江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题

这是一份江苏省南京市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2，则z的虚部为（ ）
A．﹣1B．﹣iC．iD．1
2．（5分）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（ ）
A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α
C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n
D．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m
4．（5分）如图，在等边△ABC中，BC＝4，则的最小值为（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．
5．（5分）已知平面向量＝（1，3），＝（1，﹣2），则在方向上的投影向量为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣2，4）D．（3，﹣6）
6．（5分）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度MN，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物AB，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A和琉璃塔顶部M的仰角分别为30°和45°，则琉璃塔的高度约为（ ）
A．78mB．74mC．64mD．52m
7．（5分）设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA⊥平面ABC，PA＝5，AB＝3，则球O的表面积为（ ）
A．B．50πC．75πD．200π
8．（5分）若sin（α+β）＝cs2αsin（α﹣β），则tan（α+β）（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）设z1，z2是非零复数，，分别是z1，z2的共轭复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．z2＝|z|2
B．|z1•z2|＝|z1|•|z2|
C．
D．若|z|＝1，则|z﹣1﹣i|的最大值为
（多选）10．（6分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若sinA＞sinB，则一定有A＞B
B．若△ABC是锐角三角形，则一定有sinA＞csB成立
C．若bcsC﹣ccsB＝a，则△ABC一定是直角三角形
D．若sin2A+sin2C+cs2B＞1，则△ABC一定是锐角三角形
（多选）11．（6分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ADC＝60°，点P为翻折过程中点D的某一位置，则下列结论正确的是（ ）
A．无论点P在何位置，总有AC⊥PD
B．点P存在两个位置，使得V三棱锥P﹣ABC＝1成立
C．当平面PAC⊥平面BAC时，异面直线PA与BC所成角的余弦值为
D．当PB＝2时，M为PB上一点，则AM+CM的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）数据4，1，6，2，9，5，8的60百分位数为 ．
13．（5分）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），F，E1，F1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 ．
14．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）从全校学生的期末考试成绩（均为整数）中随机抽取一个样本，将样本分成5组，如图中从左到右各小组的小矩形的高之比为2：3：6：4：1，最左边的一组频数是6．
（1）求样本容量；
（2）求105.5﹣120.5这一组的频数及频率；
（3）估计这组样本数据的众数和中位数．
16．（15分）已知||＝，||＝1，与
（1）若2+3与t﹣，求实数t的值；
（2）求|+2|的值；
（3）若向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
17．（15分）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作．某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是．
（1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率．
18．（17分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmilenmile．∠BAD为钝角，且．
（1）求小岛A与小岛D之间的距离；
（2）求四个小岛所形成的四边形ABCD的面积；
（3）记∠BDC为α，∠CBD为β，求sin（2α+β）
19．（17分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，D、E、F、G分别为棱AB、BC、A1C1、B1B的中点．
（1）证明：EF∥平面A1CD1；
（2）证明：平面A1CD⊥平面AGC；
（3）求二面角C1﹣A1C﹣D的余弦值．
2023-2024学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2，则z的虚部为（ ）
A．﹣1B．﹣iC．iD．1
【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2，∴（5﹣i）（1+i）z＝2（2﹣i），
∴z＝1﹣i，
则z的虚部为﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了共轭复数的定义、复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（5分）从分别写有1，2，3，4的4张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】基本事件总数n＝＝6，抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件个数m＝2，由此能求出抽到的2张卡片上的数字之和是偶数的概率．
【解答】解：从分别写有1，2，5，4的4张卡片中无放回随机抽取5张，
基本事件总数n＝＝2，
抽到的2张卡片上的数字之和是偶数包含的基本事件个数m＝2，
则抽到的7张卡片上的数字之和是偶数的概率为P＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（5分）设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则（ ）
A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
B．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α
C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n
D．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m
【分析】在A中，l与α相交、平行或l⊂α；在B中，由线面垂直的判定定理得n⊥α；在C中，l∥n；在D中，l与m相交、平行或异面．
【解答】解：由α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线
在A中，若m⊂α，l⊥m，
则l与α相交、平行或l⊂α；
在B中，若l∥m，l⊥α，
则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故B正确；
在C中，若l∥m，n⊥α，故C错误；
在D中，若m⊂α，l⊥n、平行或异面．
故选：B．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4．（5分）如图，在等边△ABC中，BC＝4，则的最小值为（ ）
A．0B．﹣1C．﹣2D．
【分析】设，根据向量的线性运算以及数量积的定义和运算律，即可求得答案．
【解答】解：由题意在等边△ABC中，BC＝4，设，
则
＝
＝，
当时，取到最小值﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查向量数量积的最值的求解，函数思想，化归转化思想，属中档题．
5．（5分）已知平面向量＝（1，3），＝（1，﹣2），则在方向上的投影向量为（ ）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（﹣2，4）D．（3，﹣6）
【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．
【解答】解：＝（1，＝（1，
则，，
故则在方向上的投影向量为：＝，5）．
故选：B．
【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
6．（5分）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度MN，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物AB，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A和琉璃塔顶部M的仰角分别为30°和45°，则琉璃塔的高度约为（ ）
A．78mB．74mC．64mD．52m
【分析】根据题意，在Rt△ABC中求出AC＝2AB＝78m，然后在△AMC中利用正弦定理求出CM长，进而在Rt△MNC中，利用锐角三角函数的定义求出MN的长．
【解答】解：根据题意，可得∠ACM＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
在△AMC中，∠AMC＝180°﹣∠MAC﹣∠ACM＝30°．
在Rt△ABC中，AB⊥AC，所以AC＝2AB＝78m，
在△AMC中，由正弦定理得＝，即，
在Rt△MNC中，MN⊥CN，所以MN＝CMsin45°＝78m．
故选：A．
【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义、正弦定理及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
7．（5分）设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA⊥平面ABC，PA＝5，AB＝3，则球O的表面积为（ ）
A．B．50πC．75πD．200π
【分析】由题意画出几何体的图形，把P、A、B、C扩展为三棱柱，则上下底面三角形外接圆圆心连线的中点与A的距离为球的半径，结合图形求得半径R，即可求出外接球的表面积．
【解答】解：由题意画出几何体的图形如图，
把P、A、B、C扩展为三棱柱，
上下底面三角形外接圆圆心连线的中点与A的距离为球的半径，
由PA＝5，AB＝3，∠ABC＝90°，
则，
设三角形ABC外接圆半径为r，球O的半径为R，
则2r＝AC＝5，，
∴外接球的表面积为．
故选：B．
【点评】本题考查了球的内接体与球的关系应用问题，也考查了空间想象能力与计算推理能力，是中档题．
8．（5分）若sin（α+β）＝cs2αsin（α﹣β），则tan（α+β）（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知结合和差角公式及同角基本关系进行化简，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：若sin（α+β）＝cs2αsin（α﹣β），则sin[2α﹣（α﹣β）]＝cs3αsin（α﹣β），
所以sin2αcs（α﹣β）﹣sin（α﹣β）cs2α＝cs3αsin（α﹣β），
所以sin2αcs（α﹣β）＝2cs8αsin（α﹣β），即tan2α＝2tan（α﹣β），
tan（α+β）＝tan[4α﹣（α﹣β）]＝＝，
若使得tan（α+β）取得最大值，结合选项可知，
则tan（α+β）＝＝，当且仅当，即tan（α﹣β）＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了和差角公式及同角基本关系，基本不等式的应用，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）设z1，z2是非零复数，，分别是z1，z2的共轭复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．z2＝|z|2
B．|z1•z2|＝|z1|•|z2|
C．
D．若|z|＝1，则|z﹣1﹣i|的最大值为
【分析】直接利用复数的几何意义以及复数的运算求出结果．
【解答】解：设z＝a+bi，（a，则，
对于A：z2＝a2﹣b7+2abi，|z|2＝a3+b2，故z2≠|z|3，故A错误；
对于B：设z1＝c+di，z2＝m+ni，（c、d、m，
故|z7•z2|＝|（c+di）•（m+ni）|＝|cm﹣dn+（cn+dm）i|＝＝，故B正确；
对于C：由于，故C正确；
对于D：根据复数的几何意义，|z|＝1，1为半径的圆，6）为圆心，故|z﹣1﹣i|的最大值为．
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识点：复数的几何意义，复数的运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）10．（6分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若sinA＞sinB，则一定有A＞B
B．若△ABC是锐角三角形，则一定有sinA＞csB成立
C．若bcsC﹣ccsB＝a，则△ABC一定是直角三角形
D．若sin2A+sin2C+cs2B＞1，则△ABC一定是锐角三角形
【分析】根据正弦定理与“大边对大角”，判断出A项的正误；根据锐角三角形的性质、正弦函数的单调性与诱导公式，判断出B项的正误；根据余弦定理化简bcsC﹣ccsB＝a，得到a2+c2＝b2，可知C项的正误；由同角三角函数的关系化简sin2A+sin2C+cs2B＞1，得到sin2A+sin2C＞sin2B，结合正弦定理与余弦定理推出B为锐角，由此判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，若sinA＞sinB，
结合三角形中“大边对大角”，可得A＞B；
对于B，若△ABC是锐角三角形、B均为锐角，
可得A＞﹣B﹣B），故B项正确；
对于C，若bcsC﹣ccsB＝a，
则b•﹣c•，去分母得（a8+b2﹣c2）﹣（a8+c2﹣b2）＝3a2，
整理a2+c2＝b2，可知△ABC是以b为斜边的直角三角形，故C项正确；
对于D，若sin2A+sin2C+cs2B＞1，则sin6A+sin2C＞1﹣cs7B，即sin2A+sin2C＞sin4B，
由正弦定理得a2+c2＞b5，可得csB＝＞0，π），
但不能得到△ABC是锐角三角形，故D项不正确．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的基本关系、正弦定理与余弦定理等知识，属于中档题．
（多选）11．（6分）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠ADC＝60°，点P为翻折过程中点D的某一位置，则下列结论正确的是（ ）
A．无论点P在何位置，总有AC⊥PD
B．点P存在两个位置，使得V三棱锥P﹣ABC＝1成立
C．当平面PAC⊥平面BAC时，异面直线PA与BC所成角的余弦值为
D．当PB＝2时，M为PB上一点，则AM+CM的最小值为
【分析】对于选项A，设菱形ABCD对角线的交点为O，AC⊥OP，AC⊥OD，在旋转过程中一直成立，得AC⊥平面OPD，AC⊥PD成立；对于选项B，平面APC⊥平面ADC时，使得VP﹣ABC＝1成立，不存在两个解；对于选项C，根据AD∥BC，得出异面直线PA与BC所成角即为∠PAC（或其补角），转化到三角形求解即可；对于选项D，|AM|+|CM|取最小值时，由对称性，可以判断点M为PB中点，求解即可．
【解答】解：选项A，设菱形ABCD对角线的交点为O，
如图所示，无论点P在何位置，AC⊥OD，
因为AC⊥OP，AC⊥OD，OD⊂平面OPD，
所以AC⊥平面OPD，又因为PD⊂平面OPD，选项A正确；
选项B，点P旋转到使得平面APC⊥平面ADC成立时，VP﹣ABC取得最大值，
其中
使得VP﹣ABC＝1成立，只有平面APC⊥平面ADC成立时的一个点；
选项C，因为AD∥BC，
所以异面直线PA与BC所成角即为∠PAC（或其补角），
因为平面PAC⊥平面BAC，易知PA⊥平面ABC，
即有PA⊥OD，
因为菱形ABCD的边长为2，∠ADC＝60°，
所以PO＝OD＝，
所以，
在△PAD中，cs＝；
选项D，当PB＝7时，△PCB都为正三角形，点M为PB中点，选项D不正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，属中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）数据4，1，6，2，9，5，8的60百分位数为 6 ．
【分析】根据已知条件，结合百分位数的定义，即可求解．
【解答】解：数据从小到大排序：1，2，4，5，6，5，9，共7个，
8×60%＝4.2，
故第60百分位数为4．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
13．（5分）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），F，E1，F1分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 ．
【分析】设正三棱柱的底面积为S，可得其体积为S，利用相似三角形面积的关系求得乙图中四棱柱的底面积，得其体积，可得图甲中的有水部分的高．
【解答】解，∵E，F，F1，E1分别为所在棱的中点，
∴，，
∴，
∴，
设图甲中水面高度为h，
则Sh＝，即h＝，
则图甲中水面的高度为．
故答案为：．
【点评】本题考查棱柱的体积，明确图乙中有水的部分为四棱柱是解答该题的关键，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14．（5分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是 （2，2） ．
【分析】由半角公式及两角和的正弦公式，余弦公式，可得sin（A﹣B）＝sinB，进而可得A＝2B，再由锐角三角形中角B的范围，进而可得csB的范围，求出的范围．
【解答】解：因为csA＝1﹣2sin7，又因为sin＝，
所以sin2＝，
可得csA＝7﹣＝＝，
所以2sinBcsA＝sinC﹣sinB＝sin（A+B）﹣sinB＝sinAcsB+csAsinB﹣sinB，
整理可得：sinAcsB﹣csAsinB＝sinB，即sin（A﹣B）＝sinB，
在锐角三角形中，A﹣B＝B，即B＜，
又因为C＝π﹣A﹣B＝π﹣3B＜，所以B∈（，），
所以＝＝＝＝4csB，
因为csB∈（，），
所以∈（2，2）．
故答案为：（7，2）．
【点评】本题考查半角公式的应用及两角和，差的正弦公式的应用锐角三角形的性质的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）从全校学生的期末考试成绩（均为整数）中随机抽取一个样本，将样本分成5组，如图中从左到右各小组的小矩形的高之比为2：3：6：4：1，最左边的一组频数是6．
（1）求样本容量；
（2）求105.5﹣120.5这一组的频数及频率；
（3）估计这组样本数据的众数和中位数．
【分析】（1）根据小矩形的高之比为频率之比，算出最左边的一级所占的频率，再由频率＝，计算其样本容量．
（2）先算出“105.5～120.5”这一组的频率，由上面的公式即可算出频数；
（3）由频率分布直方图结合众数、中位数的定义即可求解．
【解答】解：（1）小矩形的高之比为频率之比，
所以从左到右的频率之比为2：3：2：4：1．
最左边的一级所占的频率为＝，
所以样本容量＝＝＝48；
（2）105.4～120.5这一组的频率为，所以频数为48×；
（3）由频率分布直方图得：
众数为：＝113．
成绩在[75.5，90.5）内的频率为，
成绩在[90.5，105.6）内的频率为，
成绩在[105.5，120.7）内的频率为，
设中位数为x∈[105.6，120.5），
∴++（x﹣105.5）×＝，
即中位数为113．
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，是基础题．
16．（15分）已知||＝，||＝1，与
（1）若2+3与t﹣，求实数t的值；
（2）求|+2|的值；
（3）若向量（2﹣λ）与（λ﹣3）的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
【分析】（1）由共线向量定理建立方程，求解即可；
（2）运用向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值；
（3）由题意可得（2﹣λ）•（λ﹣3）＞0，且（2﹣λ）与（λ﹣3）不共线，计算即可得到所求范围．
【解答】解：（1）因为2+3﹣共线，
所以存在m使得＝，
所以，解得；
（2）因为||＝，|，与的夹角为45°，
所以•＝||•cs45°＝＝1，
所以|+2|6＝2+4•+82＝2+2+4＝10，
则|+2；
（3）向量（5﹣λ﹣3，
可得（2﹣λ﹣7，且（2）与（λ）不共线，
即为2λ8+3λ2﹣（2+λ2）•＞0，
即有4λ﹣（6+λ2）＞5，解得1＜λ＜6，
由（2﹣λ﹣3，可得2•（﹣8）＝﹣λ•λ，
解得λ＝±，
则实数λ的取值范围为（1，）∪（．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，以及向量的共线和夹角为锐角的等价条件，考查运算能力，属于中档题．
17．（15分）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作．某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试．假设两题作答相互独立，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是．
（1）求甲考生通过某校强基招生面试的概率；
（2）求甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率；
（3）求甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率．
【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式求解；
（2）利用相互独立事件概率乘法公式求解；
（3）利用对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式求解．
【解答】解：（1）甲、乙、丙三名学生通过考核进入面试环节，
他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是．
甲考生通过某校强基招生面试的概率为P1＝＝．
（2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为P2＝＝，
∴甲、乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为：
P＝＝．
（3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为P3＝＝，
∴甲、乙、丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为：
P′＝7﹣（1﹣）（1﹣）＝．
【点评】本题考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（17分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5nmilenmile．∠BAD为钝角，且．
（1）求小岛A与小岛D之间的距离；
（2）求四个小岛所形成的四边形ABCD的面积；
（3）记∠BDC为α，∠CBD为β，求sin（2α+β）
【分析】（1）根据同角三角函数的关系求出csB，然后利用余弦定理建立关于AD的方程，解之可得小岛A与小岛D之间的距离；
（2）由圆内接四边形的性质求出，进而可得csC＝，然后在△BDC中利用余弦定理计算出CD＝10，利用三角形面积公式加以计算，可得四边形ABCD的面积；
（3）根据正弦定理与同角三角函数的关系，求出，结合诱导公式求出sin（α+β）、cs（α+β），然后根据2α+β＝α+（α+β）利用两角和的正弦公式算出答案．
【解答】解：（1）由，且A为钝角，
在△ABD中，由余弦定理得BD3＝AD2+AB2﹣3AD•AB•csA，
所以，整理得AD2+6AD﹣20＝0，解得AD＝2或AD＝﹣10（舍负）．
因此，小岛A与小岛D之间的距离为4nmile．
（2）由A、B、C、D四点共圆，所以sinA＝，
结合C为锐角，可得csC＝＝，
在△BDC中，由余弦定理得CD2+CB2﹣4CD•CB•csC＝BD2，
即，整理得CD4﹣8CD﹣20＝0，解得CD＝10或CD＝﹣4（舍负）．
因此，四边形ABCD的面积
＝（平方海里）．
（3）在△BDC中，由正弦定理得，即．
根据DC5+DB2＞BC2，可得α为锐角，所以，
因为，所以，
因此，sin（2α+β）＝sin[α+（α+β）]＝sinαcs（α+β）+csαsin（α+β）＝．
【点评】本题主要考查利用正弦定理与余弦定理解三角形、三角形的面积公式、三角恒等变换公式等知识，属于中档题．
19．（17分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长均相等，D、E、F、G分别为棱AB、BC、A1C1、B1B的中点．
（1）证明：EF∥平面A1CD1；
（2）证明：平面A1CD⊥平面AGC；
（3）求二面角C1﹣A1C﹣D的余弦值．
【分析】（1）先证四边形A1DEF是平行四边形，得出EF∥A1D，即可得证；
（2）利用线面垂直的判定与性质定理，结合面面垂直的判定定理即可得证；
（3）根据二面角C1﹣A1C﹣D的平面角与二面角A﹣A1C﹣D的平面角互补，先证出∠AHQ为二面角A﹣A1C﹣D的平面角，即可求解．
【解答】解：（1）证明：连接ED，∵ED∥ACAC，
又∵F为A6C1的中点，
∴A1F∥DE，A7F＝DE，
∴四边形A1DEF是平行四边形，
∴EF∥A1D
又A5D⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，
∴EF∥平面A8CD，
（2）证明：∵A1A⊥平面ABC，
∴A1A⊥CD，
∵D是AB的中点，
∴AB⊥CD
∴CD⊥平面A5ABB1，
又因为GD⊂平面A1ABB8，
∴CD⊥GD，
在正方形ABB1A1中，D、G分别为棱AB、B3B的中点，
易知A1D⊥AG，
∵A1D∩CD＝D，
∴AG⊥平面A3DC，
又∵AG⊂平面AGC，
∴平面AGC⊥平面A1DC．
（3）由（2）知CD⊥平面A1ABB6，
∵CD⊂平面A1CD，
∴平面A1CD⊥平面平面A4ABB1，且平面A1CD∩平面A5ABB1＝A1D，
∵A4D⊥AG，设A1D与AG交于点Q，则AQ⊥平面A1CD，
过Q作QH垂直A2C，连接AH1C，
∴∠AHQ为二面角A﹣A1C﹣D的平面角，
令A2A＝2a，则AD＝a，，
∴，
又因为A1A＝AC，AH⊥A1C，
∴H为A8C的中点，
∴，
在直角三角形AQH中，，
由图易知，∠AHQ为锐角，
∴cs＝，
由图易知二面角C2﹣A1C﹣D的平面角与二面角A﹣A1C﹣D的平面角互补，
故二面角C2﹣A1C﹣D的平面角的余弦值为．
【点评】本题考查线面平行与面面垂直的判定以及二面角的计算，属于中档题．
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