2025--2026学年河南信阳高级中学北湖校区高二下学期5月测试（二）数学试题-含解析

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1. 满足的集合A有个
A. 2B. 4C. 6D. 7
2. 不等式的解集为（ ）
A. B. x 32≤x≤2
C. 或D.
3. 已知复数满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
4. 已知等比数列满足，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
5. 设；不等式对任意的恒成立，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（ ）
A. 60种B. 72种C. 96种D. 120种
8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，且，则（ ）
A.
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
10. 若，则下列叙述中正确的是（ ）
A. “”的充要条件是“”
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “对恒成立”的充要条件是“”
D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
11. 投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（ ）
A. B.
C. 事件和相互独立D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为___________.
13. 已知函数的定义域为，函数，则的定义域为________．
14. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，E，F分别为PD，PC的中点．请用空间向量知识解答下面问题：
（1）求证：平面PAD；
（2）求平面AEF与底面所成角的余弦值．
16. 为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下：
（1）若甲单位数据的平均数是122，求；
（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为，，令，求的分布列和期望.
17. 已知双曲线经过点，其渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由．
18. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数.
（1）若函数为理想函数，求的值；
（2）判断函数是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数为理想函数，假定存在，使得，且，求证.
19. 已知的内角的对边分别为，且.
（1）求.
（2）若，且边上的中线长为，求的面积.
（3）若，且角的平分线长为，求的面积.
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 满足的集合A有个
A. 2B. 4C. 6D. 7
答案：C
解析：
解答过程：解析过程略
2. 不等式的解集为（ ）
A. B. x 32≤x≤2
C. 或D.
答案：A
解析：
思路：移项通分，然后转化为一元二次不等式即可求解.
解答过程：，
解得，所以不等式的解集为.
3. 已知复数满足，则（ ）
A. 1B. C. D. 2
答案：A
解析：
思路：用求根公式解一元二次方程可得，再根据复数的模的概念即可求解.
解答过程：已知 ，展开整理得：，
由求根公式：
则
4. 已知等比数列满足，则（ ）
A. B. 2C. D. 4
答案：B
解析：
思路：根据等比数列通项公式将已知条件进行转化，然后通过两式相除求出公比 的相关表达式，进而求出的值.
解答过程：为等比数列，已知，则，
化简可得①，
已知 ，
将 代入可得： ，
化简可得②，
①②可得：,
因为，则化简得，即；
所以，则.
又因为，且同号，所以，故.
5. 设；不等式对任意的恒成立，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
解答过程：由，变形得：，
因为是增函数，可得：，即，
不等式对任意恒成立，整理得：，
因为，，两边除以得：对任意恒成立，
令，导数，在上是增函数，
因此的最小值为，
要使恒成立，只需，即，得，
因为，故是的充分不必要条件.
6. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
解答过程：因为，则，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C.
7. 某计算机要依次执行6个算力任务，包括3个不同的图形渲染任务､2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，为了防止芯片局部过热，系统规定同类型的任务不能连续执行，则不同的任务执行顺序共有（ ）
A. 60种B. 72种C. 96种D. 120种
答案：D
解析：
思路：先用插空法求出3个图形渲染任务互不相邻的排法总数，然后利用减法原理，从中排除2个逻辑推理任务相邻的情况，即可得答案。.
解答过程：第一步，先排列2个不同的逻辑推理任务和1个数据检索任务，共有种排法；
第二步，将3个不同的图形渲染任务插入到第一步中3个不同的任务产生的4个空隙中，
共有种排法；
第三步，排除2个不同的逻辑推理任务相邻的情况，
将2个逻辑推理任务捆绑视为一个元素，此元素与数据检索任务共2个元素先进行排列，产生3个空位，有种排法；
将3个不同的图形渲染任务插入这3个空位，有种排法；
捆绑的2个逻辑推理任务内部有种排法，故共有种排法。
所以满足条件的排法总数为.
8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用双曲线定义可得 三点共线，结合面积关系判定为等边三角形，再利用余弦定理求解离心率.
解答过程：如图，，根据双曲线的定义，得，因为 ，所以，故 三点共线.
因为，所以，所以，
又，所以是等边三角形，所以.
在中，由余弦定理得，
整理得，故离心率 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，且，则（ ）
A.
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
答案：AB
解析：
思路：由可知A正确；利用基本不等式可直接构造不等式求得B正确；将已知等式变形为，利用基本不等式可构造不等式求得C错误；由，利用基本不等式可求得D错误.
解答过程：对于A，由得：，
，，又，，，A正确；
对于B，，
，解得：，
（当且仅当，即，时取等号），
即的最小值为，B正确；
对于C，由得：，
由A知：，，即，
，即，
又，，则（当且仅当，即，时取等号），
即的最小值为，C错误；
对于D，由C知：，（当且仅当，即，时取等号），
即的最小值为，D错误.
故选：AB.
10. 若，则下列叙述中正确的是（ ）
A. “”的充要条件是“”
B. “”是“”的充分不必要条件
C. “对恒成立”的充要条件是“”
D. “”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件
答案：BD
解析：
思路：根据充分必要条件的定义结合不等式的性质，二次函数性质，一元二次不等式根的分布知识判断各选项，
解答过程：，则一定有，但是时，若，则，A错；
时有成立，充分的，但当时有或，不必要，B正确；
若，但，则恒成立，C错；
方程有一正一负两实根的充要条件是，因此D正确．
故选：BD．
11. 投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为.设事件“”，事件“”，事件“”，则（ ）
A. B.
C. 事件和相互独立D.
答案：AD
解析：
思路：由古典概率及条件概率的知识进行判断．
解答过程：投掷一枚正方体骰子3次，所得点数依次为的基本事件的总数有种，
对于选项A，事件“”包含：
当时，有6种，
当时，有种，
共有种，
则，故A项正确；
对于B项，事件“”包含：
当时，有6种，
当时，有种，
当时，有种，
当时，有种，
共有种，所以，故B项错误；
对于C项，因为，，
则，故事件和不相互独立，故C项错误；
对于D项，，
事件“且”包含：对每个，有都，有种，
求和：种，
所以，
事件“且”包含：对每个，有都，有种，
求和：种，
所以，
因此且相同，故，故D项正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中的系数为___________.
答案：330
解析：
思路：将看作对象甲，看作对象乙，1看作对象丙，则题设可转化为将个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题，再利用组合数的运算即可得解.
解答过程：将看作对象甲，看作对象乙，1看作对象丙，
则题设可转化为将个相同元素分给甲、乙、丙三个对象的问题，
则要得到，则给甲1个元素，给乙1个元素，给丙3个元素，或给甲0个元素，给乙3个元素，给丙2个元素，
即的系数为，
故答案为：330.
13. 已知函数的定义域为，函数，则的定义域为________．
答案：
解析：
思路：
根据定义域以及分母不为零、偶次根式下被开方数非负列不等式，解得定义域．
解答过程：由题意得，即定义域为
故答案为：
方法提示：本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题．
14. 已知正四棱台的上､下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其外接球的表面积为__________.
答案：
解析：
思路：根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在上下底面中心的连线上，设球心到下底面的距离为，外接球的半径为，根据球的截面圆的性质，列出方程组，即可求解.
解答过程：如图所示，正四棱台下底面对角线交点为，上底面对角线交点为，
因为正四棱台下底面边长为，上底面边长为，侧棱长为，
可得上、下底面正方形的对角线长为和，可得，
根据几何体的对称性，可得正四棱台的外接球的球心在直线上，
设外接球的球心为，球心到下底面的距离为，外接球的半径为，
因为正四棱台的高为，
所以若球心在线段上，则，解得，
所以，所以外接球表面积为.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，E，F分别为PD，PC的中点．请用空间向量知识解答下面问题：
（1）求证：平面PAD；
（2）求平面AEF与底面所成角的余弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）解析：
思路：（1）以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.
（2）利用空间向量法求解即可.
（1）由题知AB，AD，AP两两相互垂直．
以A为坐标原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，．
∴，，．
∴，，∴，．
又平面，平面，．
∴平面．
（2）易知平面的一个法向量为，
设平面AEF的法向量为，
∵，，
∴即
取，解得
则平面的一个法向量为．
.
因为平面与平面所成角为锐角，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
16. 为了减少雾霾，还城市一片蓝天，某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数，画出茎叶图如下：
（1）若甲单位数据的平均数是122，求；
（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为，，令，求的分布列和期望.
答案：(1)8；(2)答案见解析.
解析：
解答过程：试题分析：
（1）根据茎叶图列出的数据并结合所给的平均数可求得．（2）根据题意得到的所有可能的取值，并分别求出概率，列出表格可得分布列，然后求出期望．
试题解析：
（1）由题意，
解得．
（2）由题意知，随机变量的所有可能取值有0,1,2,3,4.





的分布列为：
∴．
17. 已知双曲线经过点，其渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线相交于两点，能否是线段的中点？请说明理由．
答案：（1）
（2）不能,理由见解析
解析：
思路：（1）由题设条件得出的方程，求解即得曲线的方程；
（2）假设是线段的中点，利用点差法求出直线的斜率，将得到直线的方程与双曲线方程联立，通过判别式判断方程是否有实根，即可确定能否为中点.
（1）双曲线经过点，得，
由渐近线方程为，得，
解得，，
双曲线的方程为.
（2）假设是线段的中点，设，
则由两式相减，可得，
因为是线段的中点，，
代入上式，可得，即此时直线的斜率为，
于是直线的方程为，即.
联立，消元得，
，所以方程无实数解，
即此时直线与双曲线无交点，
故不能是线段的中点.
18. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数.
（1）若函数为理想函数，求的值；
（2）判断函数是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数为理想函数，假定存在，使得，且，求证.
答案：（1）0；（2）是，证明见解析；（3）证明见解析.
解析：
思路：（1）取可根据条件①和③求出；
（2）易得函数满足条件①②，当，，时，可根据 得出结论；
（3）由条件③知，若，，则分别讨论和两种情况可证.
解答过程：(1)取可得.
又由条件①，故.
(2)显然在[0，1]满足条件①；也满足条件②.
若，，，则
，即满足条件③，
故理想函数.
(3)由条件③知，任给、[0，1]，当时，由知[0，1]，
若，则，前后矛盾；
若，则，前后矛盾.
故.
方法提示：本题考查函数的新定义问题，解题的关键是正确理解理想函数满足的三个条件，从而利用条件进行计算.
19. 已知的内角的对边分别为，且.
（1）求.
（2）若，且边上的中线长为，求的面积.
（3）若，且角的平分线长为，求的面积.
答案：（1）
（2） （3）.
解析：
（1）由正弦定理，得，，.
代入已知式，两边乘以得：，整理得：.
由余弦定理，代入：，解得：.
因为为三角形内角，所以.
（2）已知，边上的中线长为，对应边为，即.设为中点，则为中线，.中线公式为：，其中为边上的中线长，代入，：
由余弦定理，代入，：，代入：，化简得：，解得或（舍）.
代入得，所以.
面积.
（3）设角的平分线交于点，则，且.
在中，由正弦定理：；在中，由正弦定理：.又，且，所以.
由,,在中，，，，由余弦定理：，则，解得：.
同理，在中，，，设，由余弦定理：，则.
由角平分线性质：，所以，两边平方得，代入表达式：，解得或.
若，则三角形为等腰三角形，，，此时，三角形为等边三角形，角平分线长应为，与不符，舍去；
若，成立.
所以，，面积.
0
1
2
3
4