2025--2026学年河南省信阳市信阳高级中学北湖校区高二下学期6月测试（二）数学试题-含解析

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1. 设函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 已知平面向量，不共线，且，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
3. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（ ）种
A. 40B. 60C. 80D. 120
5. 已知奇函数满足，当时，，则（ ）
A. 0B. 1C. 3D. 5
6. 若函数的最小值为，则实数（ ）
A. B. C. 4D.
7. 已知定义在上的函数满足，则必有（ ）
A. B. C. D.
8. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第28项为（ ）
A. 735B. 733C. 731D. 729
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A. 的对应点在第三象限
B. 的虚部为
C.
D. 满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上
10. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 设函数的定义域为，且，则（ ）
A. 函数的值域为
B. 函数在上单调递减
C. 方程有3个不同的解
D. 若方程有10个不同的解，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______．
13. 已知是奇函数，则不等式的解集是______.
14. 已知函数，则函数的最大值为____，若函数在上为增函数，则w的取值范围为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，平面平面，四边形为正方形，，，，为线段上一点，且．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
16. 设常数，，.
（1）若是奇函数，求实数的值；
（2）设，中，内角的对边分别为.若，，，求的面积.
17. 小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足．
（1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率；
（2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率；
（3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差．
18. 设为椭圆在第一象限上一点，分别为的左、右焦点，过点且与相切的直线分别交轴、轴于两点（直线的斜率不为），为坐标原点．
（1）设点，求的最小值；
（2）证明：的面积不小于；
（3）证明：．
19. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，，求实数的取值范围；
（3）若，且存在，，使得，证明：．
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：A
解析：
思路：利用导数在处的定义，与导函数在处导数值相等即可求解.
解答过程：==，
而，所以，.
2. 已知平面向量，不共线，且，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
答案：A
解析：
思路：由平面向量基本定理可得.
解答过程：由题意可知平面向量不共线，且，
则.
3. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
解答过程：函数，函数的单调递增区间是，
由函数在上单调递增，得，则，因此，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
4. 6个除颜色外完全相同的小球，其中红、黄、蓝各2个，把这6个小球排成一排，其中红色小球不相邻的排法有（ ）种
A. 40B. 60C. 80D. 120
答案：B
解析：
思路：根据题意，先排黄、蓝4个小球，共有种，再把红球插入共有种，则共有种．
解答过程：首先排黄、蓝各2个，共4个小球，
相当于4个位置中，选2个放黄球，另2个放蓝球，共有种，
放好4个小球后， 选2个空位插入2个红球，共有种，
综上，共有种．
故选：B．
5. 已知奇函数满足，当时，，则（ ）
A. 0B. 1C. 3D. 5
答案：B
解析：
思路：首先根据可求出的周期，再结合可求出值，结合周期性可将转化到自变量在区间上的函数值，根据奇函数的性质及已知解析式可求解.
解答过程：因为函数满足，
所以，即是以4为周期的函数.
由题意知奇函数的自变量可取0，所以.
又因为当时，，所以，解得，
所以当时，，
所以 .
6. 若函数的最小值为，则实数（ ）
A. B. C. 4D.
答案：B
解析：
思路：分三种情况，利用导数讨论函数单调性，求出每种情况下的函数最小值，进而确定的值。
解答过程：因为，所以，
由题意，易知，
当时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在时，取得最小值，即，解得；
当时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以无最小值，故舍去；
综上，实数.
故选：B.
7. 已知定义在上的函数满足，则必有（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：设，则，所以在上单调递增，则，即，所以.
8. 南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第28项为（ ）
A. 735B. 733C. 731D. 729
答案：C
解析：
思路：根据题意，得到，结合累加法，求得，进而得到数列的第28项的值，得到答案.
解答过程：若某个二阶等差数列的前4项为：，
即，
可得，
所以 ，
所以.
故选：C.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数（为虚数单位），下列说法正确的是（ ）
A. 的对应点在第三象限
B. 的虚部为
C.
D. 满足的复数对应的点在以原点为圆心，为半径的圆上
答案：ACD
解析：
解答过程：由题可得：，
则复数在复平面内对应的点位于第三象限，A正确；
因为，则复数的虚部为，B错误；
，C正确；
由，
可知满足的复数对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上，D正确.
10. 已知关于的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：AD
解析：
思路：先将不等式化为一元二次不等式的标准形式，再根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识来逐一分析选项.
解答过程：由题可知，是方程的两根，∴，，A选项正确；
由图可知，当时，，，B选项错误；
当时，，.C选项错误；
∵，∴，∴，D选项正确.
故选:AD
11. 设函数的定义域为，且，则（ ）
A. 函数的值域为
B. 函数在上单调递减
C. 方程有3个不同的解
D. 若方程有10个不同的解，则
答案：BCD
解析：
思路：根据给定条件，求出函数，分段求出值域判断A；确定单调性判断B；求出方程的解判断C；转化为一元二次方程，并利用其根的分布列式求解判断D.
解答过程：依题意，当时，；
当时，，则；
当时，，则，
对于A，当时，；当时，；当时，
，函数的值域为，A错误；
对于B，当时，在上单调递减，B正确；
对于C，由选项A及，得或，解得
或，方程有3个不同的解，C正确；
对于D，观察图象，令，方程有10个不同的解，
等价于方程在内各有一个实数根，
因此，解得，D正确.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______．
答案：
解析：
思路：根据正态分布，明确分布关于均值对称，结合已知条件计算，再利用对称转化求出，进而求出实际人数．
解答过程：已知数学成绩，则分布关于对称，
，
已知，则，
，根据正态分布的对称性可知：，
正态分布是连续分布，
，故，
已知总人数为，
数学成绩为分以上的人数为：．
故答案为：．
13. 已知是奇函数，则不等式的解集是______.
答案：
解析：
思路：先根据奇函数的性质求出的值，再判断函数的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求解不等式.
解答过程：的定义域为，因为为奇函数，所以，故，即.
代入可得,其定义域为，关于原点对称，
且，为奇函数.
所以符合题意，
又均在上单调递增，
故在上单调递增，由 ，
得
又为奇函数，即，
所以，
所以，解得或，
故或，故原不等式的解集为
14. 已知函数，则函数的最大值为____，若函数在上为增函数，则w的取值范围为______．
答案： ①. 3 ②.
解析：
思路：根据正弦函数值域即可求f(x)最大值；求出f(x)的增区间，则根据为其子集即可求出ω关于整数k的范围，令k为具体的整数即可求出ω的具体范围.
解答过程：当sin＝1时，取最大值3；
函数在上为增函数，根据正弦函数的性质可知，
区间的长度最长为该正弦型函数最小正周期的一半，
即.
令，则，k∈Z；
则，k∈Z；
∵，
∴时，；
时，；时，∵，故不符题意；
综上，ω∈.
故答案为：3；.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图，平面平面，四边形为正方形，，，，为线段上一点，且．
（1）证明：平面．
（2）求二面角的余弦值．
答案：（1）证明见解析
（2）．
解析：
思路：（1）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证.
（2）由（1）中信息，求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解.
（1）证明：由正方形，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，取中点，连接，
由，，得四边形为平行四边形，则，
由，得，则直线，，两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，则，，，，，，
，，
设平面的法向量为，
则，则，
取，则，，得，而，
因此，则，又平面，
所以平面．
（2）由（1）得，
平面BDE的法向量为，
则，则，
令，则，，得，
设二面角的平面角为，且为锐角，
则，
所以二面角的余弦值为．
16. 设常数，，.
（1）若是奇函数，求实数的值；
（2）设，中，内角的对边分别为.若，，，求的面积.
答案：（1）；（2）或.
解析：
思路：
（1）由，知，再对进行检验，即可；
（2）结合二倍角公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质，可推出，再由余弦定理求出的值，最后根据，即可得解．
解答过程：（1）解：由题意
检验：
对任意都有
是奇函数
.
（2）解：，整理得，
A是三角形的内角
所以
由余弦定理，即
整理得，解得或
，或.
17. 小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足．
（1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率；
（2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率；
（3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差．
答案：（1）0.7 （2）
（3）；；
解析：
思路：（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解；
（2）根据题意结合贝叶斯公式运算求解；
（3）分析可知，结合二项分布求分布列、期望和方差.
（1）设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B．
由题意可知：，，，，
由全概率公式可得，
所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7．
（2）由题意可知：，
所以小明出发时不下雨的概率为．
（3）由题意可知：，
则，；
；；
可知X的分布列为，
所以X的数学期望，方差．
18. 设为椭圆在第一象限上一点，分别为的左、右焦点，过点且与相切的直线分别交轴、轴于两点（直线的斜率不为），为坐标原点．
（1）设点，求的最小值；
（2）证明：的面积不小于；
（3）证明：．
答案：（1）；
（2）证明见详解； （3）证明见详解.
解析：
思路：（1）设点，根据两点距离公式，可得，结合二次函数的图像性质即可求得其最小值；
（2）设切线方程为，与椭圆方程联立可得，进而可得，根据三角形面积公式结合不等式即可求得面积的最小值；
（3）设的倾斜角为，的倾斜角为，的倾斜角为，可得，故要证，只要证明即可．根据椭圆的定义和直线的斜率公式，分别计算直线、和的斜率，即可证明.
（1）设点，，，
则，
又为椭圆上一点，所以，整理得，
代入得，
故当时，取得最小值．
（2）设过点的切线方程为，
联立，得，
故，即，
解得，
故，即，
将其代入直线方程中得，故，
则直线方程为，易得，
故的面积．
又，即， 当且仅当时取等号，
故，即原命题得证．
（3）设的倾斜角为，的倾斜角为，的倾斜角为，则，
根据椭圆方程，得，，，

因为，
所以，
故要证，只要证明即可．
①当时，得，则，，，
所以，而，
易知，，所以，故.
②当时，，
又，，
则，
因，则，
由，
可得，
易知，，所以，故.
19. 已知函数．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，，求实数的取值范围；
（3）若，且存在，，使得，证明：．
答案：（1）
（2） （3）证明见解析
解析：
思路：（1）借助导数的几何意义计算即可得；
（2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得；
（3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得.
（1）若，则，，
，又，
故曲线在点处的切线方程为；
（2）由时，，即，整理得，
令，，则，
故在上单调递减，则，即；
（3）若，则，，
故当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
又时，，时，，
则，不妨设，则，
由，则，
两边同取对数，可得，
故，令，则，
即，，故，
要证，只需证，即只需证，
令，
则，
故在上单调递增，则，
即有恒成立，即得证.