山西省忻州市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份山西省忻州市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，已知集合，，则=（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数是偶函数，则实数（ ）
A．B．C．D．
3．已知幂函数的图象不经过原点，则（ ）
A．B．C．或D．或
4．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．对于一个声强为I（单位：）的声波，其声强级L（单位：）可由如下公式计算：（其中是能引起听觉的最弱声强）.设声强为时的声强级为70，声强为时的声强级为60，则等于（ ）
A．10B．100C．D．10000
6．已知函数是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，当时，，则（ ）
A．B．C．1D．2
7．已知函数，若函数有3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．在自然界中，对称性无处不在.从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡.数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美.函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念.已知函数使得不等式成立的实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．下列选项中，正确的是（ ）
A．若，，则，
B．若不等式的解集为，则
C．函数的图象恒过定点
D．若，，且，则的最小值为9
10．下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，则
B．命题的否定是：
C．若且，则
D．若，则实数的取值范围为
11．已知函数，则（ ）
A．的图象关于轴对称
B．有两个零点
C．不等式的解集为
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．已知函数若，则___________.
13．已知函数，若，则实数________．
14．已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为________．
四、解答题
15．（1）求值：
（2）已知是方程的两根，且，求的值.
16．某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：
(1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？
(2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？
(3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，点是棱上的一点.
(1)求证：为直角三角形；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
18．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入（亿元）与产品收益（亿元）的数据统计如下：
(1)计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高）
(2)求出关于的线性回归方程，并预测若想收益超过20（亿元），则需研发投入至少多少亿元？（结果保留一位小数）
参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数的公式分别为，，.
参考数据：，，.
19．已知函数．
(1)若，求的极值；
(2)讨论函数的单调性；
(3)是否存在实数，使得的两个零点互为相反数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
研发投入（亿元）
1
2
3
4
5
产品收益（亿元）
3
7
9
10
11
参考答案
1．D
【详解】或，，
所以，
所以，即.
故选：D
2．C
【详解】已知函数的定义域为，
所以 ，
又因为函数是偶函数，所以，解得，故C正确.
3．A
【详解】由题意可得，解得或，
当时，，此时图象不经过原点，符合题意；
当时，，此时图象经过原点，不符合题意；
所以，.
4．B
【详解】函数的定义域为.
又，
函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项AD；
又时，，可排除选项C.
故选：B.
5．A
【详解】令，则，解得：，
令，则，解得：，
故.
故选：A
6．A
【详解】因为是定义在上的奇函数，且其图象关于直线对称，
所以，
，
所以函数的周期为，
.
故选：A
7．D
【详解】令，故，
画出与的图象，
函数有3个零点，即与图象有3个不同的交点，
则，
解得.
故选：D
8．C
【详解】，
，
所以函数关于直线对称，
当时，，
由对号函数单调性可知在时单调递增，单调递增，
所以在上单调递增，
由，可得，
，化简整理得，
解得.
故选：C.
9．AD
【详解】对于A：由题知,“”的否定是“”，故A正确；
对于B：若不等式的解集为,
则的两根为，且,
根据韦达定理有: ，解得，所以,故B错误；
对于C：对数函数恒过,
所以恒过，故C错误；
对于D：因为,
所以,
当且仅当,即时等式成立，
故的最小值为9，故D正确.
故选：AD.
10．ABC
【详解】对于选项A：
因为，所以.
因为，所以，即，所以A正确；
对于选项B：
特称命题的否定是全称命题，对于命题的否定是：
，所以B正确；
对于选项C：
，因为，
所以，所以，
所以，所以C正确；
对于选项D：
因为时，恒成立，即恒成立.
根据基本不等式的性质，
所以要使得不等式恒成立，则，所以D错误.
故选：ABC.
11．ABD
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，A对；
对于B选项，当时，，
因为函数、、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，且，
故函数在上为减函数，且，
故函数有且只有两个零点，B对；
对于C选项，因为函数是定义域为上的偶函数，且该函数在上为增函数，
由可得，所以，解得且，
所以不等式的解集为，C错；
对于D选项，因为，
所以，
由可得，即，
因为函数在上单调递增，所以，即，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，D对.
12．
【详解】因为，若，则，
当时， 无解
当时，，可得，
故答案为：
13．10
【详解】由题意，故.
14．
【详解】，，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，由，可得的值域为.
，，
当时，，单调递增，由，可得的值域为.
因为若对，总，使成立，所以，
即，解得，故实数a的取值范围为.
15．（1）；（2）
【详解】（1）
（2）已知是方程的两根，则
由，
可得
16．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）2个唱歌节目排在两头，先排两头的唱歌节目，有种，再排中间的5个节目，有种，
则唱歌节目排在两头，有种排法；
（2）2个唱歌节目全排列，排法有种，将这2个唱歌节目看成一个整体，
3个舞蹈节目全排列，排法有种，将这3个舞蹈节目看成一个整体，
把这两个整体进行全排列，排法有种，此时这两个整体的全排列，形成3个空，
将2个小品节目插入这3个空中，排法有种，
则唱歌节目，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，
有种；
（3）7个节目进行全排列，排法有种，3个舞蹈节目出场顺序固定，则不同的排法有种.
17．(1)
取的中点，连接，，由等边可得，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
又平面，所以.
在中，，，，
由余弦定理可得OC= DO2+DC2−2DO⋅DCcs∠ODC=3，
因为，所以，
又，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，
故为直角三角形.
(2)
【详解】（1）略
（2）由（1）得，，两两垂直，
如图，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设（），则.
设平面的一个法向量，则
令，解得，，
所以平面的一个法向量.
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
解得或（舍），所以，
，
即线段的长为.
18．(1)，相关程度较高
(2)，9.3亿元
【详解】（1）由表中数据可知，，，
，，，
则，
故相关程度较高；
（2），，
则，，
故，
令，解得，
故研发投入至少9.3亿元.
19．(1)极大值为，极小值为.
(2)时，在上单调递减，在单调递增；
时，在和上单调递增，在上单调递减；
时，在R上单调递增；
时， 在和上单调递增，在上单调递减.
(3)不存在满足条件的a，理由如下：
假设存在实数a，使得的两个零点互为相反数，设两个零点为和，
则有：，
两式相减消去参数a，得，
令，
求导得，对任意，恒成立，
仅在处导数为0，故在R上单调递增，
又，因此仅有唯一解，
但时，与零点定义矛盾，故不存在满足条件的a.
【详解】（1）当时，，
对函数求导得：，
解得或；解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为，极小值为.
（2），
对求导得，
当时，恒成立，
时，单调递减；时，单调递增，
当时，令得或，
①若，则，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
②若，则，恒成立，在R上单调递增；
③若，则，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
综上所述，时，在上单调递减，在单调递增；
时，在和上单调递增，在上单调递减；
时，在R上单调递增；
时， 在和上单调递增，在上单调递减.