山西省忻州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含解析（word版）

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1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑; 非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围: 选择性必修一, 选择性必修二
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 若直线 2x−4y+1=0 与 mx+2y+4=0 互相垂直，则 m= ( )
A. -1 B. -4 C. 4 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线垂直的充要条件列式求解.
【详解】由题意知 2m−4×2=0 ,所以 m=4 .
故选: C.
2. 在等差数列 an 中, a4+a5+a6=15 ,则 a2+a8= ( )
A. 5 B. 6 C. 10 D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差中项的性质可得出 a5 的值,进而利用等差中项的性质可求得 a2+a8 的值.
【详解】由等差中项的性质可得 a4+a5+a6=3a5=15 ,解得 a5=5 ,
所以 a2+a8=2a5=10 .
故选: C
3. 在四面体 OABC 中， BG=4GC . 设 OA=a,OB=b,OC=c ，则 AG= ( )
A. −a+14b+34c B. −a−14b+23c
C. −a+15b+45c D. −a+15b−45c
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的运算进行求解即可.
【详解】 AG=OG−OA=OB+BG−OA=OB+45BC−OA=−a+15b+45c .
故选: C
4. 已知双曲线 x2−y23=1 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 在双曲线上,且 ∠F1PF2=120∘ , ΔF1PF2 的面积为
A. 23 B. 3 C. 25 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据双曲线方程得到 a=1 ， b=3 ， c=2 ，设 PF1=m ， PF2=n 可得， m−n=2a=2 .
由 ∠F1PF2=120∘ ,在 ΔF1PF2 根据余弦定理可得: F1F22=PF12+PF22−2PF1PF2cs120∘ ,即可求得答案.
【详解】 ∵x2−y23=1
a=1,b=3,c=2
∵P 在双曲线上,
设 PF1=m,PF2=n
∴m−n=2a=2−− ①
由 ∠F1PF2=120∘
在 ΔF1PF2 根据余弦定理可得:
F1F22=PF12+PF22−2PF1PF2cs120∘
故 16=m2+n2−2mn−12
即: 16=m2+n2+mn− ②
由①②可得 mn=4
∴ 直角 ΔF1PF2 的面积 SΔF1PF2=12PF1⋅PF2sin∠F1PF2=12mn⋅sin120∘=3 故选:B.
【点睛】本题考查求椭圆中三角形面积问题,解题关键是掌握椭圆定义和椭圆中三角形面积求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
5. 已知数列 1,−22,12,−24,14,…… ,则该数列的一个通项公式为( )
A. an=−22n+1 B. an=−1n−12n2n
C. an=−1n+12n−1n D. an=−22n−1
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意中一组数的规律归纳出数列的通项公式即可.
【详解】将数据代入各个选项中, 验证可知,
该数列的一个通项公式为 an=−22n−1 .
故选: D.
6. 已知函数 fx=x3−mx+6lnx 在定义域内单调递增，则实数 m 的取值范围为 ( )
A. −∞,9 B. [9,+∞) C. −∞,9 D. 9,+∞
【答案】A
【解析】
【分析】先求得 f′x=3x2−m+6x ,得到 f′x≥0 恒成立,转化为 m≤3x2+6x 在 x∈0,+∞ 恒成立,即 m≤3x2+6xmin ,构造函数 tx=3x2+6x ,利用导数求得函数 tx 的单调性与最小值, 即可求解.
【详解】由函数 fx=x3−mx+6lnx ,可得其定义域为 0,+∞ 且 f′x=3x2−m+6x ,
因为函数 fx 在定义域内单调递增,所以 f′x=3x2−m+6x≥0 恒成立,
即 m≤3x2+6x 在 x∈0,+∞ 恒成立,即 m≤3x2+6xmin ,
设 tx=3x2+6x,x>0 ,可得 t′x=6x−6x2=6x3−1x2 ,
当 x∈0,1 时， t′x0,tx 单调递增,
所以 txmin=t1=3+6=9 ,所以 m≤9 .
故选: A.
7. 已知定点 A2,2,B0,2 ，点 P 在抛物线 C:y=18x2 上，则 PA+PB 的最小值为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的定义和性质,结合图象求出 PA+PB 的最小值.
【详解】抛物线 C:y=18x2 ,即 x2=8y ,其焦点为 F0,2 ,准线方程为 l:y=−2 ,
易知 A2,2 在抛物线的内部,点 B 即为焦点 F ,
如图所示,过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q ,则 PB=PQ ,即 PA+PB=PA+PQ ,
显然当 P,A,Q 三点共线时 PA+PB 最小,最小值为 2−−2=4 ,
即 PA+PB 的最小值为 4 ,
故选: B.

8. 已知曲线 C:y=13x3−x2−4x+1 ,直线 l:x+y+2k−1=0 . 若当 x∈−3,3 时,直线 l 恒在曲线 C 的上方,则实数 k 的取值范围是( )
A. −56,+∞ B. −∞,−56C. −∞,−34 D. −34,+∞
【答案】B
【解析】
【分析】将问题转化为 −x−2k+1−13x3−x2−4x+1>0 恒成立,再分离出 k ,再求函数的最小值即可.
【详解】当 x∈−3,3 时,直线 l 恒在曲线 C 的上方,
等价于当 x∈−3,3 时, −x−2k+1−13x3−x2−4x+1>0 恒成立,
则 k0 时, −1