山东省淄博市博山区2025-2026学年八年级下学期期末（五四制） 数学试题（含解析）

这是一份山东省淄博市博山区2025-2026学年八年级下学期期末（五四制） 数学试题（含解析），共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，2026年为丙午马年，央视2026马年春晚主标识由四匹拾级而上的骏马组成，象征国人齐头并进、稳步登高．从数学角度看，四匹马之间的图形变换关系为（ ）
A. 中心对称B. 位似C. 平移D. 旋转
2. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长为（ ）
A. 12B. 16C. 20D. 24
4. 用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（ ）
A. ①处应添加对角相等
B. ②处应添加对角线互相垂直
C. ③处应添加有一组邻边相等
D. ④处应添加有一个角是直角
6. 某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ）
A. B. C. D.
8. 把方程的两个实数根分别记为m，n，则的值是（ ）
A. 10B. 2C. D.
9. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ）
A. B. C. D.
10. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．任取一张矩形纸片按如下步骤进行折叠．第一步：在纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平，得到折痕；第三步：折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；第四步：展平纸片，如图4，按照所得的点折出．根据以上折纸，下列结论：①矩形为黄金矩形；②矩形为黄金矩形；③矩形为黄金矩形；④中，正确的有（ ）
A. ①②③④B. ②③④C. ②③D. ③④
二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．
11. 计算=_____．
12. 如图，四边形四边形，则的度数是_____．
13. 若是关于x的一元二次方程，则k的值为______．
14. 如图，把一张矩形纸片沿（点E、F分别在、上）所在直线折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则的度数为____________．
15. 某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率为___________．
16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________．
17. 对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______．
18. 如图，在中，是上的动点，过点分别作的垂线段，垂足分别为，连接，则的最小值为__________．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 化简、解方程：
（1）（2）
20. 已知四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点，并在上作一点，使；
（2）连接，求证：四边形是菱形．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
____________________，
四边形是平行四边形．
平分，
____________________．
，
____________________．
，平行四边形是菱形．
21. 已知代数式，，．请从①；②；③中选择一个进行化简，并求当时的值．
22. 学校打算用长的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长．
（1）若矩形生物园的面积是，求边的长；
（2）矩形生物园的面积能否达到，请说明理由．
23. 已知关于的一元二次方程．
（1）讨论该一元二次方程实数根的情况；
（2）当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由．
24. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）．
25. 如图，在中，，，，
（1）试说明
（2）求的值
（3）求的长度
26. 四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接．
（1）如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形；
（2）如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由．
数学
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 如图，2026年为丙午马年，央视2026马年春晚主标识由四匹拾级而上的骏马组成，象征国人齐头并进、稳步登高．从数学角度看，四匹马之间的图形变换关系为（ ）
A. 中心对称B. 位似C. 平移D. 旋转
答案：C
解析：
解答过程：解：由图可知，四马之间存在的图形变换关系为平移.
2. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：二次根式被开方数为非负数．
解答过程：解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：，
即的取值范围是．
3. 如图，四边形为菱形，、两点的坐标分别是，，点、在坐标轴上，则菱形的周长为（ ）
A. 12B. 16C. 20D. 24
答案：C
解析：
思路：根据坐标，得出，，再结合菱形的性质，利用勾股定理，得出，即可得解．
解答过程：解：、两点的坐标分别是，，
，，
四边形为菱形，
，，
，
菱形的周长为．
4. 用配方法解方程：时，经过配方后正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：
思路：先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式，即可得到结果．
解答过程：解：移项，得，
配方，得，
即．
5. 在学习四边形时，我们经历了由一般到特殊的学习过程，某同学受老师指导绘制了关系图，箭头处应添加的条件填写错误的是（ ）
A. ①处应添加对角相等
B. ②处应添加对角线互相垂直
C. ③处应添加有一组邻边相等
D. ④处应添加有一个角是直角
答案：A
解析：
思路：矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；菱形的判定定理：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；正方形的判定定理：有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形．
解答过程：解：A、“对角相等”是平行四边形的固有性质，不能作为判定它是矩形的条件，故A箭头处应添加的条件填写错误，符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意；
C、有一组邻边相等的矩形是正方形，故C箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，故D箭头处应添加的条件填写正确，不符合题意．
6. 某同学做了以下四道习题，其中做错的题是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
解答过程：解：A、，原式计算正确，不符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，符合题意；
C、由二次根式有意义的条件可知，则，原式计算正确，不符合题意；
D、由二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得，则，原式计算正确，不符合题意；
7. 如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列、、、四个图中的三角形阴影部分与相似的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：先计算出三边的边长，再分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．
解答过程：解：借助网格，可知，，，
A、三边从小到大依次为：，，3，，三边与不成比例，故不符合题意；
B、三边从小到大依次是：1，，，，三边与成比例，故符合题意；
C、三边从小到大依次是：1，，，，三边与不成比例，故不符合题意；
D、三边从小到大依次是：2，，，，三边与不成比例，故不符合题意；
故选：B．
8. 把方程的两个实数根分别记为m，n，则的值是（ ）
A. 10B. 2C. D.
答案：A
解析：
思路：根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入计算即可．
解答过程：解：原方程为
∴，
∴．
9. 如图，在正方形中，点、点分别是边，上的中点，连接，交于点．连接，若点，点分别是，上的中点，连接，，则正方形的边长等于（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：过点G作于点M，连接，证明，得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理和等面积法逐步表示出，，利用三角形中位线的性质得到，然后利用勾股定理求解即可．
解答过程：解：如图，过点G作于点M，连接
∵在正方形中，点、点分别是边，上的中点，
∴，，
∴
∴
∵
∴
∴，即
设，则
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵点，点分别是，上的中点，
∴
∵
∴
∴
解得（负值舍去）
∴
∴正方形的边长等于．
10. 宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形．任取一张矩形纸片按如下步骤进行折叠．第一步：在纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再把纸片展平，得到折痕；第三步：折出矩形的对角线，并把折到图3中所示的处；第四步：展平纸片，如图4，按照所得的点折出．根据以上折纸，下列结论：①矩形为黄金矩形；②矩形为黄金矩形；③矩形为黄金矩形；④中，正确的有（ ）
A. ①②③④B. ②③④C. ②③D. ③④
答案：B
解析：
思路：设，则，，根据折叠的性质和正方形，矩形的性质分别计算相应线段的长，再计算①②③中矩形的宽与长的比值，④中线段的比值即可解答．
解答过程：解：①设，则，，
在矩形中，，故矩形不是黄金矩形，故①错误．
在中，，，
．
．
．
，
在矩形中，，
∴矩形为黄金矩形，故②正确．
，
在矩形中，，
∴矩形为黄金矩形，故③正确．
，故④正确．
综上所述，正确的有②③④．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．
11. 计算=_____．
答案：
解析：
思路：先把化为最简二次根式，再合并同类二次根式计算结果．
解答过程：解：
．
12. 如图，四边形四边形，则的度数是_____．
答案：
解析：
思路：本题主要考查了相似图形的性质，四边形内角和定理，根据相似图形的对应角相等求出的度数，再根据四边形内角和为360度列式求解即可．
解答过程：解：∵四边形四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 若是关于x的一元二次方程，则k的值为______．
答案：
解析：
思路：根据一元二次方程的定义得到未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此列式求解即可．
解答过程：解：是关于的一元二次方程，
，且，
解得：或，，
．
14. 如图，把一张矩形纸片沿（点E、F分别在、上）所在直线折叠后，D、C分别落在、的位置上，与交于点G，若，则的度数为____________．
答案：80
解析：
思路：根据平行线与折叠的性质求解即可.
解答过程：解：∵四边形是长方形，，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
∴．
15. 某电商平台在“618”大促活动中，一款智能手环标价为500元，连续两次降价，最终售价为320元，则平均每次降价的百分率为___________．
答案：
解析：
思路：列一元二次方程解决实际问题．
解答过程：解：设平均每次降价的百分率为，根据题意列方程得：
，
解得，（舍去）．
16. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________．
答案：
解析：
思路：根据相似三角形的对应高的比等于相似比．
解答过程：解：设小孔到的距离为，
，
，
，
，即小孔到的距离为．
17. 对于任意不相等的两个非负实数，新定义一种运算“”如下：，则______．
答案：##
解析：
思路：根据定义代入新定义，然后根据二次根式的乘除运算法则计算即可．
解答过程：解：∵，
∴
18. 如图，在中，是上的动点，过点分别作的垂线段，垂足分别为，连接，则的最小值为__________．
答案：
解析：
思路：连接，根据矩形的判定与性质可得，根据垂线段最短可知当时最短，即最小，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长即可．
解答过程： 解：如图，连接，
，，，
，
四边形是矩形，
．
当时，有最小值，此时有最小值，
在中，，
∴．
，
．
即的最小值为．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 化简、解方程：
（1）（2）
答案：（1）

（2），.
解析：
（1）解：
；
（2）解：

或
解得，．
20. 已知四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的角平分线交于点，并在上作一点，使；
（2）连接，求证：四边形是菱形．
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
____________________，
四边形是平行四边形．
平分，
____________________．
，
____________________．
，平行四边形是菱形．
答案：（1）见解析 （2）；；
解析：
思路：掌握角平分线的尺规作图方法，以及利用圆规截取等长线段的方法，理解角平分线的定义和两直线平行的性质是解题的关键．
（1）尺规作图步骤：
①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于两点;
②分别以这两点为圆心，大于这两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点；
③连接点B和两弧交点并延长交于点F，即为的平分线;
④以点C为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则．
（2）先证明，结合判定四边形为平行四边形，再推导出，从而证明，最后，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明．
（1）解：如图所示：
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形．
平分，
．
，
．
，平行四边形是菱形．
21. 已知代数式，，．请从①；②；③中选择一个进行化简，并求当时的值．
答案：
①结果为，值为；
②结果为，值为；
③结果为，值为
解析：
解答过程：解：①，
当时，原式；
②，
当时，原式；
③，
当时，原式．
22. 学校打算用长的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长．
（1）若矩形生物园的面积是，求边的长；
（2）矩形生物园的面积能否达到，请说明理由．
答案：（1）
（2）不能，理由如下：
由（1）可知：，
整理得：，
∵，
∴方程无解，
∴矩形生物园的面积不能达到．
解析：
思路：（1）设边的长为，则有，由题意得，然后进行求解即可；
（2）由（1）可得方程，然后整理化简，进而根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
（1）解：设边的长为，则有，由题意得：
，
解得：，
∵墙长，
∴当时，，不符合题意，舍去；
∴；
答：边的长为．
（2）略
23. 已知关于的一元二次方程．
（1）讨论该一元二次方程实数根的情况；
（2）当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由．
答案：（1）当时，该方程有两个不相等的实数根，当时，该方程有两个相等的实数根；
（2）有，所有的值为：，，
解析：
思路：（1）整理方程为一般形式，再利用根的判别式的值的情况讨论即可．
（2）当时，可得， 求解，再进一步分析求解即可．
（1）解：，
方程化为一般式：，
∴，
∴当时，该方程有两个不相等的实数根，
当时，该方程有两个相等的实数根；
（2）解：当时，，方程有两个不相等的实数根，
∵，
解得：，
∵这两个根都是不大于的正整数，
∴，，
解得．
又∵这两个根都是正整数，
为的倍数，
的值为，，．
24. 某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度．采用以下方法：如图，把支架放在离树适当距离的水平地面上的点处，再把镜子水平放在支架上的点处，然后沿着直线 后退至点处，这时恰好在镜子里看到树的顶端．再用皮尺分别测量 ，观测者目高的长．利用测得的数据可以求出这棵树的高度． 已知于点，于点于点米，米．米，米，求这棵树的高度（的长）．
答案：这棵树的高度为米
解析：
思路：本题考查的是相似三角形的应用，通过作辅助线构造相似三角形，并利用相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
过点作水平线交于点，交于点，根据镜面反射的性质求出 ，再根据对应边成比例解答即可．
解答过程：解：过点作水平线交于点，交于点，如图，
∵是水平线，都是铅垂线，
米，米，米，
(米)，
又根据题意，得 ，
，
，即 ，
解得：米，
(米)，
答：这棵树的高度为米．
25. 如图，在中，，，，
（1）试说明
（2）求的值
（3）求的长度
答案：（1）见解析 （2）
（3），
解析：
思路：本题考查了相似三角形的判定与性质，较简单．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行即可证明相似；
（2）根据，得到，代入数据即可求解；
（3）由，即可求解．
（1）证明：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴
（3）解：∵，由（2）得，
∴，
∴．
26. 四边形为正方形，点E为对角线上一动点，连接．
（1）如图1，当点E是线段的中点时，以，为邻边作矩形，求证：矩形是正方形；
（2）如图2或图3，当点E不是线段的中点时，过点E作，交线段或的延长线于点F，以，为邻边作矩形．四边形还是正方形吗？如果是，任选一种情况证明你的结论，如果不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，连接．试探究，，的数量关系，并说明理由．
答案：（1）见解析 （2）是，证明见解析
（3），理由见解析
解析：
思路：（1）根据邻边相等的矩形是正方形即可得到四边形是正方形；
（2）当点在边上时，作于，于，证明，得到，根据正方形的判定定理证明即可；
当点在的延长线上时，过点分别作于点，于点，同样根据正方形的判定即可得证；
（3）结合正方形的性质可证明，得出，根据勾股定理求出，即可得出结论.
（1）证明：∵四边形为正方形，点为对角线中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴四边形是正方形；
（2）证明：当点在边上时，
过点作于，于，如图1，

∵四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴，．
∴四边形为正方形，
∵，，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
当点在的延长线上时，
如图，过点分别作于点，于点，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴矩形为正方形；
（3）解：
理由如下：
由（2）可知，矩形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，