2025--2026学年江苏省南京市中华中学高一下学期6月期末考试数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏省南京市中华中学高一下学期6月期末考试数学试题-含解析试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则的实部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 某区，，，4所学校共有2000名学生，且4所学校的学生人数之比为．若用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，则学校应抽取的人数为（ ）
A. 60B. 56C. 44D. 40
4. 已知内角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
6. 某5个数据的样本平均数为3，方差为2．现增加一个数据3，则这6个数的方差为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知内角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ）
A. B. C. D. 的面积为
11. 如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为2的正方形，则（ ）

A. ∥平面
B. 平面平面
C. 与平面所成角为
D. 若正四面体可在内任意转动，则该正四面体棱长的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知一组数据，，，，，则这组数据的极差为______，百分位数为______．
13. 已知，，则______．
14. 在中，，．若，，且，交于点，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）当时，求；
（2）证明：，．
16. 已知内角所对的边分别为，，，且．
（1）求的面积；
（2）若，求．
17. 为统计某企业管理层年龄结构，从该企业各部门中随机抽取100人作为样本，得到频率分布直方图如图所示．
（1）求该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率；
（2）求该样本数据的中位数；
（3）若该企业管理层共300人，试估计该企业管理层中35岁以下的人数．
18. 在中，试解决以下问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求：
①；
②的最大值．
19. 如图，在圆柱中，，分别是下底面和上底面的圆心，截面过圆柱的轴．为底面圆的直径，为底面圆周上异于，的一点，是圆柱的母线，为中点，且．

（1）证明：平面；
（2）若，二面角的平面角的正弦值为，
①求与平面所成角的正弦值；
②点为面内一动点，且三棱锥的体积为，求点轨迹的长度．
数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知，则的实部为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因，则，
则的实部为1.
2. 已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先计算的坐标，再利用平面向量共线的坐标充要条件列方程求解.
解答过程：由，，得.
因为，所以，整理得，解得.
3. 某区，，，4所学校共有2000名学生，且4所学校的学生人数之比为．若用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，则学校应抽取的人数为（ ）
A. 60B. 56C. 44D. 40
答案：C
解析：
思路：应用分层抽样计算求解.
解答过程：因为某区，，，4所学校共有2000名学生，且4所学校的学生人数之比为．
所以用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，则学校应抽取的人数为.
4. 已知内角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先利用三角形内角和定理求出角C，再结合两角和的正弦公式计算，最后利用正弦定理求得边的值.
解答过程：由三角形内角和为，得 .
则 .
由正弦定理，得.
5. 如图，正三棱柱的侧棱长为4，底面正三角形的边长为3，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
答案：A
解析：
解答过程：因为在正三棱柱 中，，
所以异面直线 与 所成的角即为直线 与 所成的角.
连接 ，在 中， 由题意可知，底面正三角形边长为 ，侧棱长为 ， 所以 .
在 中，.
同理，在 中，.
由余弦定理可得： .
因为异面直线所成角的范围是 ，且 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .
6. 某5个数据的样本平均数为3，方差为2．现增加一个数据3，则这6个数的方差为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先根据原样本的方差计算离均差平方和，结合新增数据与原平均数相等的特征，计算新样本的方差.
解答过程：设原5个数据为，
已知原平均数，原方差，根据方差公式：，可得：，
增加数据3后，6个数据的总和为，新平均数：，平均数与原数据相同，
新数据的离均差平方和为原平方和加上新增数据的离均差平方，即总和仍为10，
新方差：.
7. 已知，，复数，在复平面内对应的点分别为，，，，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：根据复数的几何意义，由，，分析得关于原点对称，因此有，再利用平面向量的三角形法则与数量积的运算性质，将所求问题转化为平面向量数量积的最值问题.
解答过程：因为复数对应的点为，
且，所以点在以O为圆心，1为半径的圆上，
又，所以为圆的直径，即关于原点对称，
所以.
因为，
所以 .
又，，，
则，
所以.
即的最小值为，所以的最小值为.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：根据条件，得到，再利用余弦的倍角公式及齐次式，即可求解.
解答过程：因为，则，所以，则，
所以.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，则下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D.
答案：BCD
解析：
思路：设，利用复数的运算和模的运算求解，逐项判断.
解答过程：解：设，则，
所以，，则，故A错误；
，
，所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，所以，
而，所以，故D正确
故选：BCD
10. 已知内角，，所对的边分别为，，，，，，则（ ）
A. B. C. D. 的面积为
答案：ABD
解析：
思路：由余弦定理结合已知条件求得，从而求得，判断A；根据正弦定理对进行边角互化得，从而求得，判断B；求出的值，判断C；求出的面积，判断D.
解答过程：选项A：由余弦定理得，
所以，
化简得，即，
又，故，故A正确.
选项B，由题意得，
由正弦定理得，所以，故B正确.
选项C，由，得，
所以，所以，故C错误.
选项D，由题意得的面积为，故D正确.
11. 如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为2的正方形，则（ ）

A. ∥平面
B. 平面平面
C. 与平面所成角为
D. 若正四面体可在内任意转动，则该正四面体棱长的最大值为
答案：ACD
解析：
思路：利用线面平行的判定推理判断A；利用二面角的定义判断B；利用定义求出线面角判断C；求正八面体的内切球的半径，即正四面体的外接球半径，进而求正四面体的棱长，即可判断D.
解答过程：对于A，由正八面体，得四边形为正方形，，
而平面，平面，因此∥平面，故A正确；
对于B，由，平面平面，
得平面，而平面，令平面平面，
因此，取的中点，连接，
由都是正三角形，得，
则，因此是二面角的平面角，
又，是锐角，
因此平面与平面不垂直，故B错误；

对于C，由四棱锥为正四棱锥，取的中点为，连接，
则平面，所以为与平面所成角，
由四边形是边长为2的正方形，所以，
又为正三角形，所以，
所以，所以，
所以与平面所成角为，故C正确；

对于D，由正四面体可在内任意转动，
得棱长最大的四面体外接球是正八面体的内切球，设该球半径为，
而，
又，则，
设正四面体的棱长为，则其高，
由正四面体外接球半径为，得，
即，解得
，因此该正四面体棱长的最大值为，故D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知一组数据，，，，，则这组数据的极差为______，百分位数为______．
答案： ①. ②.
解析：
解答过程：数据从小到大为，所以这组数据的极差为，
又，所以百分位数为.
13. 已知，，则______．
答案：
解析：
思路：将已知式两边平方，并求和，结合同角三角关系式及两角差的余弦公式可得.
解答过程：由，，
得，且.
两式相加得，
即，所以.
14. 在中，，．若，，且，交于点，则______．
答案：
解析：
思路：选择互相垂直的为基底，根据分点关系表示相关向量，结合交点的共线性质列方程求出参数后代入数量积运算即可.
解答过程：由题设得，，，以为平面一组基底进行运算，
由，得 ，
由，得为中点，故.
因在上，设， 又在上，
设，
根据基底表示的唯一性，对应系数相等得t4=1−s3t4=s2，解得.
又，且，
故.
代入，得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，．
（1）当时，求；
（2）证明：，．
答案：（1）
（2）由，所以
；
由
.
解析：
思路：（1）先计算，再根据复数的乘法运算计算即可；
（2）根据复数的乘法运算结合三角恒等变换即可得证.
（1）当时，，
所以；
（2）由，所以
；
由
.
16. 已知内角所对的边分别为，，，且．
（1）求的面积；
（2）若，求．
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）结合余弦定理与已知边的等量关系求边长，再用面积公式计算；
（2）利用中线的向量性质求解长度.
（1）由，，得，
根据余弦定理，将，，
代入得： ，化简得，解得，
则，又，
故面积： ；
（2）由得为中点，故，
两边平方得： ，
代入，，，
得： ，
故.
17. 为统计某企业管理层年龄结构，从该企业各部门中随机抽取100人作为样本，得到频率分布直方图如图所示．
（1）求该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率；
（2）求该样本数据的中位数；
（3）若该企业管理层共300人，试估计该企业管理层中35岁以下的人数．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据给定的频率分布直方图求出，进而求出频率.
（2）利用频率分布直方图估计中位数.
（3）利用频率及频数的关系求解.
（1）由频率分布直方图，得，解得，
所以该样本中企业管理层年龄不小于40岁的频率为.
（2）由（1）知该样本数据的中位数，则，
解得，所以该样本数据的中位数为.
（3）由频率分布直方图知，该企业管理层中35岁以下的频率约为，
所以该企业管理层中35岁以下的人数约为.
18. 在中，试解决以下问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求：
①；
②的最大值．
答案：（1）
（2）①；②
解析：
思路：（1）根据给定条件，逆用和角的正切公式计算得解.
（2）①利用和角的正切公式求解；②由给定条件，利用基本不等式求出最大值.
（1）在中，由，得，
.
（2）①在中，由，得，
因此，而，
所以.
②由①知，则，
，得，则，
因此
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是.
19. 如图，在圆柱中，，分别是下底面和上底面的圆心，截面过圆柱的轴．为底面圆的直径，为底面圆周上异于，的一点，是圆柱的母线，为中点，且．

（1）证明：平面；
（2）若，二面角的平面角的正弦值为，
①求与平面所成角的正弦值；
②点为面内一动点，且三棱锥的体积为，求点轨迹的长度．
答案：（1）因为为底面圆的直径，为底面圆周上异于，的一点，
所以，又为中点，所以，所以.
又是圆柱的母线，所以底面，平面，
所以，又平面，
所以平面.
（2）①
②
解析：
思路：（1）根据线面垂直的判定定理，结合圆柱的性质证明；
（2）①根据二面角平面角的正弦值为，计算出的长度，作出与平面所成的角，通过解三角形求解；
②根据三棱锥的体积为，求出点到平面的距离，判断出点的轨迹求解.
（1）略
（2）①因为平面平面，因为平面平面，
作于，则平面，
过点作于，连，
因为平面，所以，又，
所以平面，平面，所以，
所以为二面角的平面角，且为锐角，如图（1）.
如图（2），设，则，
因为，所以，得，
.
在中，，
又，所以，得，

因为，可得，
，
解得，所以.
由（1）知平面，平面，
所以平面平面，如图，作，
则平面，连，则为与平面所成的角.
在中，，
由，得.
在中，.

②设到平面的距离为，，
，所以.
因为平面与平面不平行，而平面，
所以点的轨迹为平面内与平行的线段，长度等于的长度，
故点的轨迹长度为.