2025--2026学年江苏省南京市宁海中学高一下学期6月期末测试数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省南京市宁海中学高一下学期6月期末测试数学试题-含解析试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
2. （ ）
A. B. C. D.
3. 设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
4. 已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（ ）
A. B. C. D.
8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（ ）
A. B. A与互斥C. A与相互独立D.
10. 已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果互斥，那么D. 如果互斥，那么
11. 在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（ ）
A. B.
C. 当时，平面D. 当平面时，
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为______．
13. 若函数为偶函数，则__________.
14. 已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是__________.
四、解答题：（本大题共5小题，共77分）
15. 已知，，且．
（1）求和的值；
（2）求与的夹角的余弦值．
16. 已知平面向量，.
（1）若，求的值.
（2）若，求的值.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．

（1）求的体积；
（2）求证：平面；
（3）求证：平面．
18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，.
（1）证明：平面PAC；
（2）求二面角的大小；
（3）点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围.
19. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）若，的内切圆半径为，求的周长．
数学
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 已知复数是纯虚数，则实数（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
答案：B
解析：
思路：根据纯虚数的定义，列出方程组，再结合选项筛选结果即可．
解答过程：由复数是纯虚数，
则，解得，或，
所以结合选项得．
2. （ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：.
3. 设、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，，则
答案：D
解析：
思路：对A，运用面面平行的性质即可判断；对B，运用线面垂直的性质即可判断；对C，运用线面平行的性质即可判断；对D，运用线面垂直的性质即可判断.
解答过程：若，，，则或与异面，故A错误；
若，，则或与相交，故B错误；
若，，则或与相交或与异面，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确．
故选：D.
4. 已知一组数据的平均数和方差分别为20，26，若向该组数据中添加一个数据20，记这组新数据的平均数和方差分别为，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：设有个数据，则原数据总和为，引入数据后，新总和为，
因此新平均数x=20(n+1)n+1=20 .
原样本方差为，根据方差定义，可得原数据的离均差平方和.
添加数据后，新增偏差平方项，因此新方差.
由于，因此.
5. 设，是两个不同的平面，是一条直线，且，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：
思路：由面面平行的判定定理与性质定理判断充分性和必要性即可．
解答过程：先验证充分性：当且时，若与相交，则得到与两平面交线平行，
故不一定成立，即充分性不成立；
再验证必要性：当且时，，必要性成立．
综上，在给定条件下，“”是“”的必要不充分条件．
6. 已知函数，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：，
又因为，所以，
所以，所以A、C无法判断，
对于B、D，，
所以，即.
7. 在中，，AD是的角平分线，，，E是AC的中点，则DE的长度为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：先利用面积相等求出，再结合余弦定理可得答案或建立直角坐标系，分别求出D，E坐标，再利用两点间距离公式，即可求值.
解答过程：方法一：因为，，，所以的面积为；
因为AD是的角平分线，
所以，
解得.
在中，，，
所以
，
即.

故选：A.
方法二：因为，所以，
如图，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，轴建立直角坐标系，
则，，，
由是的角平分线可知，直线的方程为：，
因为，，则，
所以直线的方程为：，
联立方程组，可得，
所以，
因为E是AC的中点，所以，
所以，由两点间距离公式得，，
则DE的长度为.

故选：A.
8. 在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围.
解答过程：由已知得：，即，
所以，又，所以，
由正弦定理得：，
所以，
所以
又
所以由是锐角三角形得：，
，即的取值范围是．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 随机投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，记录朝上一面的点数．设事件“第一次为奇数”，“第二次为奇数”，“两次点数之和为奇数”，则（ ）
A. B. A与互斥C. A与相互独立D.
答案：ACD
解析：
思路：利用古典概型求出，即可判断A；根据互斥事件的定义即可判断B；根据相互独立事件的定义即可判断C；根据事件表示第一次或第二次为奇数，求出此事件的对立事件的概率即可求出，即可判断D.
解答过程：解：由题意可得，
所以，故A正确；
因为事件可以同时发生，故两事件不是互斥事件，故B错误；
因为事件互不影响，所以为相互独立事件，
则，
因为事件表示第一次为奇数且第二次为奇数，
所以，
又，
所以A与相互独立，故C正确；
事件表示第一次或第二次为奇数，
它的对立事件为第一次和第二次都是偶数，
所以，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果互斥，那么D. 如果互斥，那么
答案：ABC
解析：
思路：对于AB，由可得即可；对于CD，由互斥可得即可.
解答过程：对于AB，由可得,
所以,故AB正确；
对于CD，由互斥可得，
所以,故C正确，D错误.
故选：ABC.
11. 在空间中，、为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（ ）
A. B.
C. 当时，平面D. 当平面时，
答案：BC
解析：
思路：做出满足条件的图，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，由此判断B，当点与点的距离无限大时，可得趋向于，排除A，先证明平面，结合，证明 重合，由此证明平面，由平面推出点与点重合，点与点重合，判断D.
解答过程：不失一般性作图如下，
过点作，为垂足，过点作，为垂足，
过点作，，连接，
则，因为二面角为，
所以，由已知，
所以，所以，
故，，B正确；
当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近，
此时趋向于，A错误；
因为，，平面，
所以平面，又平面，所以，
若，不重合，结合，平面，
可得平面，平面，
所以，矛盾，所以重合，
因为，，，平面，
所以平面， 故平面，C正确；
因为平面，若平面，
则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合，
故与的夹角为，D错误，
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为______．
答案：
解析：
思路：利用投影向量的定义求解即可.
解答过程：由题意可知向量在向量上的投影向量为.
13. 若函数为偶函数，则__________.
答案：2
解析：
思路：由偶函数的概念列方程即可求得.
解答过程：∵函数为偶函数
∴
即
又∵,∴
故答案为：
14. 已知函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是__________.
答案：
解析：
思路：由在区间上恰有两个零点，得到在区间上有两个实数解，得到，由得到在上有两个不同的实数解，由的范围得到的范围，从而得到的不等式组，计算出的取值范围.
解答过程：函数在区间上恰有两个零点，
则在区间上有两个实数解，
由可得，
又，故有在上有两个不同的实数解，
而当时，，所以，
解得，即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：（本大题共5小题，共77分）
15. 已知，，且．
（1）求和的值；
（2）求与的夹角的余弦值．
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）根据向量数量积的运算法则直接计算得到，运用转化法求得的值；
（2）通过向量夹角的公式直接计算即可.
（1）因为，
所以，
即，
因为，，
所以，
化简得，；
.
（2）记与的夹角为，
.
所以与的夹角的余弦值为.
16. 已知平面向量，.
（1）若，求的值.
（2）若，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据两向量平行的坐标关系结合二倍角公式列式求解；
（2）根据向量垂直的坐标关系结合两角和的正切公式求解.
（1）∵，且，
∴，
∴，
∴.
（2）∵，且，
∴，
∵若，则，这与矛盾.
∴，∴，∴.
∴.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．

（1）求的体积；
（2）求证：平面；
（3）求证：平面．
答案：（1）2 （2）证明见解析
（3）证明见解析
解析：
思路：（1）利用锥体体积求解即可；
（2）利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直；
（3）利用线线平行证明线面平行即可.
（1）因为在四棱锥中，平面，
由，，，，
所以．
（2）证明：因为，，
所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面．
（3）取的中点为，又为的中点，
所以，且，
所以四边形为平行四边形，即，
又因为平面，平面，
所以平面．
18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，.
（1）证明：平面PAC；
（2）求二面角的大小；
（3）点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）
解析：
思路：（1）求出，由勾股定理逆定理可得，由线面垂直的性质定理可得，再由线面垂直的判定定理得解即可；
（2）先证明是二面角的平面角的补角，再解三角形得解；
（3）证明平面ABCD，可得线面角为，设，利用函数单调性求取值范围即可.
（1），
所以，
所以在中，由余弦定理得
所以，所以
因为底面ABCD，平面ABCD，所以.
又平面PAC，所以平面PAC.
（2）取BP的中点E，过点D作平面PBC，DF交平面PBC于点F，连接CF.
因为平面ABCD，平面PAB，所以平面平面ABCD.
因为平面平面，所以平面PAB.
因为平面PAB，所以.
因为，所以
又BP，平面PBC，，所以平面PBC.
因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC，
所以点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，所以
由（1）知平面PAC，因为平面PAC，所以.
因为平面PBC，平面PBC，所以.
又DF，平面CDF，，所以平面CDF.
因为平面CDF，所以.
由，平面平面，知是二面角的平面角的补角.
由，得.
所以二面角的大小为.
（3）过点T作TG平行于PA，交AC于点G，连接GD.
因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以.
因为，所以.
因为，AB，平面ABCD，所以平面ABCD，
所以TD与底面ABCD所成的角为.
设，所以，即，所以.
所以.
由函数单调递增，得：
所以直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为.
19. 记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）若，的内切圆半径为，求的周长．
答案：（1）
；
（2）由得，
由正弦定理得，
由得，
而且，故．
（3）9
解析：
思路：（1）可将x、y表示为​与​的和、差形式，再利用正弦和角、差角公式展开化简，即可完成证明；
（2）对等式整理，再结合余弦定理化简，之后使用正弦定理将边转化为角的正弦，结合三角形内角和性质，可得角的关系；
（3）结合三角形面积的两种表达，可得，化为，结合（1）可得，由此讨论A的取值范围，即可确定，从而求得答案.
（1）略
（2）略
（3）由于的内切圆半径为，则，
则，
则，
则，
由（1）得，
当时，，而，可得．
当时，，，
此时由得，可知无法取等．
当时，显然等号成立．
当时，注意到，此时，
，．
综上，．此时可知是等边三角形，其周长．