2023-2024学年山东省淄博市周村区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市周村区八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.化简 (−5)2的正确结果为( )
A. 5B. −5C. ±5D. 25
2.下列各组图形一定相似的是( )
A. 两个直角三角形B. 两个菱形C. 两个矩形D. 两个等边三角形
3.下列运算正确的是( )
A. 2+ 9= 11B. 3 2− 2=2 2
C. 2 5÷ 10=1D. 2×1 2=12
4.已知关于x的一元二次方程x2−2x+a=0有两个相等的实数根，则实数a的值是( )
A. −1B. 1C. 2D. 3
5.用配方法解方程x2−6x−1=0，若配方后结果为(x−m)2=n，则n的值为( )
A. −10B. 10C. −3D. 9
6.如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA=3，AC=5，则ABCD=( )
A. 38
B. 58
C. 35
D. 53
7.如图，在△ABC中，中线AD与中线BE相交于点G，联结DE.下列结论成立的是( )
A. DG=13AG
B. BGEG=DEAB
C. S△DEGS△AGB=14
D. S△CDES△AGB=12
8.在矩形ABCD内作正方形AEFD(如图所示)，矩形的对角线AC交正方形的边EF于点P.如果点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，且PE=2，那么PF=( )
A. 5−12
B. 3− 52
C. 5+1
D. 5−1
9.如图，点D、E分别在△ABC边AB、AC上，ABAD=AECE=3，且∠AED=∠B，那么ADAC的值为( )
A. 12
B. 13
C. 14
D. 23
10.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点H，F分别在边AD，BC上，点E，G在对角线AC上.如果四边形EFGH是菱形，那么线段AH的长为( )
A. 52B. 3C. 5D. 2 2
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.如果x2=y3(x≠0)，那么x+yy=______.
12.计算： 2× 8=______.
13.如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，连接BE并延长，交CD的延长线于点F.若AB=2，BC=4，AEDE=2，则BF的长为__________.
14.如图，在△ABC中，∠C=90∘，正方形EFGH的边FG在△ABC的边AB上，顶点E，H分别在边AC，BC上，若AF⋅BG=18，则正方形EFGH的边长的值为______.
15.如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E，过点E作BE的垂线，交边AD于点F，如果AB=3，BC=5，那么DF的长是______.
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k−2=0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．
四、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：
(1) 18− 3× 23；
(2)( 5+12−1)⋅ 5+12.
18.(本小题10分)
解下列方程：
(1)x2−2x−3=0；
(2)(2x+3)2=(3x+2)2.
19.(本小题10分)
已知x= 5+1，y= 5−1，求下列各式的值：
(1)x2−y2；
(2)x2+xy+y2
20.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，过点B作BE//AD交CD于点E，点F为AD边上一点，AF=BE，连接EF.
(1)求证：四边形ABEF为矩形；
(2)若AB=6，BC=3，CE=4，求ED的长.
21.(本小题12分)
已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且AD=AB，边BC的垂直平分线EF交边AC于点E，BE交AD于点G.
(1)求证：△BDG∽△CBA；
(2)如果△ADC的面积为180，且AB=18，DG=6，求△ABG的面积.
22.(本小题13分)
如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD于点F，∠DCE=∠ADB.
(1)求证：AB⋅BC=BF⋅CE；
(2)如果AD=3DE=6.
①求CF的长；
②若BD=10，求CD的长.
23.(本小题13分)
已知：四边形ABCD和AEFG都是正方形.
(1)如图1，若点C在对角线AF上，则DGCF的值为______；(直接写结果)
(2)将正方形AEFG绕点A逆时针旋转α(0∘<α<180∘).
①如图2，连接CF，DG.DGCF的值是否改变？若不改变，写出理由；若改变，写出新的值及理由；
②当BC=3，α=135∘时，CF交AD于点M，DG交AE于点N，且CMMF=DNNG=12，求DG的长.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：原式= 25=5；
故选：A.
先计算出被开方的值，根据二次根式的意义解答．
本题主要考查了根据二次根式的意义化简，二次根式 a2规律总结：当a≥0时， a2=a；当a≤0时， a2=−a.
2.【答案】D
【解析】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴两个等边三角形一定是相似形，
又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，
∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，
故选：D.
如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．
3.【答案】B
【解析】解：A、 2和 9=3不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、3 2− 2=2 2，故本选项正确，符合题意；
C、2 5÷ 10= 2，故本选项错误，不符合题意；
D、 2×1 2=1，故本选项错误，不符合题意；
故选：B.
根据二次根式的加减法法则以及二次根式的乘除法法则逐项分析即可．
本题主要考查了二次根式的加减乘除运算．根据二次根式的加减乘除运算法则计算，即可求解．
4.【答案】B
【解析】解：∵一元二次方程x2−2x+a=0有两个相等的实数根，
∴(−2)2−4×1×a=0，
解得：a=1，
故选：B.
根据方程有两个相等的实数根，根的判别式等于0列式求解即可得到答案；
本题考查一元二次方程根与判别式的关系，掌握根与根的判别式的关系是关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵x2−6x−1=0，
∴x2−6x=1，
∴x2−6x+9=1+9，
即(x−3)2=10，
∴n=10.
故选：B.
利用配方法将方程x2−6x−1=0配成(x−m)2=n，然后求出n的值即可．
本题主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，
∴△OAB∽△OCD，
∴ABCD=OAOC=33+5=38.
故选：A.
利用位似性质得到△OAB∽△OCD，然后根据相似三角形的性质求解．
本题考查了位似变换：位似的两图形两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行(或共线).
7.【答案】C
【解析】解：AD，BE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB，DE=12AB，
∴△DEG∽△ABG，
∴DG：AG=DE：AB=1：2，BG：EG=AB：DE，S△DEGS△AGB=(DEAB)2=14，
∴DG=12AG，
∵BG：EG=AB：DE=2：1，
∴GB：BE=2：3，
∴S△AGB：S△AEB=2：3，
∵AE=EC，
∴S△AEB=12S△ABC，
∴S△AGB=13S△ABC，
∵△CDE∽△CBA，
∴S△CDES△ABC=(DEAB)2=14，
∴S△CDE=14S△ABC，
∴S△CDESABG=34，
结论成立的是S△DEGS△AGB=14，
故选：C.
由AD，BE是△ABC的中线，得到DE是△ABC的中位线，推出△DEG∽△ABG，△CDE∽△CBA，由相似三角形的性质即可解决问题．
本题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形的性质．
8.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，四边形AEFD为正方形，
∴∠PFC=∠PEA=90∘，DF=AE，
∵∠CPF=∠APE，
∴△PFC∽△PEA，
∴PFPE=CFAE=CFDF，
∵点F恰好是边CD的黄金分割点(DF>FC)，PE=2，
∴PF2= 5−12，
∴PF= 5−1.
故选：D.
结合已知条件易证得△PFC∽△PEA，DF=AE，则PFPE=CFAE=CFDF，根据点F恰好是边CD的黄金分割点可得PF2= 5−12，求解即可．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，黄金分割，熟练掌握黄金分割比的值是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵ABAD=AECE=3，
∴设AB=3a，AD=a，AE=3b，CE=b，则AC=4b，
∵∠AED=∠B，∠DAE=∠CAB，
∴△DAE∽△CAB，
∴ADAC=AEAB，
即a4b=3b3a，
解得ab=2，
∴ADAC=a4b=14×2=12，
故选：A.
根据题意，可以先设AB=3a，AD=a，AE=3b，CE=b，再根据题意可以得到△DAE∽△CAB，然后即可得到ADAC的值．
本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】A
【解析】解：连接FH交AC于O，如图：
∵四边形EFGH是菱形，
∴FH⊥AC，OF=OH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠D=90∘，AD//BC，
∴∠ACB=∠CAD，
在△AOH与△COF中，
∠CAD=∠ACB∠AOH=∠COFOH=OF，
∴△AOH≌△COF(AAS)，
∴AO=CO，
Rt△ABC中，AB=2，BC=4，
∴AC= AB2+BC2= 22+42=2 5，
∴AO=12AC= 5，
∵∠CAD=∠HAO，∠AOH=∠D=90∘，
∴△AOH∽△ADC，
∴AHAC=AOAD，
即AH2 5= 54，
∴AH=52，
故选：A.
连接FH交AC于O，易证得△AOH≌△COF(AAS)，可得OA=OC，由勾股定理求得AC的长，求得OA的长，证△AOH∽△ADC，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质、勾股定理、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识．准确作出辅助线是解此题的关键．
11.【答案】53
【解析】解：∵x2=y3(x≠0)，
∴xy=23，
∴x+yy
=xy+1
=23+1
=53，
故答案为：53.
根据x2=y3(x≠0)，可以得到xy=23，然后将所求式子变形，再将xy=23代入计算即可．
本题考查比例的性质，解答本题的关键是明确题意，求出xy的值．
12.【答案】4
【解析】解：原式= 2×8= 16=4.
故答案为：4
原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．
此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，AB//CD，
∴△ABE∽△DFE，
∴ABDF=AEDE=2，
∴DF=12AB=1，
∴CF=3，
∴BF= BC2+CF2= 42+32=5，
故答案为：5.
根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
14.【答案】3 2
【解析】解：∵四边形EFGH是正方形，
∴∠AFE=∠BGH=90∘，EF=GH.
∵∠C=90∘，
∴∠A+∠B=90∘，
∵∠B+∠BHG=90∘，
∴∠A=∠BHG，
∴Rt△AFE∽Rt△HGB，
∴BGEF=GHAF，
∴AF×BG=EF×HG=EF2=18，
∴EF=3 2.
故答案为：3 2.
通过证明Rt△AFE∽Rt△HGB，则AF×BG=EF×HG，即可得到答案．
本题考查正方形性质和相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理，证明Rt△AFE∽Rt△HGB，
15.【答案】95
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90∘，AB=CD=3，BC=AD=5，AB//CD，
∴AC= AB2+BC2= 32+52= 34.
∵S△ADC=12AD⋅CD=12AC⋅DE，
∴DE=15 3434.
∵DE⊥AC，
∴CE= CD2−DE2= 32−(15 3434)2=9 3434.
∴AE=AC−CE=25 3434.
∵AB//CD，
∴∠BAE=∠DCA.
∵∠DCA+∠CDE=∠CDE+∠ADE=90∘，
∴∠BAE=∠ADE.
∵BE⊥FE，DE⊥AC，
∴∠FEA+∠AEB=∠DEF+∠FEA=90∘.
∴∠AEB=∠DEF.
∴△DEF∽△BEA.
∴DFAB=DEAE=35.
∴DF=35×3=95.
故答案为：95.
利用矩形的性质求出AC，利用三角形的面积、勾股定理求出DE、CE的长，再利用等角的余角相等说明∠BAE=∠ADE、∠AEB=∠DEF，得△DEF∽△BEA，最后利用相似三角形的性质得结论．
本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质与判定、三角形的内角和定理及勾股定理是解决本题的关键．
16.【答案】解：(1)根据题意得△=22−4(k−2)>0，
解得k<3；
(2)∵k为正整数，且k<3，
∴k=1或k=2，
当k=1时，△=8，所以该方程的根为无理数，
当k=2时，原方程为x2+2x=0，解得x1=0，x2=−2，
所以k的值为2.
【解析】(1)根据判别式的意义得到△=22−4(k−2)>0，然后解不等式即可；
(2)由(1)的范围得到k=1或k=2，然后把k=1和2代入原方程，然后解方程确定满足条件的k值．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
17.【答案】解：(1) 18− 3× 23
=3 2− 2
=2 2；
(2)( 5+12−1)⋅ 5+12
= 5+1−22⋅ 5+12
= 5−12⋅ 5+12
=1.
【解析】(1)先计算二次根式的乘法运算，再计算减法运算即可；
(2)先计算括号内的减法运算，再计算乘法运算即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)x2−2x−3=0，
(x+1)(x−3)=0，
x+1=0或x−3=0，
解得：x1=−1，x2=3；
(2)(2x+3)2=(3x+2)2
2x+3=±(3x+2)，
2x+3=3x+2或2x+3=−(3x+2)，
解得：x1=1，x2=−1.
【解析】(1)利用因式分解法可得；
(2)利用直接开方法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)∵x= 5+1，y= 5−1，
∴x+y=2 5，x−y=2
∴x2−y2=(x+y)(x−y)=2 5×2=4 5；
(2)∵x= 5+1，y= 5−1，
∴xy=( 5+1)( 5−1)=4；
∴x2+xy+y2=(x+y)2−xy=(2 5)2−4=20−4=16.
【解析】(1)先求出x+y=2 5,x−y=2，再根据x2−y2=(x+y)(x−y)进行求解即可；
(2)先求出xy=4，再根据x2+xy+y2=(x+y)2−xy进行求解即可．
本题考查二次根式化简求值，解题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
20.【答案】(1)证明：∵BE//AD，AF=BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵∠A=90∘，
∴平行四边形ABEF是矩形；
(2)解：∵∠C=90∘，BC=3，CE=4，
∴BE= BC2+CE2= 32+42=5，
∵四边形ABEF是矩形，
∴∠BEF=∠AFE=90∘，AB=EF=6，
∴∠BEC+∠FED=90∘，∠EFD=90∘，
∵∠CBE+∠BEC=90∘，
∴∠CBE=∠FED，
∵∠EFD=∠C=90∘，
∴△BCE∽△EFD，
∴BEDE=BCEF，
即5DE=36，
∴DE=10.
【解析】(1)根据平行四边形的判定和矩形的判定解答即可；
(2)根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答即可．
此题考查矩形的判定和性质，关键是根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．
21.【答案】(1)证明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵EF垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠C，
∵∠GBD=∠C，∠BDG=∠CBA，
∴△BDG∽△CBA；
(2)解：由(1)知△BDG∽△CBA，
∴DGAB=BDBC，
∵AB=18，DG=6，
∴BDBC=618=13，
∴BDCD=12，
∴S△ABDS△ACD=12，
∵S△ADC=180，
∴S△ABD=90，
∵AC=AB=18，DG=6，
∴AG=12，
∴DGAG=12，
∴S△BDGS△ABG=12，
∴S△ABG=23S△ABD=23×90=60.
【解析】(1)由AB=AD得到∠ABD=∠ADB，根据线段垂直平分线的性质得到EB=EC，则∠EBC=∠C，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
(2)由(1)知△BDG∽△CBA，可得DGAB=BDBC，而AB=18，DG=6，即可得BDCD=12，S△ABDS△ACD=12，又S△ADC=180，故S△ABD=90，因AG=12，DGAG=12，即得S△ABG=23S△ABD=23×90=60.
本题考查相似三角形的判定与性质，涉及三角形面积，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD，
∴∠ADB=∠CBD，∠DEC=∠BCF，
∵∠DCE=∠ADB，
∴∠DCE=∠CBD，
∴△DCE∽△FBC，
∴DCBF=CEBC，
∴ABBF=CEBC，即AB⋅BC=BF⋅CE.
(2)①解：∵AD=3DE=6，
∴DE=13AD=13×6=2，
∴AE=AD−DE=6−2=4，
∵AD//BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴DEBC=EFFC，
∵AD=BC=6，
∴DEBC=EFFC=13，
∴EFEC=14，即EC=4EF，
∵∠EDF=∠ECD，∠DEF=∠CED，
∴△EDF∽△ECD，
∴DEEC=EFDE，
∴24EF=EF2，
解得：EF=1(舍去负值)，
∴CF=EC−EF=4EF−EF=4−1=3.
②解：∵AD//BC，
∴DFBD=EFEC=14，
∵BD=10，
∴DF=52，
∵△EDF∽△ECD，
∴DFDC=DEEC，
∵DE=2，EC=4，
∴52DC=24，
∴DC=5.
【解析】(1)根据平行四边形的性质，知道∠ADB=∠CBD，∠DEC=∠BCF，结合∠DCE=∠ADB，先证明△DCE∽△FBC，然后根据相似三角形对应边成比例，得证；
(2)①先证明△EFD∽△CFB，得到EC=4EF，再证明△EDF∽△ECD，得到DEEC=EFDE，解得EF的长度，最后利用EC−EF算得CF的长度；
②通过平行线分线段成比例，DFBD=EFEC=14，算得DF的长度，再通过△EDF∽△ECD，得到DFDC=DEEC，从而算得CD的长度．
本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件．
23.【答案】 22
【解析】解：(1)∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AD=CD，AG=FG，∠ADC=90∘，∠AGF=90∘，
∴AC= AD2+CD2= AD2+AD2= 2AD，
AF= AG2+FG2= AG2+AG2= 2AG，
∴CF=AF−AC= 2AG− 2AD= 2(AG−AD)，
∵DG=AG−AD，
∴DGCF=AG−AD 2(AG−AD)= 22，
故答案为： 22；
(2)①不变．理由如下：
∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AD=CD，AG=FG，∠ADC=90∘，∠AGF=90∘，
∴∠CAD=∠GAF=45∘，
∴∠CAD+∠DAF=∠GAF+∠DAF，
即∴∠CAF=∠DAG，
由(1)可知AC= 2AD，AF= 2AG，
∴ADAC=AGAF= 22，
∴△ACF∽△ADG，
∴DGCF=ADAC= 22，
即DGCF的值不改变；
②如图：当α=135∘时，即∠CAF=∠DAG=α=135∘，
∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AB=BC=AD=CD，∠ABC=∠ADC=90∘，AE=EF，∠AEF=90∘，
∴∠CAB=∠CAD=45∘，∠EAF=∠AFE=45∘，
∵∠CAF+∠BAC=∠DAG+∠CAD=180∘，
∴B、A、F三点在同一直线上，C、A、G三点在同一直线上．
∵AM//BC，
∴∠FAM=∠ABC=90∘，
∵∠AFM=∠BFC，
∴△AMF∽△BCF，
∵CMMF=12，
∴FMCF=23，
∴AMBC=FAFB=FMCF=23，
∵AD=BC=3，
∴AM=2，
∴DM=AD−AM=1.
连接MN，过点G作DA延长线的垂线，垂足为点O.则∠AOG=90∘，
∵∠OAG=∠BAC=45∘，
∴∠AGO=90∘−∠OAG=45∘，
∴△AOG是等腰直角三角形，
∵DMDA=DNDG=13，∠MDN=∠ADG，
∴△DMN∽△DAG.
∴∠DNM=∠DGA.MNAG=DNDG=13，
∴MN//AG.
∴∠AMN=∠CAD=45∘，
∵∠MAN=∠FAM−∠EAF=90∘−45∘=45∘，
∴∠ANM=90∘，
∴△AMN是等腰直角三角形，.
∴AN=MN= 22AM= 2.
∴AG=3MN=3 2.
∴OG=OA= 22AG=3.
∴OD=AD+AO=6，
在Rt△DGO中，DG= OG2+OD2= 32+62=3 5.
(1)根据正方形的性质得到AD=CD，AG=FG，∠ADC=90∘，∠AGF=90∘，由勾股定理得到AC= 2AD，AF= 2AG，则CF= 2(AG−AD)，又由DG=AG−AD，即可得到DGCF的值；
(2)①正方形的性质得到∠CAF=∠DAG，又由ADAC=AGAF= 22即可△ACF∽△ADG，则DGCF=ADAC= 22，即可得到解答；
②当α=135∘时，即∠CAF=∠DAG=α=135∘，可证明B、A、F三点在同一直线上，C、A、G三点在同一直线上．证明△AMF∽△BCF，得到AMBC=FAFB=FMCF=23，得到AM=2，则DM=AD−AM=1.连接MN，过点G作DA延长线的垂线，垂足为点O.则∠AOG=90∘，可证△AOG是等腰直角三角形，证明△DMN∽△DAG，则∠DNM=∠DGA，MNAG=DNDG=13，则MN//AG，可证明△AMN是等腰直角三角形，则AN=MN= 2.则AG=3MN=3 2，得到OG=OA= 22AG=3.则OD=AD+AO=6，由勾股定理即可得到DG的长．
此题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．