在已知角C和边c的前提下求面积最大值，可利用余弦定理结合基本不等式求出ab的最大值.
【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理，得(a+b+c)(a+b−c)=ab+2ba，整理得a2+b2−c2=ab.由余弦定理，得csC=a2+b2−c22ab=12.又C∈(0,π)，∴C=π3.
（2）由（1）及余弦定理知，3=a2+b2−ab≥2ab−ab=ab，故S△ABC=12absinC≤334，等号成立当且仅当a=b=3.即△ABC面积的最大值为334.
【规律】“齐次式化边”是处理边角混合等式的常用技巧.在求三角形面积或周长的最值时，通常利用余弦定理构建关于边长的等式，再借助基本不等式求出两边乘积或两边之和的最值.
【考点一 方法总结】
1. 求解三角形的基本类型：已知两角及一边，直接利用正弦定理求解；已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理求解时需注意解的个数问题.
2. 边角互化原则：若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，进行“角化边”；若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，进行“边化角”.
3. 处理锐角三角形或钝角三角形中的范围问题时，必须同时考虑三个内角均为锐角或存在钝角这一隐含条件，列出不等式组求出目标角的精确范围，再结合正弦定理进行边角转化.
4. “齐次式化边”是处理边角混合等式的常用技巧.在求三角形面积或周长的最值时，通常利用正弦定理将边长转化为角，或利用余弦定理构建关于边长的等式，再借助基本不等式求出最值.
考点二：余弦定理的应用
考法4：余弦定理求边长
例4.（2026·山东潍坊·二模）在平面直角坐标系中，点A(1,3),B(3+1,0),C(0,0)，则△ABC的最大内角为（ ）
A. π3 B. 5π12 C. 2π3 D. 3π4
【答案】B
【思路】题目给出了三个顶点的坐标，首先利用两点间距离公式求出三角形的三条边长.通过比较边长大小找出最大边，其对应的角即为最大内角，最后应用余弦定理求出该角的余弦值.
【解析】由两点间距离公式，AB2=(3+1−1)2+(0−3)2=3+3=6，BC2=(3+1)2+02=4+23，AC2=12+(3)2=4.∵BC2>AB2>AC2，∴最大边为BC，最大内角为A.由余弦定理，csA=AB2+AC2−BC22AB⋅AC=6+4−(4+23)2×6×2=6−2346=6−24.又cs5π12=cs(45∘+15∘)=cs45∘cs15∘−sin45∘sin15∘=22×6+24−22×6−24=6−24，∴A=5π12.
【规律】解析几何背景下的解三角形问题，核心是将坐标信息转化为边长信息.求非特殊角的度数时，常需将其拆分为两个特殊角的和或差，利用两角和差的余弦公式进行逆向匹配.
考法5：余弦定理求角
例5.（2026·安徽铜陵·模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=2，c=3.
（1）已知D为AC边上一点，AD=2CD，若BD=2，求csB的值；
（2）若C=2A，求b的值.
【答案】（1）724
（2）52
【思路】第一问中点D在边AC上，将△ABC分为两个小三角形，利用互补角∠ADB与∠CDB的余弦值互为相反数，分别在两个小三角形中应用余弦定理列出方程即可求出边长.第二问已知C=2A，利用正弦定理化简可得到csA的值，再结合余弦定理建立关于边b的方程.
【解析】（1）由题，设AD=2CD=2x.∵cs∠ADB+cs∠CDB=0，∴由余弦定理，AD2+BD2−AB22AD⋅BD+CD2+BD2−BC22CD⋅BD=0，即(2x)2+(2)2−322(2x)⋅2+x2+(2)2−222x⋅2=0，解得x2=116.∴b2=(3x)2=332.由余弦定理csB=a2+c2−b22ac=4+9−3322×2×3=724.
（2）由正弦定理，asinA=csinC且C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcsA.又∵a=2，c=3，∴2sinA=32sinAcsA，(sinA≠0)，∴csA=34.由余弦定理csA=b2+c2−a22bc，得2b2−9b+10=0，解得b=2或b=52.b=2时，a=b=2,A=B,C=2A，∴由A+B+C=4A=π,A=π4，csA=22≠34，故矛盾，舍去.当b=52时，csA=(52)2+9−42⋅52⋅3=254+515=45415=34，成立.故b=52.
【规律】处理三角形内部线段问题时，“互补角余弦和为零”是构建方程的经典桥梁.遇到倍角条件时，正弦定理结合二倍角公式是求出单角三角函数值的标准流程，求解后务必检验是否符合三角形内角和定理.
考法6：余弦定理与面积公式综合
例6.（2026·浙江嘉兴·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2−b2−c2=bc=1，则△ABC的面积为（ ）
A. 12 B. 14 C. 32 D. 34
【答案】D
【思路】已知条件a2−b2−c2=bc具有明显的余弦定理结构特征，通过移项变形可直接求出角A的余弦值.随后结合条件bc=1，代入三角形面积公式即可求解.
【解析】△ABC中，由a2−b2−c2=bc，得b2+c2−a2=−bc.由余弦定理csA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，A∈(0,π)，得A=2π3.又bc=1，∴S△ABC=12bcsinA=34.
【规律】遇到包含边长平方和的等式时，应敏锐地将其向余弦定理的形式转化，从而快速锁定对应角的余弦值.面积公式与余弦定理的联立是求解边角综合题的基础模型.
【考点二 方法总结】
1. 求解三角形的基本类型：已知两边一夹角，直接利用余弦定理求第三边；已知三边求角，直接利用余弦定理的推论求角的余弦值.
2. 边角互化原则：若式子含有csx的齐次式，优先考虑余弦定理，进行“角化边”.
3. 解析几何背景下的解三角形问题，核心是将坐标信息转化为边长信息.求非特殊角的度数时，常需将其拆分为两个特殊角的和或差，利用两角和差的余弦公式进行逆向匹配.
4. 处理三角形内部线段问题时，“互补角余弦和为零”是构建方程的经典桥梁.
5. 遇到包含边长平方和的等式时，应敏锐地将其向余弦定理的形式转化，从而快速锁定对应角的余弦值.面积公式与余弦定理的联立是求解边角综合题的基础模型.
考点三：判断三角形的形状
考法7：利用正余弦定理边角互化判断形状
例7.（2026·浙江温州·一模）（多选）在△ABC中，角A,B,C所对的三条边分别为a,b,c，则△ABC是等腰三角形的充分条件是（ ）
A. sinA=sinB
B. acsA=bcsB
C. acsB=bcsA
D. atanA=btanB
【答案】ACD
【思路】判断三角形形状的充分条件，需将各个选项中的等式统一化为边长关系或角度关系.利用正弦定理将边化角，或利用余弦定理将角化边，注意在三角函数变形时要全面考虑各种可能的情况，避免漏解.
【解析】选项A，根据正弦定理asinA=bsinB=2R（R为三角形外接圆半径），∵sinA=sinB，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形，因此sinA=sinB能充分推出△ABC是等腰三角形，所以A正确.选项B，根据正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，又acsA=bcsB，则2RsinAcsA=2RsinBcsB，整理为sin2A=sin2B，则有2A=2B，即A=B，可得△ABC等腰三角形，或者2A=π−2B，即A+B=π2，可得△ABC是直角三角形，但不一定是等腰三角形，因此acsA=bcsB不能充分推出△ABC是等腰三角形，所以B错误.选项C，根据正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，又acsB=bcsA，则2RsinAcsB=2RsinBcsA，整理为sin(A−B)=0，则有A=B，即a=b，可得△ABC是等腰三角形，因此acsB=bcsA能充分推出△ABC等腰三角形，所以C正确.选项D，根据正弦定理得sinA=a2R，sinB=b2R，又atanA=btanB，即asinAcsA=bsinBcsB，则a22RcsA=b22RcsB，整理为a2csB=b2csA，又由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc，csB=a2+c2−b22ac，∴a2⋅a2+c2−b22ac=b2⋅b2+c2−a22bc，即a(a2+c2−b2)=b(b2+c2−a2)，整理得(a3−b3)+[a2b−ab2]+(ac2−bc2)=0，则(a−b)(a2+ab+b2)+(a−b)⋅ab+(a−b)⋅c2=0，即(a−b)(a2+2ab+b2+c2)=0，∴(a−b)[(a+b)2+c2]=0，而(a+b)2+c2>0，∴a−b=0，即a=b，∴△ABC是等腰三角形，因此atanA=btanB能充分推出△ABC是等腰三角形，所以D正确.故选：ACD.
【规律】在判断三角形形状时，若采用化角法，得出sin2A=sin2B时，必须考虑A=B或A+B=π2两种情况；若采用化边法，需熟练运用因式分解提取公因式，从而得出边长相等的结论.
【考点三 方法总结】
1. 判断三角形形状的方法：利用正弦定理将边化角，或利用余弦定理将角化边.
2. 已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值：
（1） 若余弦值大于0，则△ABC为锐角三角形.
（2） 若余弦值等于0，则△ABC为直角三角形.
（3） 若余弦值小于0，则△ABC为钝角三角形.
3. 在判断三角形形状时，若采用化角法，得出sin2A=sin2B时，必须考虑A=B或A+B=π2两种情况；若采用化边法，需熟练运用因式分解提取公因式，从而得出边长相等的结论.
考点四：三角形解的个数
考法8：判断三角形解的个数或唯一性
例8.（2026·湖北随州·三模）（多选）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列各组条件中，能使得△ABC存在且唯一的是（ ）
A. A=π4，B=π3，△ABC外接圆的半径为1
B. A=π4，csB=−45，b=5
C. A=π4，a=3，b=2
D. A=π4，b=3，c=2
【答案】AD
【思路】判断三角形是否唯一存在，需逐一分析各选项给定的条件.可利用正弦定理求出边长或角的正弦值，结合“大边对大角”原则判断是否有两解；或利用余弦定理构建关于未知边的一元二次方程，通过方程正根的个数来判定.
【解析】对A：由正弦定理可得asinA=bsinB=2R=2，则a=2sinπ4=2，b=2sinπ3=3，C=π−A−B=5π12，则c=2sin5π12，故△ABC存在且唯一，故A正确.对B：由csB=−453π4，又A=π4，则A+B>π，故不存在这样的△ABC，故B错误.对C：由正弦定理可得bsinB=asinA，sinB=ba⋅sinA=23，又b>a，则B>π4，此时B有两解，故C错误.对D：由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccsA=3+4−43×22=7−26，故a唯一确定，即该三角形三边确定，故△ABC存在且唯一，故D正确.
【规律】已知两边及其中一边的对角（如已知a,b,A）解三角形时，若a