北师大版（2024）四年级上册（2024）数学好玩 数图形的学问课后测评

这是一份北师大版（2024）四年级上册（2024）数学好玩 数图形的学问课后测评，共100页。试卷主要包含了核心知识梳理，典型例题精讲，分层专项练习题，公式法与找规律，变式应用等内容，欢迎下载使用。
2026秋季新版 · 北师大版四年级上册数学
数学好玩 · 数图形的学问
专项训练（含完整参考答案）
配合课堂练习 · 家庭同步巩固 · 可直接打印
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一、核心知识梳理
（一）鼹鼠钻洞问题（教材P77）
情景：有4个洞口，任选一个洞口进入，从另一个洞口钻出。
问：一共有多少条不同的路线？
方法1（按起点分类）：
- 从A出发：A→B, A→C, A→D → 3条
- 从B出发：B→C, B→D → 2条（B→A与A→B重复，不重复计数）
- 从C出发：C→D → 1条
- 合计：3+2+1 = 6条
方法2（按线段长度分类）：
- 长度为1段的：AB, BC, CD → 3条
- 长度为2段的：AC, BD → 2条
- 长度为3段的：AD → 1条
- 合计：3+2+1 = 6条
核心方法：有序计数，按起点或按长度分类，不重不漏。
（二）菜地旅行——单程票问题（教材P78）
情景：5个站点，单程票需要准备多少种不同的车票？
（单程票：从A到B和从B到A算同一种票，因为只去不回）
抽象为线段图：5个站点 → 5个点，任意两点之间连一条线段。
有多少条线段？（即数线段的总数）
- 按起点分类：从第1个点出发4条 + 第2个点出发3条 + 第3个点出发2条 + 第4个点出发1条
- = 4 + 3 + 2 + 1 = 10条
结论：5个站点的单程票共需10种。
（三）核心规律——n个点的线段总数
n个点中任意两点之间连一条线段（任意两点之间不重复），线段总数公式：
线段总数 = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = (n-1) × n ÷ 2
推导：n个点，从每个点出发可连(n-1)条线段，共n×(n-1)条，但每条线段被重复算了2次(AB和BA)，所以除以2。
举例：
n=2个点 → 1条线段 → (2-1)×2÷2 = 1
n=3个点 → 1+2=3条线段 → (3-1)×3÷2 = 3
n=4个点 → 1+2+3=6条线段 → (4-1)×4÷2 = 6
n=5个点 → 1+2+3+4=10条线段 → (5-1)×5÷2 = 10
n=6个点 → 1+2+3+4+5=15条线段 → (6-1)×6÷2 = 15
（四）有序计数方法总结
二、典型例题精讲
【例题1】鼹鼠钻洞问题（教材P77）
题目：地面上有4个洞口（标为A、B、C、D），任选一个洞口进入，从另一个洞口钻出。一共有多少条不同的路线？
标准解题步骤：
第1步：理解——从A→B和从B→A算同一条路线（两个洞口之间的往返算一条）。
第2步：用线段图表示，4个洞口→4个点A、B、C、D在一条线上。
第3步：按起点分类
从A出发：AB、AC、AD → 3条
从B出发：BC、BD → 2条（A→B已经算过）
从C出发：CD → 1条
从D出发：已全部算过 → 0条
第4步：求和：3+2+1 = 6（条）。
答：一共有6条不同的路线。
丢分提醒：①不要漏掉两端点之间的长路线。②不要重复数（AB和BA算一条）。③有序计数时固定起点顺序（从左到右）。
【例题2】菜地旅行——单程票问题（教材P78）
题目：有5个站点（A、B、C、D、E），单程票需要准备多少种不同的车票？
标准解题步骤：
第1步：理解——单程票只去不返，A→B和B→A只需要一张票。
第2步：抽象成5个点A、B、C、D、E在一条线上，等同于数5个点之间的线段总数。
第3步：按起点分类
从A出发：AB、AC、AD、AE → 4条
从B出发：BC、BD、BE → 3条
从C出发：CD、CE → 2条
从D出发：DE → 1条
从E出发：无 → 0条
第4步：求和：4+3+2+1 = 10（种）。
答：单程票需要准备10种。
丢分提醒：①注意是"单程票"还是"往返票"——往返票是单程票的2倍。②5个点对应5个站点，不要把站点数弄错。
【例题3】多方法验证——用公式法验证
题目：用公式法验证例题2的结果：10种车票。
标准解题步骤：
n=5个站点 → 线段总数 = (n-1)×n÷2 = 4×5÷2 = 10
与按起点分类的结果(4+3+2+1=10)一致，验证通过。
【例题4】拓展：往返票问题
题目：如果5个站点需要准备"往返票"（A→B和B→A各一张），需要多少种票？
标准解题步骤：
往返票 = 单程票 × 2 = 10 × 2 = 20（种）
或者直接用排列公式：n×(n-1) = 5×4 = 20（种）。
答：往返票需要20种。
丢分提醒：区分"单程"和"往返"——单程票数=线段总数，往返票数=排列数=n×(n-1)。
三、分层专项练习题
① 基础过关（建议用时：10分钟）
一、数线段（在下面的点子图中数一数有多少条线段）。
1. 下图有3个点A、B、C在一条直线上，一共有（ ）条线段。
A ·────── B ·────── C ·
线段名称：________、________、________
2. 下图有4个点在同一条直线上，一共有（ ）条线段。
A ·────── B ·────── C ·────── D ·
用按起点分类的方法写出所有线段：
从A出发：________、________、________
从B出发：________、________
从C出发：________
合计：______ + ______ + ______ = ______ 条
3. 下图有5个点在同一条直线上，一共有（ ）条线段。
A ·──── B ·──── C ·──── D ·──── E ·
用按线段长度分类的方法计算：
长度1段：______条 长度2段：______条
长度3段：______条 长度4段：______条
合计：______条
二、实际应用。
4. 鼹鼠钻洞问题（教材P77）：地面上有4个洞口，任选一个进入、另一个钻出，
一共有（ ）条不同的路线。
5. 菜地旅行（教材P78）：有5个站点，单程票需要准备（ ）种不同的车票。
② 能力提升（建议用时：15分钟）
三、多个点不在一条直线上的情况。
6. 下面有5个点（四边形ABCD的对角线交点O），一共有多少条线段？
提示：任意两个点之间都可以连一条线段。
A
/ \
B · O · C（假想位置，实际五点不共线）
一共有（ ）条线段。
四、公式法与找规律。
7. 补全下表（n个点在一条直线上，线段总数）：
8. 不用画图，直接计算：
(1) 8个点在一条直线上，一共有（ ）条线段。
算式：________________________________________
(2) 10个站点在一条公交线路上，单程票需要准备（ ）种车票。
算式：________________________________________
(3) 12个点在一条直线上，一共有（ ）条线段。
算式：________________________________________
五、变式应用。
9. 6个站点(A~F)在一条铁路线上，列车往返于各站点之间。
(1) 需要准备多少种单程票？______ 种
(2) 需要准备多少种往返票？______ 种
10. 一个平面内有7个点，任意三点都不在同一条直线上。
(1) 这些点两两相连，一共可以连（ ）条线段。
(2) 如果这些点构成的图形中，只有一个三角形，那么至少要去掉（ ）条边。
③ 拓展培优（选做）
11. 数长方形的个数：下图中一共有（ ）个长方形。
提示：先数横向的线段数，再数纵向的线段数，长方形个数 = 横向线段数 × 纵向线段数。
┌───┬───┬───┐
│ │ │ │
├───┼───┼───┤
│ │ │ │
└───┴───┴───┘
12. 数三角形的个数：下面这个"金字塔"图中有（ ）个三角形。
/\\
/__\\
/\\ /\\
/__\\/__\\
提示：分3层数：底层(1) + 中层(2) + 上层(3) = ______
13. 数角的个数：从O点出发的5条射线OA、OB、OC、OD、OE（按顺序排列），
一共有（ ）个小于180°的角。（提示：类比数线段。）
14. 聚会握手问题：10个小朋友见面，每两人握一次手，一共握（ ）次手。
（提示：每个人与其余9人握手，但互握只算一次。类比"数线段"。）
★ 本单元动手操作专项（必做）
（以下操作题100%源自2026新版四上课本课堂活动与课后练习）
操作题1：在点子图上画出所有线段（教材P77-P78）
题目：下面有5个点A、B、C、D、E在同一条直线上，请按分类方法逐一画出所有线段，写出线段名称并编号。
要求：(1) 将点用线段连接；(2) 每条线段标注名称（如AB、AC等）；(3) 按"从A出发→从B出发→从C出发→从D出发"顺序编号。
A ·────── B ·────── C ·────── D ·────── E ·
标注：请在上述图中画出以下线段并编号：
编号1-4：从A出发的线段：AB(__)、AC(__)、AD(__)、AE(__) → 共______条
编号5-7：从B出发的线段：BC(__)、BD(__)、BE(__) → 共______条
编号8-9：从C出发的线段：CD(__)、CE(__) → 共______条
编号10：从D出发的线段：DE(__) → 共______条
总计：______条线段
验证（公式法）：n=5, (n-1)×n÷2 = (5-1)×5÷2 = ______×______÷2 = ______
操作题2：给6个站点画单程票路线图
题目：有6个公交站点A、B、C、D、E、F分布在一条线路上。
要求：(1) 画出6个点的位置（等距排列）
(2) 用不同颜色的笔画出从每个起点出发的所有路线
(3) 在下方表格中记录每条路线。
A ·──── B ·──── C ·──── D ·──── E ·──── F ·
路线记录表（按起点分类填入所有单程票）：
路线总数 = ______ 种单程票
验证（公式法）：n=6, (n-1)×n÷2 = ______
操作题3：用表格法记录有序计数过程
题目：有A、B、C、D四个点（在同一平面内，无三点共线），
任意两点之间连一条线段，一共有多少种连接方式？
要求：用表格法记录所有可能的线段（有序），并计算总数。
填表（在空格处填入线段名称）：
按行合计：第1行 ______ 条 + 第2行 ______ 条 + 第3行 ______ 条 + 第4行 ______ 条 = ______ 条
验证（公式法）：n=4, (n-1)×n÷2 = ______
四、完整详细参考答案
▎①基础过关 答案
1. 3条。线段名称：AB、BC、AC（1+2=3）。
2. 6条。线段名称：AB、AC、AD；BC、BD；CD。合计：3+2+1=6条。
3. 10条。按长度分：1段4条(AB,BC,CD,DE)；2段3条(AC,BD,CE)；3段2条(AD,BE)；4段1条(AE)。合计：4+3+2+1=10条。
4. 6条。解法：4个洞口→4个点→线段总数=3+2+1=6。
5. 10种。5个站点→5个点→线段总数=4+3+2+1=10。
▎②能力提升 答案
6. 5个点不共线时：从每个点出发连4条，但每条重复算2次→(5×4)÷2=10条。或者按组合数C(5,2)=10。
7. 补全表格：
点数4 → 1+2+3 → 6
点数5 → 1+2+3+4 → 10
点数6 → 1+2+3+4+5 → 15
8. (1) 8个点：(8-1)×8÷2 = 28条
(2) 10个站点：(10-1)×10÷2 = 45种
(3) 12个点：(12-1)×12÷2 = 66条
9. (1) 单程票：5+4+3+2+1=15种（6-1)×6÷2=15
(2) 往返票：15×2=30种
10. (1) 7个点任意三点不共线：C(7,2)=7×6÷2=21条
(2) 要只剩一个三角形(3条边)，需去掉21-3=18条边。
▎③拓展培优 答案
11. 横向4个点→横向线段数=3+2+1=6；纵向3个点→纵向线段数=2+1=3。长方形总数=6×3=18个。
12. 金字塔图三角形个数：底3层→
第1层(底)：3+2+1=6个
第2层(中)：2+1=3个
第3层(顶)：1个
合计：6+3+1=10个。
13. 5条射线：类比5个点的线段数=4+3+2+1=10个角。
14. 10人握手：C(10,2)=10×9÷2=45次。
▎动手操作专项 参考答案与绘图规范
操作题1：5个点画线段图完整解答
从A出发：AB、AC、AD、AE → 共4条
从B出发：BC、BD、BE → 共3条
从C出发：CD、CE → 共2条
从D出发：DE → 共1条
总计：4+3+2+1=10条线段
验证（公式法）：n=5, (5-1)×5÷2 = 4×5÷2 = 20÷2 = 10
绘图规范：①5个点等距排列在一条直线上 ②从每个起点出发画出所有连线 ③不同起点用不同颜色笔区分 ④每条线段标注名称
操作题2：6个站点路线图完整解答
按起点分类：
A出发：AB, AC, AD, AE, AF → 5条
B出发：BC, BD, BE, BF → 4条
C出发：CD, CE, CF → 3条
D出发：DE, DF → 2条
E出发：EF → 1条
F出发：0条
路线总数：5+4+3+2+1 = 15种单程票
验证（公式法）：n=6, (6-1)×6÷2 = 5×6÷2 = 15
绘图规范：①6个点等距排列 ②用不同颜色标注从不同起点出发的路线 ③路线表每行按序填写
操作题3：表格法有序计数完整解答
表格填法：
A行 → B, C, D → 3条
B行 → C, D → 2条（BA已算过不重复）
C行 → D → 1条
D行 → 无 → 0条
合计：3+2+1=6条
验证（公式法）：n=4, (4-1)×4÷2 = 3×4÷2 = 6
表格规范：①表头标注"起点"和"可连接点" ②逐行填写，已出现的线段不重复 ③每行小计最后填入合计栏
五、教师&家长辅导小贴士
▎本单元动手操作题高频丢分点
① 遗漏长线段 — 学生只数了相邻点之间的短线段，忘记跨点之间的长线段。按起点分类法可避免。
② 重复计数 — 没有固定起点顺序，乱数一通。必须从左到右（或从第一个点到倒数第二个点）有序计数。
③ 混淆"单程"和"往返" — 线段总数=单程票数，往返票=单程票×2。做题时圈出关键词。
④ 线段图不标名称 — 画了线段但不写AB、AC等标识，容易漏数或重数。
⑤ 公式用错 — n×(n-1)÷2 中分母2漏写，或者把n和n-1的位置搞反。
▎画图规范要点
· 线段图：点用实心圆"·"表示，两点之间用直线连接并在旁边标注名称。
· 等距排列：各点之间保持均匀间距，便于观察。
· 颜色区分：不同起点的线段用不同颜色画，便于计数和检查。
· 表格记录：表头清晰，数据对齐，合计行用粗线分隔。
▎辅导实操小方法
1.【从生活出发】先从实际场景导入——让孩子想象公交站牌（5个站点之间需要几种车票），再用牙签模拟线段图。
2.【从小到大递进】先做n=3（3条），再做n=4（6条），n=5（10条），n=6（15条），让孩子自己发现规律1+2+3+...+(n-1)。
3.【颜色分级法】给每个起点的线段用不同颜色画——A出发用红笔，B出发用蓝笔，C出发用绿笔...一目了然。
4.【公式推导法】不要直接给公式！让孩子观察：n=3 → 1+2=3，n=4 → 1+2+3=6...问：n=10怎么办？引出(n-1)×n÷2公式。
5.【类比迁移】把数线段、数角、握手问题、车票问题放在一起对比——让孩子发现"本质相同，都是组合问题C(n,2)"。
6.【桌面游戏】准备6个棋子摆成一条线，问：需要几种直连的方式？让孩子动手连接、计数、填表，最后用公式验证。
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本文档严格依据2026秋季新版北师大版四年级上册数学「数学好玩·数图形的学问」教材编写
仅供课堂教学与家庭辅导使用方法
思路
适用场景
举例(4个点)
按起点分类
从第1个点开始数到倒数第2个点(n-1)+...+1
任意数线段
3+2+1=6
按线段长度分类
长度为1的有n-1条，长度为2的有n-2条...
直观理解时
3+2+1=6
公式法
(n-1)×n÷2
快速计算大量点
(4-1)×4÷2=6
按终点分类
从第2个点开始到最后一个点1+2+...+(n-1)
验证方法
1+2+3=6
点数n
线段总数的算式
线段总数
2
1
1
3
1+2
3
4
1+2+3
____
5
________________
____
6
________________
____
起点
线路1
线路2
线路3
线路4
线路5
小计(条)
A
B
C
D
E
F
起点
可连接点
可连接点
可连接点
本行合计
A
B
C
D