河南省信阳高级中学北湖校区2024−2025学年高二下学期4月测试 数学试题（含解析）

这是一份河南省信阳高级中学北湖校区2024−2025学年高二下学期4月测试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，，若与共线，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ）
A．B．C．D．
4．第十三届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行.现从4名男生，2名女生中选3人分别担任冬季两项、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（ ）.
A．72种B．84种C．96种D．124种
5．已知是各项均为正数的等差数列，为其前项和，且，则当取最大值时，（ ）
A．10B．20C．25D．50
6．已知函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球，连续摸两次.记“第一次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（ ）
A．与R2为互斥事件B．
C．D．
8．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列四个命题中为真命题的是（ ）
A．已知随机变量服从正态分布，若，则
B．4个男同学，3个女同学站成一排，任何两个女同学彼此不相邻，有240种不同的排法
C．二项式的展开式中的常数项是45
D．已知，且，则
10．已知点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，则下列选项正确的是（ ）
A．B．线段AB的中点到x轴的距离为3
C．D．
11．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（ ）
A．
B．当时，有且仅有一个点，使得平面
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，三棱锥的体积为定值
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知、，直线的斜率是直线斜率的倍，则直线的倾斜角为 .
13．已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 .
14．将3种不同的蔬菜随机地种植到4块不同的实验田中去，每种蔬菜都要种植且只能种植到一块实验田中，每块实验田可以种植多种蔬菜．设每块实验田中种植的蔬菜种数的最大值为，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从个问题中随机抽取个问题作答，已知这个问题中，学生甲能正确回答其中的个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.
(1)求乙恰好答对两个问题的概率；
(2)请问选择哪名同学去参赛更合理？请说明理由
16．已知为数列的前项和，满足，，数列是等差数列，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)设，且，求.
17．已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程．
18．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．
(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．
19．已知函数．
(1)若为函数的极值点，求的值；
(2)若在定义域上不单调，求的取值范围；
(3)若有两个极值点，，且，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，，与共线，
所以，解得，则.
故选D.
2．【答案】B
【详解】若方程表示椭圆，
则满足 即且，此时成立，即必要性成立，
当m＝2时，满足，但此时方程等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立
故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，
故选B．
3．【答案】C
【详解】由圆，可知该圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以圆心在直线上，
所以有，
因为过点向圆作切线，切点为，
所以
所以，
故选C.
4．【答案】C
【详解】第一步，选出的志愿者中没有女生共种，只有一名女生共种；
第二步，将三名志愿者分配到三项比赛中共有.
所以，不同的选择方案共有种.
故选C.
5．【答案】D
【详解】是各项均为正数的等差数列，
，
，
又，，
，当且仅当时等号成立．
则公差，所以，
则.
故选D．
6．【答案】B
【详解】解：由，得到，
因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，
当时，在上不恒成立，不满足题意；
当时，在上恒成立，则，解得，
综上，的取值范围是.
故选B.
7．【答案】D
【详解】对于A：“第一次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到红球”，
每次不放回地随机摸出1个球，存在事件“两次都摸到红球”，故A错误；
对于B：根据题意计算得
，故B错误；
对于C：根据题意计算得，故C错误；
对于D，由条件概率的公式，故D正确；
故选D.
8．【答案】D
【详解】令，则，
所以时，，单调递减，
时，，单调递增，
，，，
因为，所以.
故选D.
9．【答案】CD
【详解】对于A，已知随机变量服从正态分布，
若，可得曲线的对称轴为，
则，故A错误；
对于B，先排个男生，形成个空，再将女生排入个空，
所以有种不同的排法，故B错误；
对于C，的展开式的通项为，
令，得，
所以二项式的展开式中的常数项是，故C正确；
对于D，因为，且，
所以，解得，故D正确.
故选CD.
10．【答案】ABD
【详解】由抛物线，可得焦点，
则过点F且斜率为1的直线方程为，
联立方程组，整理得，，
设，则，
对于A，由抛物线的定义，得，故A正确；
对于B，线段的中点的到轴的距离为，故B正确；
对于C，因为
，
所以与不垂直，故错误；
对于D，由，可得，
由抛物线定义，得，
所以，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】AD
【详解】如图建立空间直角坐标系，
则
因为，，所以
所以，
对于选项A，则，所以，
因为，所以，故A答案正确；
对于选项B，
当时，，,设面的法向量为，
则，令，所以，
若平面，则，无解，所以不存在点，使得平面,故选项B错误；
对于选项C，当时，,
若，则，，无解，所以不存在点，使得，故C错误；
对于选项D，为边长为的等边三角形，所以,
点P到平面的距离为，当时，
点P到平面的距离为定值，则三棱锥的体积为定值，故D选项正确.
故选AD.
12．【答案】/
【详解】设直线的斜率为，则
所以直线的倾斜角为60°，表示为弧度制即.
13．【答案】
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
经检验，不符合上式，
所以.
14．【答案】
【详解】由题意可知，3种不同的蔬菜种植在4块不同的实验田有三种不同的情况：
情况一：1块种3种蔬菜，其余3块都种0种蔬菜；
情况二：1块种2种蔬菜，1块种1种蔬菜，其余2块都种0种蔬菜；
情况三：其中3块各种1种蔬菜，剩下1块种0种蔬菜.
故的可能取值为1，2，3，
,
,
,
所以.
15．【答案】(1)；
(2)选择投票给学生甲；理由见解析．
【详解】（1）由题知，令“乙回答问题的正确个数”为，则，
则乙恰好答对两个问题的概率为：.
（2）令“甲回答问题的正确个数”为，“乙回答问题的正确个数”为，
则所有可能的取值为，
则；；．
所以．
由题意，随机变量，所以．
又，．
所以，，
可见，乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，
所以选择投票给学生甲．
16．【答案】(1)，；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用与关系求数列的通项公式，用方程的思想求等差数列的通项公式；
（2）利用公式法和分组求和法，即可求得数列的前项和；
（3）求出数列的通项公式，然后解关于n的方程即可得解.
【详解】（1）当时，得，
由已知①，
当时，, ②
①-②得，
所以，
所以数列为等比数列，且公比为，
因为，所以，
设数列公差为，

由得，
所以.
综上，数列的通项公式为：；数列的通项公式为：.
（2）设，前项和
（3） ，
即，即，解得.
17．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为．
（2）设，
则，两式相减，得，
整理得．
因为线段的中点坐标为，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即．
经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，或
【详解】（1）因为底面是正方形，且平面，
所以两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
易知平面的一个法向量为，
所以，，又平面，
所以平面.
（2）设平面的法向量为，
则，当，可取，
假设存在点，，
设，所以，
所以，得，
所以，
得，解得或，
所以或
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，
因为为函数的极值点，所以，解得，
经检验，当时，为函数的极值点，所以.
（2）因为的定义域为，，
要使在定义域上不单调，则在上有解，
即在上有解，
由得，当且仅当时取等号，
当时，，在上单调，不符合题意，
所以的取值范围为.
（3）由（2）知，当，有两个极值点，由，
则，，所以，
因为，
所以
设
则，
又当时，，且，则，
故，则在上单调递减，则，
即的取值范围为.