广东省深圳市南山为明学校2025-2026学年第二学期九年级中考第三次学情自测数学试卷

这是一份广东省深圳市南山为明学校2025-2026学年第二学期九年级中考第三次学情自测数学试卷，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．−5的倒数等于（ ）
A．−15B．−5C．15D．5
2．生活中，我们常用的五号电池整体可以近似看作一个圆柱体叠上一个圆柱体．如图，这是五号电池的示意图，则该电池的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．3a+4b=7abB．3x3=9x3
C．−2ab22=4a2b4D．x−22=x2−4
4．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，AB和CD是五线谱上的两条线段，点E在AB，CD之间的一条平行线上，若∠1=125°，∠2=35°，则∠BEC的度数为（ ）
A．90°B．85°C．95°D．80°
5．如图，在每个小方格均为小正方形的网格中，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．23B．12C．33D．21313
6．皮影戏是中国民间古老的传统艺术，如图，在灯光的照射下，幕布上呈现出“人物”的影子．若将光源看作位似中心，以光源为原点建立直角坐标系，皮影道具（原图）上的一点(3,2)对应到幕布（像）上的对应点为(6,4)，则道具上的另一点(4,−3)对应到幕布上的点为（ ）
A．(6,−4)B．(6,8)C．(−8,6)D．(8,−6)
7．匾额是巴渝文化的重要标识，它既传递吉祥祈福的美好愿景，又承载忠孝节义、崇文重教的传统价值观，是巴渝民俗文化的活化石”．如图，一块匾额长1.8m，宽0.8m，现在准备在它的四周加一个外框（外框宽度相同，外框与匾额衔接处忽略不计），制成后总面积为2m2．设外框的宽度为xm，根据题意可列方程为（ ）
A．1.8+x0.8+x=2B．1.8−x0.8−x=2
C．1.8+2x0.8+2x=2D．1.8−2x0.8−2x=2
8．已知：菱形ABCD中，AB=3，AC=2，AC与BD交于点O，点E为OB上一点，以AE为对称轴，折叠△ABE，使点B的对应点F恰好落在边CD上，则BE的长为（ ）
A．324B．22C．32D．334
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
9．分解因式：x3-16x= 。
10．方程x2+mx−2m=0的两个根为x1、x2，若x1+x2=−5，则x1⋅x2的值为 ．
11．小诚和爸爸搭乘长途汽车回老家过年，在小程序上购票时，系统自动将两人分配到同一排（如图是长途汽车座位示意图），则小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的概率是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，OA=3，将OA沿y轴向上平移3个单位至CB，连接AB，若反比例函数y=kxx>0的图象恰好过点A与BC的中点D，则k= ．
13．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC=5，BC=8，以AB为斜边作Rt△ADB，∠ADB=90°，tan∠ABD=12，连接CD，交AB于点E，则BE= ．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分）
14．计算：2cs60°−(π−2026)0−−12−2−3−2
15．先化简1−a+3a+1÷a2−4a2+2a+1，再从−2,−1,0,1,2中取一个数代入求值．
16．某校生物老师组织学生开展“土壤的酸碱度对植物生长的影响”实验探究．学生分别向六个培养盆装入不同酸碱度（pH值）的土壤，在其他条件均相同的情况下，在每个培养盆中种植8株蒜苗．一段时间后测量蒜苗的高度（单位：cm），并对所得的相关数据进行整理、描述、分析．下面给出了部分信息：
a．不同酸碱度（pH值）的土壤中蒜苗高度的平均数和中位数的条形统计图（不完整）如下：
b．酸碱度（pH值）为6和6.3的土壤中蒜苗高度的数据如表：
c．不同酸碱度（pH值）的土壤中蒜苗高度的方差如表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）请直接写出m，n的值，并补全条形统计图．
（2）根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（pH值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，请估计这块试验田中高度不低于13cm的蒜苗有多少株．
（3）请你从以上实验数据的平均数、中位数、方差这三个统计量中选择两个分析土壤的酸碱度（pH值）对蒜苗生长高度的影响．
17．人工智能被称为世界三大尖端技术之一，近来年得到了迅猛发展，取得了丰硕成果.2024年12月26日，中国人工智能公司发布DeepSeek−V3模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A，B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
（1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
18．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上两点，∠ABD=2∠BAC．
（1）尺规作图：作CE⊥BD于E（保留作图痕迹，不用写作图步骤）；
（2）求证：CE是⊙O的切线；
（3）若BC=3，BD=7，cs∠DCA的值．
19．（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC边上的点且BE=BF，延长AB至G使得BG=BC，延长GF交CE于点H，求证：GH⊥CE；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将△ABC绕点B顺时针旋转至△EBF，且点E落在AC上，求sin∠CEF的值；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=90°，BC=6，CD=33，sin∠BCD=13，连接AC，BD，当△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，直接写出AC的值．
20．抛物线y=−x2+bx与x轴交于原点和点A4,0，点B为抛物线的顶点，点Mm,y1，Nm+3,y2为抛物线y=−x2+bx上不重合的两个点．
（1）求b的值；
（2）试判断是否存在实数m使得2y1+y2=9？若存在，求出m值；若不存在，请说明理由；
（3）记点M，N两点之间的部分（包括M，N两点）为图象G，点B在图象G上，设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d．
①求d与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
②图象G上的最低点关于抛物线对称轴的对称点记为点P，再以最低点与点P的连线为边向其上方作正方形，点B到正方形边的最小距离记为f．当点O在该正方形内部，点B在该正方形外部，且f=32时，直接写出m的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：−5的倒数是−15．
故答案为：A。
【分析】一个数的倒数，等于这个数分之一，但是0没有倒数。本题根据倒数的定义即可得出答案。
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：四个选项中，只有B选项，一个大圆和一个中心的实线小圆组成，完全符合俯视图的特征。
故答案为：B。
【分析】本题结合三视图并结合图中信息分析得出，选项A是从下往上看到的图形，选项D是主视图。
3．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A，3a与4b不是同类项，不能合并， A错误；
B，3x3=33x3=27x3≠9x3，B错误；
C，−2ab22=(−2)2a2b4=4a2b4，正确；
D，x−22=x2−4x+4≠x2-4，错误．
故答案为：C。
【分析】根据合并同类项判断A选项，积的乘方计算判断BC选项，完全平方公式计算判断D选项。
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如下图所示，
∵AB∥EF，
∴∠1+∠BEF=180°，
∵∠1=125°，
∴∠BEF=55°，
∵EF∥CD，∠2=35°，
∴∠FEC=∠2=35°，
∴∠BEC=∠BEF+∠CEF=35°+55°=90°．
故选：A．
【分析】根据平行线的性质可得，∠FEC=∠2=35°，∠1+∠BEF=180°，根据角的和差关系，求解即可．
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：根据勾股定理计算得
AB=12+52=26，
AC=22+22=22，
BC=32+32=32，
∴AC2+BC2=222+322=8+18=26=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴tan∠ABC=ACBC=2232=23，
故选A．
【分析】根据勾股定理可得AB，AC，BC，再根据勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，再根据正切定义即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵皮影道具（原图）上的一点(3,2)对应到幕布（像）上的对应点为(6,4)，
∴位似比为3:6=1:2，
∴道具上的另一点(4,−3)对应到幕布上的点为(4×2，−6×2)，即(8,−6)．
故答案为：D。
【分析】本题先根据图中信息计算出位似比为1:2，然后由道具上的点(4,−3)并结合位似比进行计算，即可得对应到幕布上的点的坐标．
7．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：∵ 匾额原长为 1.8m，宽为 0.8m，且在四周加宽度为xm的外框，
∴制成后的总长度为(1.8+2x)m，总宽度为 (0.8+2x)m，
∵制成后的总面积为2m2，
∴根据矩形面积公式可列方程：(1.8+2x)(0.8+2x)=2．
故答案为：C
【分析】设外框的宽度为xm，根据题意建立方程即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】在菱形ABCD中，AB=3，AC=2
∴AO⊥BD，AO=12AC=1
∴OB=AB2−OA2=32−12=2，
∴BD=2OB=22，
由拆叠可知AF=AB=AD，∠BAE=∠FAE，
∴∠ADC=∠AFD，
∴∠BAE=12∠BAF=12∠AFD=12∠ADC=∠ADB
∵∠ABD=∠ABD，
∴△ABE∽△DBA，
∴BEAB=ABBD，
∴BE3=322，
∴BE=324
故答案为：A．
【分析】先根据所给条件，结合菱形性质，求出BD的长，再根据折叠性质，逐步证明△ABE∽△DBA．再根据对应线段成比例：ABDB=BEAB，即可求出BE的长度．
9．【答案】x（x+4）（x-4）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x3-16x=x（x2-16）=x（x+4）（x-4）
【分析】首先利用提公因式法再利用平方差公式进行因式分解即可得到答案。
10．【答案】−10​​​​​​​
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵方程x2+mx−2m=0的两个根为x1、x2，且x1+x2=−5，
∴x1+x2=−5=−m1，
即m=5，
∴x1⋅x2=−2m1=−2×5=−10，
故答案为：-10.
【分析】对于一元二次方程x2+mx−2m=0，二次项系数a=1，一次项系数b=m，常数项c=−2m，本题结合一元二次方程根与系数的关系，即x1+x2=−ba=−m，即可先求出m=5，然后根据x1⋅x2=ca=−2m，代入即可求出答案。
11．【答案】12​​​​​​​
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
一共有12种可能的情况，小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座的情况有6种，
∴小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的概率是：612=12，
故答案为：12
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出小诚和爸爸分配的座位恰好是邻座（过道两侧也视为邻座）的结果，再根据概率公式即可求出答案.
12．【答案】25
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平移的性质；线段的中点；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，延长BA交x轴于点E，
∵将OA沿y轴向上平移3个单位至CB，
∴OC=OA=3,BC=OA,BC∥OA，
∴四边形OABC是平行四边形，点C的坐标为0,3，
∵OC=OA=3，
∴四边形OABC是菱形，
∴AB∥y轴，AB=3，
即BE⊥x轴，
设点A的坐标为a,b，则点Ba,3+b，a2+b2=9，
∵点D为BC的中点，
∴点D的坐标为a2,3+3+b2，
∵反比例函数y=kxx>0的图象恰好过点A与BC的中点D，
∴a2×3+3+b2=ab，
解得：b=2，
∴a=5（负值舍去），
∴点A的坐标为5,2，
把点5,2代入y=kxx>0得：k=25．
故答案为：25
【分析】延长BA交x轴于点E，根据平移性质可得OC=OA=3,BC=OA,BC∥OA，根据菱形判定定理可得四边形OABC是菱形，则AB∥y轴，AB=3，即BE⊥x轴，设点A的坐标为a,b，则点Ba,3+b，a2+b2=9，根据线段中点可得点D的坐标为a2,3+3+b2，将点A，D坐标代入反比例函数解析式可得b值，求出a值，则点A的坐标为5,2，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
13．【答案】8017
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：
如图，过A作AM⊥BC于M，过D作DF⊥AB于F，过C作CG⊥AB于G，
∵∠ADB=90°，tan∠ABD=12，
∴AD:BD:AB=1:2:5，
∵AB=5，
∴AD=5，BD=25，
∵S△ABD=12×AD×BD=12×AB×DF
∴DF=AD⋅BDAB=5×255=2，BF=252−22=4，
∴AF=AB−BF=5−4=1，
∵AB=AC=5，BC=8，AM⊥BC，
∴BM=CM=4，AM=52−42=3，
∴CG=BC⋅AMAB=245，
∴AG=52−2452=75，
∴FG=AF+AG=1+75=125，
∵∠DFE=∠CGE=90°，∠DEF=∠CEG，
∴△DFE∽△CGE，
∴EFEG=DFCG=2245=512，
∴EF=517FG=1217，
∴BE=BF+EF=4+1217=8017；
故答案为：8017.
【分析】先根据∠ABD的正切值，求出AD=5，BD=25，再利用等面积法，求出DF=AD⋅BDAB=2，BF=4，AF=5−4=1，再根据题目所给条件，得到BM=CM=4，利用勾股定理，求出AM=52−42=3，再利用等面积法，求出CG=BC⋅AMAB=245，进一步求解FG=AF+AG=1+75=125，证明△DFE∽△CGE，再利用相似三角形的对应边成比例解答即可.
14．【答案】解：原式=2×12−1−4−2−3
=1−1−4+3−2
=−6+3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；求余弦值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】特殊角的三角函数值cs60°=12，零指数幂(π−2026)0=1，负整数指数幂−12−2=4，绝对值的非负性3−2=2−3，最后按照实数的混合计算法则进行计算即可。
15．【答案】解：1−a+3a+1÷a2−4a2+2a+1
=−a+1a−1+3a+1×a+12a+2a−2
=2−a2+aa+1×a+12a+2a−2
=−a−1，
由题意得知，a+1≠0、a+2≠0、a−2≠0，即a≠-1、-2、2，
因此a可以取0或1，
当a=1时，
原式=−a−1=−1−1=−2．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题先把括号里通分计算，同时结合完全平方公式和平方差公式将括号外的分式变形，接着把除法转化为乘法并进行约分化简，得到−a−1，此时结合分式有意义的条件，即分母不为0，分析得出a≠-1、-2、2，因此a可以取0或1，然后选择其中一个代入计算即可。
16．【答案】（1）m=12.3；n=13.1；
（2）解：根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（pH值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，则：根据实验数据可得，当酸碱度（pH值）为6时，蒜苗高度不低于13cm的占比为48=12，
∴120×12=60（株）
答：这块试验田中高度不低于13cm的蒜苗有60株；
（3）解：①从平均数角度分析：土壤的酸碱度（pH值）为6时，蒜苗生长高度的平均数最高，说明该酸碱度下蒜苗的整体生长水平最优；当pH值偏离6（无论升高或降低），平均数均呈下降趋势；
②从中位数角度分析：土壤的酸碱度（pH值）为6时，蒜苗生长高度的中位数最高，与平均数趋势一致，进一步验证该酸碱度下蒜苗的中等生长高度也最优；
③从方差角度分析：土壤的酸碱度（pH值）为6时方差最小，说明该酸碱度下蒜苗个体间的高度差异最小，生长状态最稳定；土壤的酸碱度（pH值）为10时方差最大，说明该酸碱度下蒜苗个体生长差异最大，生长状态最不稳定．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意得，m=12.8+11.9+11.7+12.5+11.3+13.3+12.3+12.6÷8=12.3；
将pH值为6的8个数据从小到大排列为：12.7，12.8，12.8，12.9，13.3，13.5，13.6，14，
∴中位数n=12.9+13.32=13.1 ，
补全条形统计图如下：
【分析】（1）平均数是所有数值的和除以数值的个数，表示一组数据的总体“平均水平”；中位数是一组数据排序后处于中间位置的数值，表示数据的中间水平。当数据量是奇数时，中位数就是中间那个数；当数据量是偶数时，中位数是中间两个数的平均值根据平均数。本题根据平均数的定义计算求出m，然后结合中位数的定义求出n，最后补全条形统计图即可；
（2）先求出当酸碱度（pH值）为6时，蒜苗高度不低于13cm的占比为12，再用120乘以占比即可；
（3）根据条形统计图以及平均数、中位数和方差的意义分析即可．
（1）解：由题意得，m=12.8+11.9+11.7+12.5+11.3+13.3+12.3+12.6÷8=12.3；
将pH值为6的8个数据从小到大排列为：12.7，12.8，12.8，12.9，13.3，13.5，13.6，14，
∴中位数n=12.9+13.32=13.1 ，
补全条形统计图如下：
（2）解：根据以上实验数据，该校计划在酸碱度（pH值）为6的试验田中种植120株蒜苗（其他条件与培养盆的条件相同），经过相同时间后测量蒜苗的高度，则：
根据实验数据可得，当酸碱度（pH值）为6时，蒜苗高度不低于13cm的占比为48=12，
∴120×12=60（株）
答：这块试验田中高度不低于13cm的蒜苗有60株；
（3）解：①从平均数角度分析：土壤的酸碱度（pH值）为6时，蒜苗生长高度的平均数最高，说明该酸碱度下蒜苗的整体生长水平最优；当pH值偏离6（无论升高或降低），平均数均呈下降趋势；
②从中位数角度分析：土壤的酸碱度（pH值）为6时，蒜苗生长高度的中位数最高，与平均数趋势一致，进一步验证该酸碱度下蒜苗的中等生长高度也最优；
③从方差角度分析：土壤的酸碱度（pH值）为6时方差最小，说明该酸碱度下蒜苗个体间的高度差异最小，生长状态最稳定；土壤的酸碱度（pH值）为10时方差最大，说明该酸碱度下蒜苗个体生长差异最大，生长状态最不稳定．
17．【答案】（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为x+200元．根据题意得：
2000x+200=1200x
解得：x=300，
经检验，x=300是所列分式方程的解，
此时x+200=500；
答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
（2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人40−m台．
∵40−m≤3m，
解得：m≥10，
设共花费w元，则
W=0.8×500m+0.8×30040−m=160m+9600，
∵160>0
∴w随m的减小而减小
∴当m=10时，w最小，最小值为11200，
此时40−m=30，
答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设B型机器人模型单价为x元，根据用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同，建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买A型机器人m台，根据购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，列出不等式求出m的取值范围，设共花费w元，建立函数关系式，结合一次函数的性质即可求出答案.
（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为x+200元．根据题意得：
2000x+200=1200x
解得：x=300，
经检验，x=300是所列分式方程的解，
此时x+200=500；
答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
（2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人40−m台．
∵40−m≤3m，
解得：m≥10，
设共花费w元，则
W=0.8×500m+0.8×30040−m=160m+9600，
∵160>0
∴w随m的减小而减小
∴当m=10时，w最小，最小值为11200，
此时40−m=30，
答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．
18．【答案】（1）解：如图所示，CE即为所求，
；
（2）证明：连接OC，
，
则∠BOC=2∠BAC，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠BOC=∠ABD，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（3）解：∵OC⊥CE，
∴∠BCE+∠OCB=∠OCE=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACO+∠BCO=∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∴∠ACO=∠BCE，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=∠BDC，
∴∠BCE=∠BDC，
∵∠E=∠E，
∴△EBC∽△ECD，
∴BECD=CEDE，
设BE=x，则DE=x+7，
∵CE2=BE×DE=x2+7x，CE2=CB2−BE2=9−x2，
∴x2+7x=9−x2，
解得x1=1，x2=−92（不合题意舍去），
∴BE=1，
∵∠OAC=∠BCE，
∴sin∠BCE=BEBC=13=sin∠BAC，
∴BCAB=13，即3AB=13，
∴AB=9，
∵BD=7，∠ADB=90°，∠DCA=∠DBA，
∴cs∠DCA=cs∠DBA=79．​​​​
【知识点】切线的判定；尺规作图-垂直平分线；求正弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）以C为圆心，任意长为半径画弧交BD或BD的延长线于M，N，在分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交DB的延长线于E，CE即为所求；
（2）连接OC，“同弧对应的圆周角等于圆心角的一半”得出∠BOC=2∠BAC，结合条件得出∠BOC=∠ABD，“内错角相等、两直线平行”得出OC∥BD，然后结合平行线的性质得出OC⊥CE，最后根据切线的判定定理即可得证；
（3）根据圆周角定理的推论以及直角三角形锐角互余，得到∠ACO+BCO=∠ACB=90°，∠ADB=90°，从而得出∠ACO=∠BCE，“等边对等角”综合推出∠BCE=∠BDC，结合AA证明△EBC∽△ECD，从而得出BECE=CEDE，设BE=x，则DE=x+7，利用勾股定理列式x2+7x=9−x2，求解得出BE=1，结合正弦值列式求出AB=9，最后再根据余弦值列式计算即可。
（1）解：如图所示：以C为圆心，任意长为半径画弧交BD或BD的延长线于M，N，在分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交DB的延长线于E，
则CE即为所求，
；
（2）证明：连接OC，
，
则∠BOC=2∠BAC，
∵∠ABD=2∠BAC，
∴∠BOC=∠ABD，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BD，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（3）解：∵OC⊥CE，
∴∠BCE+∠OCB=∠OCE=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACO+∠BCO=∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∴∠ACO=∠BCE，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=∠BDC，
∴∠BCE=∠BDC，
∵∠E=∠E，
∴△EBC∽△ECD，
∴BECD=CEDE，
设BE=x，则DE=x+7，
∵CE2=BE×DE=x2+7x，CE2=CB2−BE2=9−x2，
∴x2+7x=9−x2，
解得x1=1，x2=−92（不合题意舍去），
∴BE=1，
∵∠OAC=∠BCE，
∴sin∠BCE=BEBC=13=sin∠BAC，
∴BCAB=13，即3AB=13，
∴AB=9，
∵BD=7，∠ADB=90°，∠DCA=∠DBA，
∴cs∠DCA=cs∠DBA=79．
19．【答案】（1）证明：∵正方形ABCD，
∴∠EBC=∠FBG=90°，
∵BE=BF，BC=BG，
∴△BCE≌△BGF，
∴∠1=∠G，
∵∠2=∠3，
∴∠FHC=∠GBF=90°，
∴BH⊥DF．
（2）解：连接CF，如图所示：
∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴在Rt△ABC中，AC=32+42=5，
∵△ABC绕点B逆时针旋转至△EBF，
∴BA=BE，BC=BF，∠ABE=∠CBF，
∴∠1=∠2=∠3=∠BFC，
∴∠ECF=∠3+∠4=∠1+∠4=90°，
过点B作BH⊥AC，垂足为H，
则BH=3×45=125，AH=EH=32−1252=95，
∴AE=2EH=185，
∴CE=5−2×95=75，
∵EF=AC=5，
∴CF=EF2+CE2=52−752=245，
∴sin∠CEF=CFEF=2455=2425．
（3）43或43​​​​​​​
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定；旋转的性质；等积变换
【解析】【解答】（3）解：①当BA=BD时，作BH⊥AD交AD于点H，
则∠AHB=90°，
∴∠BAH+∠ABH=90°，
∵∠BAD+∠BCD=90°，
∴∠ABH=∠BCD
∵sin∠BCD=13，
∴sin∠ABH=AHAB=13，
∵AB=BD，BH⊥AD，
∴AD=2AH，
∴AB:BD:AD=3:3:2，
将△ABC绕点B顺时针旋转至△DBE，连接CE，
则△ABC≌△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，AB=BD，BC=BE，
∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠CBE，
∴∠ABD=∠CBE，
∵ABBC=BDBE，
∴△ABD∽△CBE，
∴BCCE=ABAD=32，∠BCE=∠BAD，
∴CE=23BC=23×6=4，
∵∠DCE=∠BCD+∠BCE=∠BCD+∠BAD=90°，
∴AC=DE=CD2+CE2=332+42=43；
②当DA=DB时，作DH⊥AB交AB于点H，以BC为底作等腰△BCE，使△BCE∽△ABD，连接DE，如图所示：
则∠AHD=90°，
∴∠DAH+∠ADH=90°，
∵∠BAD+∠BCD=90°，
∴∠ADH=∠BCD，
∵sin∠BCD=13，
∴sin∠ADH=AHAD=13，
∵AD=BD，DH⊥AB，
∴AB=2AH，
∴AD:BD:AB=3:3:2，
∵△ADB∽△CEB，
∴BCCE=ABAD=23，∠BCE=∠BAD，∠ABD=∠CBE，
∴CE=32BC=32×6=9，
∵∠DCE=∠BCD+∠BCE=∠BCD+∠BAD=90°，
∴DE=CD2+CE2=332+92=63，
∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABC=∠DBE，
∵ABBD=BCBE，
∴△ABC∽△DBE，
∴DEAC=BDBA=32，
∴AC=23×63=43；
综上分析可知，AC的值为43或43．
【分析】（1）根据正方形的性质及条件，利用SAS证明△BCE≌△BGF，从而得出∠1=∠G，根据对顶角相等，即∠2=∠3，从而得出∠FHC=∠GBF=90°，即可得证；
（2）连接CF，根据勾股定理求出AC=5，根据旋转得出BA=BE，BC=BF，∠ABE=∠CBF，过点B作BH⊥AC，利用三角形面积及等积变换，列式求出BH=125，勾股定理求出AH=EH=95，CF=245，最后结合正弦定义列式计算即可；
（3）分BA=BD，DA=DB两种情况，分别画出图形并作出辅助线，综合利用旋转、全等三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、三角函数等知识进行计算即可．
20．【答案】（1）解：∵ 抛物线y=−x2+bx过点A(4,0)，
∴−16+4b=0，
∴b=4．​​​​​
（2）解：不存在，理由如下：
由(1)得抛物线解析式为y=−x2+4x，
∴y1=−m2+4m，y2=−(m+3)2+4(m+3)=−m2−2m+3，
∴2y1+y2=2(−m2+4m)+(−m2−2m+3)=−3m2+6m+3，
令−3m2+6m+3=9，
∴−3m2+6m−6=0，
∴m2−2m+2=0，
∵Δ=(−2)2−4×1×2=−4