山西省忻州市重点高中2020-2021学年高二下学期期末考试 数学（文）试卷

2020—2021学年第二学期高二期末考试数学试题（文科）

【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，集合，则

A．        B．          C．  D． 

2．命题“”的否定是

A．         B．

C．         D．

3．命题，命题，使得，则下列判断正确的是

A．是真命题              B． 是真命题

C．是真命题           D． 是真命题

4．设 ，则“”是“”的

A．充分不必要条件             B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

5．已知函数是奇函数，则函数的值域为

A．         B．       C．        D．

6．函数有最大值，则实数的范围是

A．      B．       C．      D．

7．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据：）

A．            B．       C．           D．

8．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增．设，，，则的大小关系为

A．      B．      C．      D．

9．函数的部分图象大致为

A．            B．                C．               D．

10．已知单调函数的定义域为，对于定义域内任意，则的零点所在的区间为

A．            B．           C．        D．

11．已知函数，当时，，若在上的最大值为，则为

A．             B．               C．            D．

12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，给出下列命题：

①当时，；②的解集为；

③函数有2个零点；④，都有．

其中正确的命题是

A．①③            B．②③            C．②④            D．③④

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．函数的图象在点处的切线方程为________

14．函数的图象恒过定点，则_______

15．已知是定义在上的周期为的奇函数，且，则的值为______

16．已知函数,若存在实数，使得成立，则实数的值为______

三、解答题:本大题共70分

17．（本小题满分12分）

计算：(1)；

(2)．

18．（本小题满分12分）

已知幂函数是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增．

(1)求函数的解析式；

(2)若正数满足，求的最小值．

19．（本小题满分12分）

已知函数．

(1)若函数在上有零点，求的取值范围；

(2)若函数在上的最大值为，求的值．

20．(本小题满分12分)

设函数．

(1)令，求的最值；

(2)令，证明：当时，．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

(1)当时，函数单调递增，求的取值范围；

(2)若为的极值点，且，求正数的值．

选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，直线的参数方程为，以坐标原点为极点，取相同的单位长度，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求直线的普通方程，曲线的直角坐标方程；

(2)设直线与曲线交于两点，点在上运动，求面积的最大值．

23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数，其中为正实数.

(1) 当时，求不等式的解集；

(2) 若函数的最小值为，求的最小值．

2020—2021学年第二学期高二期末考试数学答案（文科）

1~5.  DBBAA     6~10.  BDBCC    11~12.  AC

13.   14.   15.   16. 

17.  解：(1)          （2）12

18. 解：(1) 由题：，所以，又在上单调递增，故， ，或，又为偶函数，，即. 

(2)， , 所以

，当且仅当即，即，时等号成立.所以所求最小值为2..

19.解：(1) 实数的取值范围为，

(2) ，对称轴，

当 即时，最大值在处取到，即：，解得

或(舍)；

当即时，最大值在处取到 ，即： ，解得：或（舍）,

综上：或.

20.解：(1) 由题，，令，得，当时，，时，，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，函数有极小值，无极大值；所以函数

有最小值，无最大值；

 (2)当时， ，要证，只需证成立，

令，，，

所以在上单调递减，，

在上单调递减，，.

21.解：(1)由题意知时，恒成立，即有

可知单调递增，因此有.

(2), ，故单调递增，由题意知存在唯一零点，因此有，所以，

又因为，得，整理得：，

设，则单调递增，又 则，使得

，此时，不符合题意，舍；

当时，，符合题意. 综上：.

22.解:(1)将直线的参数方程，消去参数，得，

所以直线的普通方程为．

将,代入，

得，所以曲线的直角坐标方程为．

(2)由(1)可知直线：，曲线:，所以圆心到直线的距离，所以．设的中点为，则当曲线上的点到直线的距离最大，即当为过点且与垂直的直线与的交点时，最大，

此时 ．

23. 解：(1)当时，，

当时，即，解得，所以；

当时，即，不等式恒成立，所以；

当时，即，解得，所以．

综上所述，不等式的解集为．

(2)因为，所以.

因为的最小值为，所以，

．因为，当且仅当等号成立；，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立，所以，

所以，所以的最小值为，此时.