2025~2026学年安徽省阜阳市第三中学高二下册5月期中考试数学试题【含答案】

这是一份2025~2026学年安徽省阜阳市第三中学高二下册5月期中考试数学试题【含答案】，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，是正数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知的展开式中的常数项的系数为20，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
4. 某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（ ）
附：，，.
A. 优秀B. 良好C. 合格D. 基本合格
5. 已知函数为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 2026年斯诺克世锦赛5月5日在英国落幕，中国小将吴宜泽夺得冠军，成为亨德利之后最年轻的世锦赛冠军，若小吴将和你参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（ ）
A. 70B. 80C. 40D. 35
7. 设函数，若，则a的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 1
8. 已知各项均为正数的数列，其中，是正整数，是实数．若对任意，能构成三角形，则满足条件的的个数为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 无数个
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则（ ）
A. B. 含项的系数为15
C. 各二项式系数和为64D. 各项系数和为64
10. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A. 在上有最大值
B. 的图象关于点对称
C.
D. 方程在内有4个实数解
11. 有个编号分别为的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设，为虚数单位，，则______．
13. 安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有______种.（用数字作答）
14. 将，，，，五个字母排成一排，，均在的同侧，记，之间所含其它字母的个数为，则方差_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知中，内角的对边分别为，且满足.
（1）若，求的值；
（2）求角的最大值，并判断此时的形状.
16. 在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：
（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩．
参考公式：，，参考数据：，．
17. 已知函数，，
（1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值；
（2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；在
（3）当时，求关于的不等式的解集.
18. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？
19. 已知点在抛物线上．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上．
①若存在，使得，求直线的方程；
②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由．
数学
满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：先由对数和正弦函数的性质化简集合，再求交集.
解答过程：，
即
故选：C
2. 若，是正数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：D
解析：
思路：根据不等式的基本性质可得“”“”、“” “”，结合充分条件和必要条件的定义即可求解.
解答过程：由题意知，，
当时，由，得，
则“”“”；
当时，由，得，
则“” “”，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3. 已知的展开式中的常数项的系数为20，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
答案：D
解析：
思路：利用二项式定理写出通项公式，通过令的指数为0确定的值，结合常数项系数为20即可求解.
解答过程：由题意得，
则有，
令，即，则常数项系数为，
解得.
4. 某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（ ）
附：，，.
A. 优秀B. 良好C. 合格D. 基本合格
答案：B
解析：
思路：利用正态分布的性质即可求解.
解答过程：由题得，，所以，，
，，
因为，，
所以，
根据比例成绩大于分为优秀，
因为，
根据比例成绩在到之间的为良好，
，
根据比例成绩在到之间的为合格，
，
根据比例成绩小于分为基本合格，
因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好.
故选：B.
5. 已知函数为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用偶函数的性质直接求解即可.
解答过程：由已知得，当时，则，即，，
∵为偶函数，∴，即，
∴，，∴，
故选：.
6. 2026年斯诺克世锦赛5月5日在英国落幕，中国小将吴宜泽夺得冠军，成为亨德利之后最年轻的世锦赛冠军，若小吴将和你参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（ ）
A. 70B. 80C. 40D. 35
答案：A
解析：
解答过程：因为采用7局4胜制，先赢4局者获胜，所以可能赛4局，5局，6局，7局，
若赛4局，则有2种；若赛5局，则有种；
若赛6局，则有种；若赛7局，则有种；
综上所有赛事情况种数为种.
7. 设函数，若，则a的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 1
答案：B
解析：
思路：根据对数函数性质判断在不同区间的符号，在结合二次函数性质得为该二次函数的一个零点，结合恒成立列不等式求参数最值.
解答过程：函数定义域为，而，，，
要使，则二次函数，在上，在上，
所以为该二次函数的一个零点，易得，
则，且开口向上，
所以，只需，故a的最小值为.
故选：B
8. 已知各项均为正数的数列，其中，是正整数，是实数．若对任意，能构成三角形，则满足条件的的个数为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 无数个
答案：B
解析：
思路：由判断的范围，由三角形三边关系得的不等关系，构造函数，分析其零点，解不等式可得.
解答过程：设，
易知，所以三点共线.
由，得，所以点在线段上.
又，所以均在第一象限.
其中是奇数，是偶数，所以.
若，则.
此时要构成三角形，只需满足，即，即.
若，则.
此时要构成三角形，只需满足，即，即.
令，则是减函数，
又，，
所以存在x0∈1,2，使得当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以在区间上有一个零点，记为.
所以当时，；当时，.
令函数，则.
令，是增函数，
，
所以恒成立，恒成立，
所以在上单调递增，在上单调递增.
因，，满足题意；
，满足题意；
当时，，不满足题意。又函数在时单调递增，故对任意均不满足题意.
综上所述，满足条件的有4个，分别是.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则（ ）
A. B. 含项的系数为15
C. 各二项式系数和为64D. 各项系数和为64
答案：AC
解析：
思路：利用二项式系数的性质求出，再利用二项式定理逐项分析判断.
解答过程：对于A，由的展开式中仅第4项的二项式系数最大，得展开式共7项，则，A正确；
对于B，在的展开式中，含的项为，此项系数为，B错误；
对于C，的展开式的各二项式系数和为，C正确；
对于D，取，得的展开式各项系数和为0，D错误.
故选：AC
10. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A. 在上有最大值
B. 的图象关于点对称
C.
D. 方程在内有4个实数解
答案：ABD
解析：
思路：A选项：利用周期性将未知区间平移化归到已知解析式的区间来分析最值；B选项：结合已知的对称轴和周期性质，通过代数恒等变形验证中心对称公式成立；C选项：算出单一完整周期内各整数点的函数值之和为零，再利用总项数对周期数求余来确定最终结果，D选项：结合周期性分段画出函数图像，即可确定交点个数即方程在内实数解的个数.
解答过程：因为为奇函数，则有，即关于点对称，
因为为偶函数，则有，
令，则，
代入得，即，则关于直线对称，
可得，，
因此为周期函数，最小正周期，
对于A，当时，即时，已知在上，所以，
因此，所以在区间上单调递增，
又，，在此区间内从递增至，
当时，即时，
由关于的对称性可得，在上，
所以，因此，
所以在区间上单调递减，
即，，在此区间内从递减至，
综上，在区间上，在处取得最大值，故A正确；
对于B，由上知，进而有，
且，代入得，即，
故关于点对称，故B正确；
对于C，，，，，
，，，，
一个周期的和为，
从到共有项，包含253个完整周期，其和为0，
剩下的项是，总和为，故C错误；
对于D，方程在的解，就是与在内图像的交点，由上可作图象如下，
通过图像可得交点个数为4个，即在内有4个实数解，故D正确.
11. 有个编号分别为的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：BCD
解析：
思路：对于A，根据独立事件的概率公式求解判断，对于B，根据条件概率公式求解判断，对于C，根据和事件的概率公式求解判断，对于D，由题意可得，，然后求出比较即可.
解答过程：对于A，，所以A错误；
对于B，，
所以，所以B正确；
对于C，因为，，
所以，所以C正确，
对于D，由题意可得，，
，
所以，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以，所以，
所以，则，所以D正确.
故选：BCD.
方法提示：关键点点睛：本题D选项解决的关键是，利用全概率公式得到，从而利用构造法求得，由此得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设，为虚数单位，，则______．
答案：
解析：
解答过程：因为，
所以，所以.
13. 安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有______种.（用数字作答）
答案：210
解析：
解答过程：若3名老师去3所学校，则共有种分配方案；
若3名老师去2所学校，则共有种分配方案;
所以共有种分配方案.
故答案为：210.
14. 将，，，，五个字母排成一排，，均在的同侧，记，之间所含其它字母的个数为，则方差_________．
答案：##
解析：
思路：的可能取值为0，1，2，利用排列组合知识求得，，的排列数，求得分布列，进而利用方差公式求解即可.
解答过程：由题意知, 的可能取值为0，1，2.
由将，，，，五个字母排成一排，，均在的同侧，
当，即，之间没有其它字母时.先将，全排，有种排法，
再把，的全排看作一个大元素，与剩下的3个元素全排列，有种排法，
因此共有种排法；
当，即，之间只有，之一时，先将，全排列有种排法，
再在，中选1个放入，之间，有种选法，
再把这三个元素的排列看作一个大元素，和剩下的2个元素全排，有种排法，
因此共有种排法；
当，即，都在，之间时，先将，全排，有种排法，
把，全排列，有种排法，
再把，全排作为一个大元素放入，之间有1种放法，
再把这4个元素的排列看作一个大元素与全排，有种排法，
因此共有种排法.
所以基本事件共有种.
其中，，，
所以，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知中，内角的对边分别为，且满足.
（1）若，求的值；
（2）求角的最大值，并判断此时的形状.
答案：（1）
（2），等边三角形
解析：
思路：（1）利用正弦定理导出；
（2）用余弦定理结合基本不等式可求出角最大值，再根据等号成立条件判断三角形形状.
（1）中，由正弦定理得
（2）中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，
的最大值为，此时基本不等式等号成立，即，
为等边三角形.
16. 在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：
（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩．
参考公式：，，参考数据：，．
答案：（1）；（2）93分．
解析：
思路：（1）首先根据题意计算，，再代入公式计算即可得到回归直线方程.
（2）首先设出物理成绩，算出物理偏差和数学偏差，再代入回归直线方程即可得到答案.
解答过程：（1）由题意，，
，
，
所以，
故线性回归方程为．
（2）由题意，设该同学的物理成绩为，则物理偏差为：．
而数学偏差为，
则（1）的结论可得，，解得，
所以，可以预测这位同学的物理成绩为93分．
方法提示：本题第一问考查线性回归直线方程，第二问考查线性回归直线方程的应用问题，属于简单题.
17. 已知函数，，
（1）若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值；
（2）当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；在
（3）当时，求关于的不等式的解集.
答案：（1），；
（2）；
（3）答案见解析
解析：
思路：（1）先将代入，整理后得到，由题意得到的解集为或，从而得到方程 的两根为或及，将代入得到的值，再将代入，求解此方程得解；
（2）先在上乘以，得到，再将去掉括号，利用基本不等式求解即可；
（3）先将代入不等式，将其因式分解为，再根据，解出方程的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集.
（1），可化为，
移项整理得，不等式的解集为或，
或是方程的两个跟，且.
将代入方程，可得，解得.
把代入方程，得到，因式分解为，
即，故，.
（2）由（1）知，，则，，，，
当且仅当时，即时，等号成立，
，恒成立，
，，，
，，
故的取值范围是.
（3）不等式，即，因式分解为，
，的两根为，，
①当，即时，不等式，不等式的解集为；
②当，即时，不等式的解集为；
③当，即时，不等式的解集为.
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
18. 为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
（3）以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？
答案：（1）
（2）分布列见解析，
（3）最可能有6名或7名
解析：
思路：（1）根据小矩形面积之和为1，列出关系式，求解即可得出答案；
（2）根据频率分布直方图求出周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，进而得出每组的人数.根据超几何分布分别求出X分别取0，1，2，3时的概率，列出分布列，即可求出期望；
（3）先求出周平均阅读时间在内的概率.进而求出，由解出的范围，即可得出答案.
（1）由可得．
（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，
∴10人中，周平均阅读时间在的人数为人，在的人数为人，在的人数为人.
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
∴，，
，.
∴X的分布列为：
∴数学期望．
（3）用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率，
设周平均阅读时间在内的学生有名，则
，
所以．
令，解得，
所以当或，最大．
所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名．
19. 已知点在抛物线上．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上．
①若存在，使得，求直线的方程；
②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）①；②存在定点，定值．
解析：
思路：（1）由题意可得，进而求解即可得抛物线的标准方程；
（2）设，求得直线的方程，利用直线与圆相切可得，化简得，进而可得直线过定点；①利用，可求得，进而计算可求得直线的方程；②由题意可得点在以为直径的圆上，进而可得，可得结论.
（1）将点代入抛物线方程得，解得，
所以抛物线的标准方程为．
（2）设，
因为点，在抛物线上，所以，，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
同理可得到直线的距离为，
因为两直线均与圆相切，所以，即，
两边平方得，所以，
所以，
所以
整理得，
因为，是不同的两点，所以，
所以①，
设直线的方程为，与抛物线联立得，
所以，所以，所以，
所以的方程，所以，所以直线过定点.
①因为，，，
所以，
由，得，
显然不符合题意，所以，
所以，
所以②，
由①②得，所以或，
当，得，此时是方程，
又，不符合题意，舍去；
所以，可得，
由，，两式相减得，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
②因为直线过定点，过点作于点，
所以点在以为直径的圆上，所以，
所以存在定点，使得为定值，定值为.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学偏差x
20
15
13
3
2
-5
-10
-18
物理偏差y
6.5
3.5
3.5
1.5
0.5
-0.5
-2.5
-3.5
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
数学偏差x
20
15
13
3
2
-5
-10
-18
物理偏差y
6.5
3.5
3.5
1.5
0.5
-0.5
-2.5
-3.5
X
0
1
2
3
P