安徽省太和中学2024−2025学年高二下学期第二次教学质量检测（4月）数学试题（含解析）

这是一份安徽省太和中学2024−2025学年高二下学期第二次教学质量检测（4月）数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．某校羽毛球队有5名男队员，6名女队员，现在需要派1名男队员，1名女队员作为一个组合参加市羽毛球混双比赛，则不同的组合方式有（ ）
A．11种B．22种C．30种D．60种
2．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知，，且，则向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．中国体育代表团在2024年巴黎奥运会获得40金27银24铜共91枚奖牌，金牌数与美国队并列排名第一､创造了参加境外奥运会的最佳战绩.巴黎奥运会中国内地奥运健儿代表团于8月29日至9月2日访问香港､澳门.访问期间，甲､乙､丙3名代表团团员与4名青少年站成一排拍照留念，若甲､乙､丙互不相邻，则不同的排法有（ ）
A．2880种B．1440种C．720种D．360种
5．抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．若圆与双曲线的渐近线相切，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
8．重阳节，农历九月初九，二九相重，称为“重九”，又称“登高节”，由于“九九”谐音是“久久”，有长久之意，所以常在此日祭祖与推行敬老活动．某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取14人赠送保健品，若14人中有名女性的可能性最大，则的值为（ ）
A．8B．7或8C．9D．8或9
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知一组互不相等的样本数据从小到大依次为，且这组数据的平均数为，标准差为，则下列说法正确的是（ ）
A．数据的中位数是
B．数据的分位数是
C．数据的平均数是
D．数据的标准差是
10．关于，下列结论正确的是（ ）
A．展开式中的常数项为1B．展开式中项的系数为
C．展开式中所有项的系数和为D．展开式中项的系数为392
11．已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（ ）
A．B．是等比数列
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 ．
13．已知某品牌袋装白砂糖的质量指标服从正态分布，则顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为 ．
附：若，则，，．
14．若关于x的不等式恒成立，则实数a的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
16．夏季濒临，在某校举办的篮球挑战杯上，篮球队员们向台下的观众展现出了一场酣畅淋漓的比赛．假定在本次挑战杯上同学甲每次投篮命中的概率为．
(1)若该同学投篮4次，求恰好投中2次的概率；
(2)若该同学在每一节比赛中连续投中2次，即停止投篮，否则他将继续投篮，投篮4次后不管有没有连续投中，都将停止投篮，求他在每一节比赛中投篮次数X的概率分布列及数学期望．
17．如图，平面平面，四边形是正方形，．
(1)求证：；
(2)求平面与平面夹角的余弦值．
18．已知椭圆的左、右顶点分别为，且，椭圆的焦距为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点（不在轴上）是椭圆上不同的两点．
①求直线的斜率之积；
②若直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
19．在几何学中，我们常用曲率来刻画曲线的弯曲程度．设光滑连续曲线，定义为曲线在点处的曲率，其中为的导函数，为的导函数．已知曲线．
(1)当时，求曲线在点处的曲率；
(2)已知曲线在不同的两点，处的曲率均为0．
①求实数的取值范围；
②证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】依题意第一步从5名男队员中选出1名，共有5种选法；
第二步，从6名女队员中选出1名，共有6种选法；
根据分步乘法计数原理可得不同的组合方式有（种）．
故选C．
2．【答案】B
【分析】先根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解.
【详解】，
所以z在复平面内对应的点为，位于第二象限.
故选B.
3．【答案】B
【分析】先根据数量积的运算律求出，再根据向量夹角的计算公式即可得解.
【详解】由，
得，
所以，
又，所以向量的夹角为.
故选B.
4．【答案】B
【详解】第一步先排4名青少年共有种排法，第二步把甲､乙､丙插在4名青少年中间有种排法，
所以根据分步乘法计数原理共有种排法，
故选B.
5．【答案】D
【详解】事件包含的基本事件有30个，则，事件包含的基本事件有8个，则，所以．
故选D．
6．【答案】B
【详解】双曲线的渐近线方程为，
圆的圆心，半径为2，
由对称性，圆心到渐近线的距离，
由题意得，故，
所以离心率.
故选B
7．【答案】C
【详解】因为在上单调递增，，所以由，得，
因为的解集为，
所以，，，
即，，，
所以，即为，即，
解得，
所以关于的不等式的解集是．
故选C．
8．【答案】D
【详解】若从参加活动的老人中随机抽取14人，且抽到的女性人数为，则，
若抽到名女性的可能性最大，则
即解得，
又，故或9．
故选D．
9．【答案】AC
【分析】根据中位数的定义即可判断A；根据百分位数的定义即可判断B；根据平均数的性质即可判断C；根据方差和标准差的性质即可判断D.
【详解】对于A，由题意数据的中位数是，故A正确；
对于B，因为，所以数据的分位数是，故B错误；
对于C，数据的平均数是，故C正确；
对于D，数据的方差为，
所以数据的标准差为，故D错误.
故选AC.
10．【答案】ABC
【详解】对于A，令，展开式中的常数项为1，A正确；
对于B，展开式中项的系数为，B正确：
对于C，令，展开式中所有项的系数和为，C正确：
对于D，展开式中项的系数为，D错误.
故选ABC.
11．【答案】AC
【详解】对于A，由，
可得，
所以，
所以，故A正确；
对于B：，
所以，
即是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，所以，
则，不是等比数列，故B错误；
对于C：数列的第106项为213，
又，，，，，，，
所以，故C正确；
对于D，的前项和为
，
故D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】.
13．【答案】0.8186
【详解】因为服从正态分布，且，，
所以，
即顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为0.8186．
14．【答案】
【详解】不等式，即，
所以．
设，则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，所以．
令，则．
当时，，单调递增，则，
故满足条件；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
设，则，
则在上单调递减，
又，
所以，所以，
所以a的最大值为．
15．【答案】(1);
(2).
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，
由，得，
所以，所以．
（2）由（1）知，
所以.
【思路导引】若通项公式是分式型，分子是常数，分母是相邻两项的积，则可以考虑用裂项相消法求和.
16．【答案】(1)
(2)分布列见解析，．
【分析】（1）根据题意利用二项分布求解即可得；
（2）根据题意分别求其概率、列出分布列求出期望即可得．
【详解】（1）令投中i次的概率为，
则；
（2）X的可能取值为2，3，4，
，
，
，
故X的概率分布列为：
数学期望．
17．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面， 又平面，
所以．因为四边形是正方形，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以；
（2）由（1）知平面，
又平面，所以，
又四边形是正方形，所以，
所以两两垂直．
以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设平面的法向量为，
则
令，得，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为．
18．【答案】(1)；
(2)①；②恒过点．
【详解】（1）由，得，解得，
设椭圆的焦距为，由焦距为4，得，解得，
又，所以椭圆的标准方程为；
（2）①由题意，得，
设，由在椭圆上，得，即，
所以，
即直线的斜率之积为．
②设，
若直线的斜率为0，则关于轴对称，所以，
又直线的斜率是直线的斜率的3倍，所以，即，
由不在轴上，得，与矛盾，
所以直线的斜率不为0．
设直线的方程为，
由，得，
所以，
且，
由①知，又，所以，
所以，即，
化简，得，
将代入上式并化简，得
，
即，解得或，
当时，与矛盾，舍去，
当时，满足，
所以直线恒过点．
19．【答案】(1)
(2)①；②证明见解析
【详解】（1）解：当时，，，
所以，，
故曲线在点处的曲率．
（2），由题意可知，，
则方程有两个根，，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减．
又时，，，且，
①由题可知，直线与函数的图象有两个不同的交点，
所以，
故实数的取值范围为．
②证明：由上可知，，不妨设．
下面证明：当，，
设，则，
令，则，所以在上单调递减，
则，所以在上单调递增，且，
即，故，．
设点在直线上，则，即，
所以，
即，
要证，需证，
需证，
又，只需证，即证．
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，
所以在上单调递减，所以成立，
故．
X
2
3
4
P