2025--2026学年江苏南京师范大学附属中学高二下学期期中考试数学试题-含解析

这是一份2025--2026学年江苏南京师范大学附属中学高二下学期期中考试数学试题-含解析试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 的展开式中含项的系数为（ ）
A. 1B. 6C. 15D. 20
5. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ）
A. 144B. 114C. 94D. 78
6. 如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（ ）
A. B. 1C. D. 2
7. 生活中常常会因为谐音闹误会，数学课上，某同学会把“复数”和“负数”听混淆．已知老师说“复数”时，学生理解为“负数”的概率为；老师说“负数”时，学生理解为“复数”的概率为．假设在评讲试卷时，老师说“复数”和“负数”是等可能的，已知学生理解的是“负数”，则此时老师说的是“复数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 市物价部门对五家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的数据如表所示：
用最小二乘法求得经验回归方程为，相关系数，则（ ）
A.
B. 变量，相关性较强
C. 相对于点的残差为1
D. 当时，的估计值为152
10. 已知100只灯泡中存在只不合格品，从中一次任取10只，记取出的灯泡中不合格品的个数为，恰含有2只不合格品的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 当时，取到最大值
11. 在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则平面与平面夹角的余弦值为
B. 若，则平面平面
C. 若，则点到直线的距离的最小值为
D. 存在唯一有序实数对，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________．
13. 圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________．
14. 五声音阶是中国传统音乐的基础音阶结构，按音高从低到高的顺序分别是宫、商、角、徵、羽．甲、乙两位同学进行“辨音”练习，甲随机弹奏五声音阶中的3个不同音符，乙按顺序说出是哪三个音符．由于乙是初学者，不能正确分辨绝对音高及相差音程（指音高间的差距），只能正确分辨所听音符的相对音高．已知甲依次弹奏了徵、角、羽三个音，乙根据听到的相对音高关系，按顺序猜测这三个音．用表示乙的猜测结果与甲弹奏的音在相同位置一致的个数，则__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某中国服装品牌为了解国内、外客户对该品牌服饰的态度，在国内和国外分别选择100人开展抽样调查，绘制了如图所示的等高条形图．等高条形图是一种用于展示两个分类变量之间关系的统计图表，其核心特点是所有条形的高度相同，通过颜色或图案区分不同类别，从而直观反映各组内百分比的差异．

（1）填写下面的列联表：
（2）判断是否有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关．
附：，
16. 已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比为．
（1）求的值；
（2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合；
（3）记展开式中所有奇数项的系数之和为，偶数项的系数之和为，求．
17. 甲、乙两人进行“跳跳棋”游戏，游戏规则如下：每人制作一个质地均匀的正四面体骰子，每面上自己写一个非负整数，每个数字代表棋子前进的步数．游戏开始后，每人掷骰子，根据底面的点数移动棋子，直至棋子到达或超过终点格后结束游戏，以最终掷骰子次数少的获胜．已知甲的骰子上写着“1、1、2、2”，乙的骰子上写着“0、1、2、3”，游戏开始时，棋子的起点均在第0格，终点均设在第4格．
（1）记表示甲在游戏结束时的抛掷次数，求的概率分布列及数学期望；
（2）求在甲掷3次骰子结束游戏的条件下，乙获胜的概率．
18. 如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，．
（1）证明：平面；
（2）已知二面角是，，点到平面的距离为．
①求；
②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19. 已知个盒子排成一排，每个盒子中均装有除颜色以外完全相同的1个黑球和1个白球，备用盒子中装有除颜色以外完全相同的个黑球和个白球．试验规则如下：先从备用盒子中，随机摸出一球，放入第1个盒子，再从第1个盒子中随机摸出一球放入第2个盒子，接着从第2个盒子中随机摸出一球放入第3个盒子，…，以此类推，直至从第个盒子中随机摸出一球，第一轮试验结束．

（1）若，，，记第一轮试验结束时装有1个黑球和1个白球的盒子的数量为，求；
（2）若，记从第个盒子中摸出黑球的概率为，其中，，，．
①求；
②当第一轮试验结束后，将含有同色球的盒子取走，剩下的盒子按原来的顺序重新排成一排，若盒子全部取走，则试验结束，否则将备用盒的黑、白球数量复原，重复第一轮操作，以此类推，求第三轮试验结束且只剩一个盒子的概率．
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 下列图中，线性相关性系数最大的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
思路：由点的分布特征可直接判断
解答过程：观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1.
故选：A
2. 若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
解答过程：设直线与平面所成角为，
则.
3. 已知随机变量，且，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用正态分布的对称性、二项分布的期望公式列式计算即得.
解答过程：由，，得，
由，得，因此，解得.
故选：B
4. 的展开式中含项的系数为（ ）
A. 1B. 6C. 15D. 20
答案：C
解析：
思路：由，利用二项式定理求解即可.
解答过程：化简得到，
展开式通项为，
令，得到，代入得到，
故展开式中含项的系数为.
5. 某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ）
A. 144B. 114C. 94D. 78
答案：B
解析：
思路：使用先分组后分配，间接法求解.
解答过程：将5位同学分为三组并分配到三种模型共有：种方法，若小李和小赵调研同一种模型共有：种方法，
所以若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为：种方法.
6. 如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（ ）
A. B. 1C. D. 2
答案：B
解析：
思路：设，利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，由可知，即可求出，进而得出线段的长度.
解答过程：由题意，因为点为棱的中点，
所以，
又因为点为棱的中点，点在棱上，
设，
所以，
因为，，，
所以，，，
因为，
所以，
所以，
所以，解得，
因为，所以.
7. 生活中常常会因为谐音闹误会，数学课上，某同学会把“复数”和“负数”听混淆．已知老师说“复数”时，学生理解为“负数”的概率为；老师说“负数”时，学生理解为“复数”的概率为．假设在评讲试卷时，老师说“复数”和“负数”是等可能的，已知学生理解的是“负数”，则此时老师说的是“复数”的概率为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：利用全概率公式和条件概率公式计算可得结果.
解答过程：设老师说“复数”为事件，学生理解为“负数”为事件，
则，,
，
，
则学生理解的是“负数”，此时老师说的是“复数”的概率为.
8. 若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先根据题意，将平面的方程化为的形式，从而得到该平面的法向量及经过的点坐标，再应用向量法求点面距，结合球体的特征确定球半径最小值，进而求其表面积的最小值即可．
解答过程：由平面的方程可化为，
则平面的一个法向量为，且过点，
又球经过点，则，
所以点到平面的距离为，
所以球半径最小值为，故球表面积的最小值为．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分．
9. 市物价部门对五家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的数据如表所示：
用最小二乘法求得经验回归方程为，相关系数，则（ ）
A.
B. 变量，相关性较强
C. 相对于点的残差为1
D. 当时，的估计值为152
答案：ABD
解析：
思路：根据最小二乘法、残差、相关系数等知识逐项计算判断即可.
解答过程：对于A，由题意得，.
因为用最小二乘法求得经验回归方程为，所以.
解得，A正确；
对于B，因为相关系数，其绝对值大小非常接近1，所以变量，相关性较强，B正确；
对于C，相对于点的残差为，C错误；
对于D，当时，的估计值为，D正确.
10. 已知100只灯泡中存在只不合格品，从中一次任取10只，记取出的灯泡中不合格品的个数为，恰含有2只不合格品的概率为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则
D. 当时，取到最大值
答案：BCD
解析：
思路：根据超几何分布的定义、概率公式及期望公式判断ABC；由题意列不等式结合组合数公式计算求解判断D.
解答过程：对于A，由题意可知随机变量服从超几何分布，故A错误；
对于B，由超几何分布的概率公式可得，故B正确；
对于C，由超几何分布的期望公式可得，所以，故C正确；
对于D，由超几何分布的概率公式可得，
取得最大值，也即是取最大，
所以，解得，故，
所以当时，取到最大值，故D正确.
11. 在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则平面与平面夹角的余弦值为
B. 若，则平面平面
C. 若，则点到直线的距离的最小值为
D. 存在唯一有序实数对，使得
答案：BC
解析：
思路：先根据题意建立空间直角坐标系，再求出平面的法向量，进而根据二面角的向量求法即可判断选项A；利用空间向量证明面面平行即可判断选项B；根据点到直线距离的向量求法即可判断选项C；根据题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，点在以为圆心，为半径的圆上，再数形结合可判断D．
解答过程：依题意，以为坐标原点，以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
由正方体的棱长为，且点为棱的中点，
则，，，，，，，
对于A，若，，则，即点与点重合，即，
则，，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，即，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，即，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为，故A错误；
对于B，若，则，即，
则，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，即，
结合选项A知平面的法向量为，
所以，即，即平面平面，故B正确；
对于C，若，则，与三点共线，即在线段上，
设，，则，
则，，
所以点到直线的距离为，
所以当，即为线段的中点时，点到直线的距离取最小值，且最小值为，故C正确；
对于D，易知与均垂直于平面，连接，，
则，，若，则，
所以点在以为圆心，为半径的圆上，
若，则，则点在以为圆心，为半径的圆上（均为侧面内部），
两圆的圆心距，故两圆弧相交（如图所示），
故符合条件的点有两个，对应的有两组，故D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________．
答案：
解析：
思路：根据向量投影向量的计算公式，结合已知条件列出关于的方程，求解的值.
解答过程：，，
，
，
在上的投影向量为，
所以，.
13. 圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________．
答案：
解析：
思路：建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求解.
解答过程：设上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，以下底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则由已知有，
连接，因为，所以，所以，
所以，
即.
14. 五声音阶是中国传统音乐的基础音阶结构，按音高从低到高的顺序分别是宫、商、角、徵、羽．甲、乙两位同学进行“辨音”练习，甲随机弹奏五声音阶中的3个不同音符，乙按顺序说出是哪三个音符．由于乙是初学者，不能正确分辨绝对音高及相差音程（指音高间的差距），只能正确分辨所听音符的相对音高．已知甲依次弹奏了徵、角、羽三个音，乙根据听到的相对音高关系，按顺序猜测这三个音．用表示乙的猜测结果与甲弹奏的音在相同位置一致的个数，则__________．
答案：
解析：
解答过程：表示乙的猜测结果与甲弹奏的音（徵、角、羽）在相同位置一致的个数，的可能值为0，1，2，3.
乙猜测三个音的所有可能顺序有种；
甲弹奏的顺序是徵、角、羽，则乙猜测的顺序与甲完全不同的情况有：角、羽、徵和羽、徵、角共2种，则；
乙猜测的顺序与甲只有一个位置相同的情况有：徵、羽、角，羽、角、徵和角、徵、羽，共3种，则；
若乙猜测的顺序与甲有两个位置相同，则第三个位置也必然相同，所以不存在只有两个位置相同的情况，即；
乙猜测的顺序与甲完全相同的情况只有徵、角、羽，则；
.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某中国服装品牌为了解国内、外客户对该品牌服饰的态度，在国内和国外分别选择100人开展抽样调查，绘制了如图所示的等高条形图．等高条形图是一种用于展示两个分类变量之间关系的统计图表，其核心特点是所有条形的高度相同，通过颜色或图案区分不同类别，从而直观反映各组内百分比的差异．

（1）填写下面的列联表：
（2）判断是否有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关．
附：，
答案：（1）答案见解析
（2）有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关．
解析：
思路：（1）根据题中信息得出列联表；
（2）根据（1）中数据计算卡方，结合附表进行判断.
（1）（2）：假设对该品牌服饰的态度与国内外差异无关，
则，
答：有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关．
16. 已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比为．
（1）求的值；
（2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合；
（3）记展开式中所有奇数项的系数之和为，偶数项的系数之和为，求．
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）根据展开式的通项公式求出第6项系数与第4项系数，根据题意列方程即可求出答案；
（2）根据且求出，即可求出答案；
（3）根据二项式的展开式列出，设，则，，通过赋值法求出和即可求出答案.
（1）展开式的通项公式为，
由题意得，即，解得.
（2）由（1）得展开式的第项为，
所以由题意得且，解得，
所以的取值集合为.
（3）由（1）得展开式的第项为，
所以，
，
设多项式，其系数，
则，，
令，则，令，则，
所以.
17. 甲、乙两人进行“跳跳棋”游戏，游戏规则如下：每人制作一个质地均匀的正四面体骰子，每面上自己写一个非负整数，每个数字代表棋子前进的步数．游戏开始后，每人掷骰子，根据底面的点数移动棋子，直至棋子到达或超过终点格后结束游戏，以最终掷骰子次数少的获胜．已知甲的骰子上写着“1、1、2、2”，乙的骰子上写着“0、1、2、3”，游戏开始时，棋子的起点均在第0格，终点均设在第4格．
（1）记表示甲在游戏结束时的抛掷次数，求的概率分布列及数学期望；
（2）求在甲掷3次骰子结束游戏的条件下，乙获胜的概率．
答案：（1）分布列：
期望；
（2）解析：
思路：（1）的可能取值为2，3，4，分别求出概率即可求出分布列，利用期望公式即可求出答案；
（2）设“甲掷3次骰子结束游戏”，“乙掷2次骰子结束游戏”，根据事件与是相互独立的得到，求出即可求出答案.
（1）的可能取值为2，3，4，
当两次结束时，两次均需掷出2，
所以，
当四次结束时，前三次需掷出1，最后一次无所谓，
所以，
所以的分布列为：
的期望.
（2）“在甲掷3次骰子结束游戏的条件下，乙获胜”等价于“在甲掷3次骰子结束游戏的条件下，乙掷2次骰子结束游戏”，
设“甲掷3次骰子结束游戏”，“乙掷2次骰子结束游戏”，
因为事件与是相互独立的，故，
乙掷出的点数情况有种情况，
符合题意的点数可以为，
故，
所以在甲掷3次骰子结束游戏的条件下，乙获胜的概率为.
18. 如图，在以顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，．
（1）证明：平面；
（2）已知二面角是，，点到平面的距离为．
①求；
②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
答案：（1）证明见解析
（2）①；②存在，
解析：
思路：（1）作，由面面垂直的性质定理得到面，进而得出，结合，证得平面；（2）①建立空间直角坐标系，根据点到面的距离公式，求出，②求面和面的法向量，根据二面角的向量公式求出的值.
（1）过点作的垂线，设垂足为，即有，
因为，面，
面面，面面，
所以面，
又因为面，所以，
因为四边形是矩形，所以，
所以，
因为，，
，面，面，
所以面.
（2）因为面，面，
所以，又因为，
所以是二面角的平面角，即，
所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
由已知得，，设，，则，，
且由得，
①设面的法向量为，则有
即有
令，则，，
所以，
又，所以点到平面的距离.
即，又因为，
所以可解得，因此；
②设，则，
即有，且，
设面的法向量为，则有
即有
令，则，，
即，
由已知是面的一个法向量，
所以，
解得．
19. 已知个盒子排成一排，每个盒子中均装有除颜色以外完全相同的1个黑球和1个白球，备用盒子中装有除颜色以外完全相同的个黑球和个白球．试验规则如下：先从备用盒子中，随机摸出一球，放入第1个盒子，再从第1个盒子中随机摸出一球放入第2个盒子，接着从第2个盒子中随机摸出一球放入第3个盒子，…，以此类推，直至从第个盒子中随机摸出一球，第一轮试验结束．

（1）若，，，记第一轮试验结束时装有1个黑球和1个白球的盒子的数量为，求；
（2）若，记从第个盒子中摸出黑球的概率为，其中，，，．
①求；
②当第一轮试验结束后，将含有同色球的盒子取走，剩下的盒子按原来的顺序重新排成一排，若盒子全部取走，则试验结束，否则将备用盒的黑、白球数量复原，重复第一轮操作，以此类推，求第三轮试验结束且只剩一个盒子的概率．
答案：（1）
（2）①；②.
解析：
思路：（1）先确定所有可能的操作路径，判断每个路径下装有1黑1白的盒子数量，结合古典概型计算对应概率，再根据期望公式计算；
（2）①先求初始的，即从备用盒摸黑球的概率，再建立和的递推关系，通过递推关系求解的通项；
②先计算单个盒子在一轮试验后保留（即仍为1黑1白）的概率，再确定第三轮结束只剩1个盒子的概率，得到剩余盒子数服从二项分布，从而计算得到结果.
（1）由，，，得有2个盒子排成一排，每个盒子中装有的1个黑球和1个白球；备用盒子中装有1个黑球.
对于任意1个盒子，放入1个球，再摸出1个球，
若放入黑球，盒子内装有2黑1白，此时摸出黑球的概率为，摸出白球的概率为，盒子内装有1黑1白的概率为；
若放入白球，盒子内装有1黑2白，此时摸出黑球的概率为，摸出白球的概率为，盒子内装有1黑1白的概率为；
则，，；
.
（2）①由（1）可得，；
，；
，即.
②对于任意1个盒子，放入1个球，再摸出1个球，
若放入黑球，盒子变为2黑1白，此时摸出黑球的概率为，摸出白球的概率为，盒子被保留的概率为；
若放入白球，盒子变为1黑2白，此时摸出黑球的概率为，摸出白球的概率为，盒子被保留的概率为；
因此，在每一轮试验中，每个盒子独立地以概率被保留，以概率被取走.
对于不同盒子，由于每次摸球独立且传球的随机性不会破坏独立性，故盒子结果相互独立.因此，每一轮结束后，每个盒子以概率保留，经过三轮，每个盒子最终存活概率为，则三轮试验结果，剩余盒子数服从二项分布.
.
9
9.5
10
10.5
11
120
100
70
60
50
乐观
不乐观
合计
国内代表
国外代表
合计
0.050
0.010
0.005
3.841
6.635
7.879
9
9.5
10
10.5
11
120
100
70
60
50
乐观
不乐观
合计
国内代表
国外代表
合计
0.050
0.010
0.005
3.841
6.635
7.879
乐观
不乐观
合计
国内代表
60
40
100
国外代表
40
60
100
合计
100
100
200
2
3
4
2
3
4