山东省淄博市周村区2025-2026学年八年级下学期期末（五四制） 数学试题（含解析）

这是一份山东省淄博市周村区2025-2026学年八年级下学期期末（五四制） 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 计算的结果是（ ）
A. 6B. C. D. 36
3. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
4. 如图，，若，，，则的长度是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
5. 如图，在平行四边形中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，过，两点作直线，与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
6. 如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
7. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A. 5B. 6C. D.
8. 如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在正方形中，与相交于点，的平分线分别交、于、两点．如果，那么线段的长为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边，使点A与点F在直线同侧，交于点G，交于点H．给出下面四个结论：①；②；③若，则；④若，则四边形是菱形．
上述结论中，正确的序号是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④
二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分）
11. 计算的结果是__________.
12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________．
13. 已知线段是的黄金分割点，且，那么____．
14. 如图，在矩形中，，分别为，的中点， 则的值为__________．

15. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______．
三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16. 计算：
（1）（2）
17. 解方程：
（1）（2）
18. 如图，中，为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
19. 关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围．
20. 如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接交于点．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
21. 某超市于今年年初以元/件的进价购进一批商品，当商品售价为元/件时，一月份销售了件，二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了件．
（1）求二、三月份销售量的月平均增长率．
（2）四月份，超市决定在三月份销售量的基础上采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价元，销售量增加件，当每件商品降价多少元时，商场当月获利元？
22. 在中，，点是上一点，过点作于点．
（1）如图1，证明：；
（2）已知平分，点是上一点，与交于点，，．
①如图2，当时，求的值；
②如图3，当点为的中点时，求的值．
23. 【探究活动】如图，是的中线，点在上，交于点．
（1）当时，求的值；
（2）当时，则_________；（用含的代数式表示）
【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：中，，是的中线，点在直线上，射线交于点．若，，时，求的值．
数学
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填在题后的括号内，每小题4分，共40分）
1. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0．根据二次根式有意义的条件计算即可．
解答过程：解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故选：A．
2. 计算的结果是（ ）
A. 6B. C. D. 36
答案：A
解析：
思路：本题考查了算术平方根，熟记算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义计算即可．
解答过程：解：．
故选：A．
3. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A. 2B. 4C. D.
答案：D
解析：
思路：本题考查一元二次方程的解的定义，掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键．
把代入一元二次方程中即可解得的值．
解答过程：解：把代入一元二次方程中得：，
解得：．
故选：D．
4. 如图，，若，，，则的长度是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
答案：B
解析：
思路：本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
解答过程：解：∵，
∴，
即，
∴，
故选：B．
5. 如图，在平行四边形中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，过，两点作直线，与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为（ ）
A. 6B. 8C. 10D. 12
答案：C
解析：
思路：勾股定理求出的长，中垂线的性质，得到，进而推出，同理得到，即可得出结果.
解答过程：解：∵，，，
∴，
由作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∴，
同理可得，
∴四边形的周长为.
6. 如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为8，则的周长为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
答案：D
解析：
思路：根据位似的性质得到，，则可证明，，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案．
解答过程：解：∵与位似，点为位似中心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的周长为8，
∴的周长为4．
7. 如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为（ ）
A. 5B. 6C. D.
答案：C
解析：
思路：证明△ABE∽△CDE，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．
解答过程：解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△CDE，
∴=2，
∴，
故选：C．
方法提示：本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
8. 如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为，当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：本题考查相似的性质和判定，设长边，短边，O离地面的距离为h，由相似的性质得到、和之间的关系并求解，即可解题．
解答过程：解：设长边，短边，O离地面的距离为h，
根据相似得：
，
由得：，解得，
故选：A．
9. 如图，在正方形中，与相交于点，的平分线分别交、于、两点．如果，那么线段的长为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：过点作于点，根据正方形性质和等腰直角三角形判定求出、的长，利用角平分线性质求出的长，进而得到正方形边长和对角线长，最后利用相似三角形性质求出的长．
解答过程：解：过点作于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得．
10. 如图，在等边中，点D，E分别是边、上的动点，且．以为边作等边，使点A与点F在直线同侧，交于点G，交于点H．给出下面四个结论：①；②；③若，则；④若，则四边形是菱形．
上述结论中，正确的序号是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④
答案：D
解析：
思路：本题主要考查等边三角形的性质、菱形的判定及相似三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、菱形的判定及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解．
解答过程：解：∵，都是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，故④正确；
故选D．
二、填空题：请将最终结果填入题中的横线上（每小题4分，共20分）
11. 计算的结果是__________.
答案：3
解析：
思路：根据二次根式的除法计算即可.
解答过程：解：，
故答案为3．
方法提示：本题考查了二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解题关键.
12. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________．
答案：
解析：
思路：根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值.
解答过程：解：对于一元二次方程，二次项系数为，一次项系数为，常数项为，
∵方程有两个相等的实数根，
∴根的判别式，
整理得，
解得.
13. 已知线段是的黄金分割点，且，那么____．
答案：
解析：
思路：本题考查黄金分割，熟知黄金分割比值是解答的关键，注意线段长度关系．
根据黄金分割的定义，可得，即可求解．
解答过程：解：∵是的黄金分割点，且 ，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
14. 如图，在矩形中，，分别为，的中点， 则的值为__________．

答案：##
解析：
思路：此题考查矩形的性质，三角形中位线定理．连接，利用三角形中位线定理得出，进而利用矩形的性质解答即可．
解答过程：解：连接，

四边形是矩形，
，
，分别为，的中点，
是是中位线，
，
，
故答案为：．
15. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______．
答案：
解析：
思路：过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可．
解答过程：解：过点作，则：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
方法提示：本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形．
三、解答题．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16. 计算：
（1）（2）
答案：（1）

（2）解析：
（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
17. 解方程：
（1）（2）
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）采用因式分解法求解；
（2）移项后采用因式分解法求解；
（1）解：，
因式分解得，
∴或，
解得：；
（2）解：，
移项得，
提取公因式得，
整理得，
∴或，
解得：．
18. 如图，中，为边上一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
答案：（1）
证明：∵，，
∴．
（2）．
解析：
思路：本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判断方法是解题的关键．
（1）根据两角分别相等的两个三角形相似即可证明；
（2）先根据相似三角形性质即可求出的长．
（1）略
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得：(负值已舍)．
19. 关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程的实数根均为非负数，求的取值范围．
答案：（1）
∵，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解析：
思路：本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元一次不等式的应用．解题的关键在于正确的解方程．
（1）根据，进行作答即可；
（2）由，解得，，由方程的实数根均为非负数，可得，计算求解即可．
（1）略
（2）解：∵，
∴，
解得，，，
∵该方程的实数根均为非负数，
∴，
解得，，
∴m的取值范围为．
20. 如图，在平行四边形中，延长至点，使，连接交于点．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
答案：（1）
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
．
（2）解析：
思路：（1）由平行四边行的性质可得，再证，即可求证；
（2）可证，可得，结合平行四边形的性质，即可求解．
（1）略
（2）解：四边形是平行四边形
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
方法提示：本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，掌握三角形相似的模型：“”字形和“”字形的判定方法是解题的关键．
21. 某超市于今年年初以元/件的进价购进一批商品，当商品售价为元/件时，一月份销售了件，二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了件．
（1）求二、三月份销售量的月平均增长率．
（2）四月份，超市决定在三月份销售量的基础上采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价元，销售量增加件，当每件商品降价多少元时，商场当月获利元？
答案：（1）二、三月份销售量的月平均增长率是；
（2）当商品降价元时，商场当月获利元．
解析：
思路：()设二、三这两个月的月平均增长率为，一月份销售件，每次增长的百分率为，则第一次增长后为，第二次增长后为，即，解方程即可求解；
()设降价元，根据单个商品的利润销售量总利润列方程即可求解；
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）解：设二、三这两个月的月平均增长率为，
则，
解得 ， (不合题意，舍去)，
答：二、三月份销售量的月平均增长率是；
（2）解：设降价元，
依题意可得，，
整理得，，
解得， (不合题意，舍去)，
答：当商品降价元时，商场当月获利元．
22. 在中，，点是上一点，过点作于点．
（1）如图1，证明：；
（2）已知平分，点是上一点，与交于点，，．
①如图2，当时，求的值；
②如图3，当点为的中点时，求的值．
答案：（1）见解析 （2）①，②
解析：
思路：本题主要考查全等三角形的判定和性质，角平分的性质定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意可证，由此即可求证；
（2）①在中，运用勾股定理可得，根据垂直的定义可得即，可证，由此即可求解；②根据，平分，由角平分线的性质定理可得，可证，由（1）可知，可得，过点作，与延长线交于点，如图，则，可证，得到，则，由相似三角形的性质即可求解．
（1）证明：，
，
，
又，
，
，即；
（2）解：①在中，，
平分，
，
，，
，即，
，
；
②，，平分，
，
又，，
，
，则，
由（1）可知，则，且，
，
解得，
过点作，与延长线交于点，如图，则，
，，
又点是的中点，即，
，
，
，则，
．
23. 【探究活动】如图，是的中线，点在上，交于点．
（1）当时，求的值；
（2）当时，则_________；（用含的代数式表示）
【解决问题】请利用探究活动的经验或结论解决问题：中，，是的中线，点在直线上，射线交于点．若，，时，求的值．
答案：[探究活动]（1）;
（2）[解决问题] 的值为或
解析：
思路：本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中线的性质
[探究活动]（1）过点作交于点，利用，，根据相似三角形的性质，即可求解．
（2）同（1）过点作交于点，利用，，根据相似三角形的性质，即可求解；
[解决问题] 由射线交于点可知，点有可能在线段上，有可能在线段延长线上，所以分两种情况讨论，再利用（2）的结论得出的值，进而根据相似三角形的性质求得直角三角形的边长，最后勾股定理，即可求解．
解答过程：（1）如图，过点作交于点，
，
，
，
又是的中线，
（2）同（1）可得，
，
又是的中线，
故答案为：．
[解决问题] 分两种情况，
①当点在线段上时，如图所示，过作交于点，则，
，，
，
由（2）可得，
∴，
∵
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，；
②当点在线段延长线上时，如图所示，过点作交的延长线于点
，，则，
，
，，
，
又是的中线，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
在中，，
综上所述：的值为或．