河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二下期03月测试（二） 数学试题

这是一份河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高二下期03月测试（二） 数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知函数 fx=xcsx−sinx ,则 f′π3 的值为( )
A. −3π6 B. −π6 C. -1 D. −3π
2. 已知直线 2x+y=0 与直线 6x−my+5=0 平行,则 m= ( )
A. -3 B. 3 C. 12 D. -12
3. 数列 an 是各项均为实数的等比数列,则“ a2>a1>0 ” 是“数列 an 为递增数列” 的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 某博物馆新增包括 A,B 在内的 8 件文物,其中 5 件是清朝的,3 件是唐朝的,且 A,B 都是清朝的. 现将这些文物摆成一排,要求 A,B 必须相邻,但唐朝的文物不得相邻,则所有不同的摆法种数为( )
A. 1440 B. 2160 C. 2880 D. 3050
5. 在空间直角坐标系中,已知 O0,0,0,A1,2,2,B0,2,2 ,则点 B 到直线 OA 的距离是 ( )
A. 223 B. 233 C. 322 D. 332
6. 已知圆 C:x+22+y2=4 ,直线 l:m+1x+2y−1+m=0m∈R ,则下列结论错误的是 ( )
A. 直线 l 与圆 C 不可能相切
B. 当 m=0 时,圆 C 上恰有三个点到直线 l 的距离等于 1
C. 恰有三条直线与圆 C 和圆 x2+y2−2x+8y+8=0 都相切
D. 直线 l 与直线 2x−m+1y=0 垂直
7. 已知函数 fx 的导函数 f′x 满足: 对任意的 x∈R 都有 f′x>x ,若 f1−k−f1+k≥−2k ，则实数 k 的取值范围是( )
A. (−∞,0] B. −∞,12 C. 0,12 D. [0,+∞)
8. 已知双曲线 C 的左、右焦点为 F1 ， F2 ， P 为其右支上一点，直线 PF1 与左支交于点 A ， 且 AP=AF2,∠F1PF2 的平分线与 x 轴交于点 B . 若 SΔPF1BSΔPF2B=32 ，则双曲线 C 的离心率为 ( )
A. 5 B. 7 C. 2 D. 3
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项 中, 有多个选项是符合题目要求的, 全部选对的得 6 分, 部分选的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 2a1+22a2+23a3+⋯+2nan=nn∈N∗ ,则 ( )
A. an+1=2an B. 数列 lg2an 为等差数列
C. Sn=1−an D. 数列 an 为单调递减数列
10. 设 O 为坐标原点,已知抛物线 C:y2=2pxp>0 的焦点为 F,C 的准线与 x 轴交于点 D−1,0 ,过点 D 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,则()
A. p=2 B. 直线 l 的斜率的取值范围为 −1,1
C. OA⋅OB=5
D. 1AF+1BF=12
11. 设函数 fx=ax3−2x2+1 ,则 ( )
A. 当 a2 时, fx 有三个零点
C. 若 fx 满足 fx+f2−x=−23 ,则 a=23
D. 当 a=1 时,若 fx 在 −1,m 上有最大值,则 m>0
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在等比数列 an 中, a2=1,a8=a6+2a4 ,则 a4= _____.
13. 若函数 fx=x2+mx+1ex 在区间 −1,1 上单调递减，则实数 m 的取值范围为_____.
14. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现: 已知平面内两个定点 A,B 及动点 P ,若 PBPA=λ
( λ>0 且 λ≠1 ),则点 P 的轨迹是圆. 后人以他名字将此圆命名为阿波罗尼斯圆. 在平面直角坐标系中,已知 O0,0,M0,−8 ,点 P 满足 PMPO=3 ,直线 l1:kx−y+k+1=0 ,直线 l2:x+ky+k+1=0 ，若 Q 为 l1 与 l2 的交点，则 PQ 的最大值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演 算步骤.
15. 已知圆 M:x−12+y−b2=r2r>0 的圆心在直线 y−3x=0 上,且直线 x−y=0 被圆 M 截得的弦长为 27 .
(1)求圆 M 的方程；
(2)过点 N−2,−1 作圆 M 的切线，求切线的方程.
16. 已知单调递增的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 a1=3,S2,S3+1,S5−3 成等比数列.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 bn=1anan+1+−1n⋅an ，数列 bn 的前 n 项和为 Tn ，求 T2n .
17. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中， △ADC 与 △BAC 均为等腰直角三角形，且 AD=2 ， ∠ADC=90∘,∠BAC=90∘,E 为 BC 的中点.

(1)若 F,G 分别为 PD,PE 的中点,求证: FG// 平面 PAB ;
(2)若 PA⊥ 平面 ABCD ， PA=AC ，求直线 AB 与平面 PCD 所成角的正弦值.
18. 已知函数 fx=x−12−alnx .
(1)若 a=4 ，求 fx 的单调区间；
(2)若 fx 有两个极值点，求实数 a 的取值范围；
(3)若 fx 在区间 1,2 上有且仅有一个零点,求实数 a 的取值范围.
19. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 63 ，且点 A3,1 在椭圆上.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)椭圆 C 的左焦点为 F ,若 T 为直线 x=−3 上一点,过点 F 且与 TF 垂直的直线交椭圆 C 于 P,Q 两点,线段 PQ 的中点为 M .
(i) 证明: 点 M 在直线 OT 上 ( O 为原点);
(ii) 求 △OPQ 的面积的最大值,以及此时点 T 的坐标.
1. A
利用求导法则求导, 代入即可求解.
f′x=csx−xsinx−csx=−xsinx ,所以 f′π3=−π3sinπ3=−π3×32=−3π6 , 故选: A
2. A
根据直线平行列方程,由此求得 m 的值.
因为直线 2x+y=0 与直线 6x−my+5=0 平行,所以 62=−m1 ,
即 −2m=6 ,解得 m=−3 . 经检验成立
故选: A.
3. A
由 a2>a1>0 ,可得 q>1 ,可得数列 an 为递增数列; 举反例说明反之不成立,根据充分不必要条件的定义即可得答案.
设数列 an 的公比为 qq≠0 ,
∵a2>a1>0 ,
∴a1q>a1>0 ,可得 q>1 ,
于是数列 an 为递增数列;
反之不成立,例如数列 −12n 是递增数列,但 a1=−12a1>0 ”是“数列 an 为递增数列”的充分不必要条件.
故选: A.
4. C
用捆绑法和插空法解决相邻和不相邻问题,再利用分步乘法原理即可得结果.
先排列 5 件是清朝的,由于 A,B 必须相邻,用捆绑法得排列数有: A44 A22=48 ; 由于唐朝的 3 件文物不得相邻,用插空法得排列数有: A53=60 ;
由乘法原理得:所有不同的摆法种数为 48×60=2880 ,
故选: C.
5. A
先求出 OB 与 OA 的坐标,再根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解.
因为 O0,0,0,A1,2,2,B0,2,2 ,
所以 OB=0,2,2,OA=1,2,2 ,
所以 OB⋅OAOA=0×1+2×2+2×21+4+4=83,OB=4+4=22 ,
所以点 B 到直线 OA 的距离为 OB2−OB⋅OAOA2=8−649=223 .
故选: A.
6. B
对于 A 项,求出直线 l 经过的定点坐标,判断该点与圆的关系,即可判断; 对于 B 项,代入 m=0 ,得出直线的方程,求出圆心到直线的距离,即可得出答案; 对于 C 项,根据两直线的系数计算即可得出; 对于 D 项,根据已知可知两圆外切,根据已知求出两圆圆心、半径, 列出方程, 求解即可得出答案.
对于 A 项,整理直线 l:m+1x+2y−1+m=0m∈R
可得出 mx+1+x+2y−1=0 ,
解方程组 x+1=0x+2y−1=0 可得 x=−1y=1 ,直线 l 过定点 A−1,1 .
圆 C:x+22+y2=4 的圆心为 C−2,0 ,半径为 r=2 ,
则 AC=−2+12+0−12=20 ,可得 t>1 或 t2 ,令 f′x0−a2>0 ,解得 −121,lnx>0 ,
所以 g′x>0 对 x∈1,2 恒成立,所以 gx 在 1,2 上单调递增,
又 g2=2−12ln2=1ln2 ,
因为 ℎx=lnx−x+1 ,可得 ℎ′x=1x−1 ,当 x>1 时, ℎ′x=1−xx