专题04 构造抽象函数模型解不等式和比较大小6种常见考法归类讲义2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）（原卷版+解析版）

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考法深研·解题技能通关
题型01 利用导数的运算法则构造
1．（2026高三·山西长治·阶段检测）已知定义域为的函数的导函数为，且满足，，则当时，不等式的解集为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，对其求导，根据已知条件判断单调性，再结合已知值确定的零点，最后将不等式转化为，利用函数单调性求解不等式.
【详解】设，则.
已知，所以，这表明在上单调递减.
已知，可得：.
不等式可化为：，
即0.
所以，
根据单调性可得.
已知，所以时，.
综上，不等式的解集为.
2．（广东韶关市2025-2026学年高三学期7月期末练习数学试题）函数是定义域为的偶函数，其导函数为，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造辅助函数，先证为偶函数，由时得在递增；将原不等式整理为，利用偶函数单调性转化为，平方化简解得．
【详解】设，
由题意，，得，
所以是偶函数，
当时，，
因此在上单调递增，在上单调递减，
由，得
所以，
所以等价于，解得．
3．（2026高三·江苏镇江·期中）定义在R上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先通过构造函数，根据已知条件判断其单调性，再结合得到的值，最后将不等式转化为关于的不等式，利用单调性求解.
【详解】对任意，，
设，求导得：，即为增函数，
，故，
可化为，即，
因为增函数，所以，解得，
则不等式的解集为.
4．（2026·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为.若对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，利用导数法判断其单调性，再利用其单调性解不等式.
【详解】解：令，
则，
所以在R上递增，
又，
则不等式等价于，
所以，
即不等式的解集为.
5．（2026·安徽·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】令，结合已知条件，证明为上的偶函数，在上单调递增，则等价于，即在上恒成立，结合单调性求解即可.
【详解】由，得.
令，则，故为上的偶函数．
因为当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．
故等价于，即在上恒成立，
因为为偶函数，且在上单调递增，所以，
平方后化简得到，由一次函数性质得，
解得．
故实数的取值范围为.
6．（2026高三·河北衡水·开学考试）设，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，，为其导函数，当时，且，则不等式的解集为________________.
【答案】
【分析】构造函数，分析其单调性和奇偶性，再结合图形即可求解不等式.
【详解】设，则，
因为当时，，所以当时，，
所以函数在上单调递减，
又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，即是上的奇函数，
故函数在上单调递减，，
又为偶函数，则，所以，所以，
不等式等价于，结合图象解得或，
则不等式的解集为.
7．（2026高三·四川宜宾·阶段检测）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据导数不等式等条件构造函数，利用题设条件判断该函数的单调性，再结合，运用数形结合思想即可求解.
【详解】令，当时，，则在上单调递增，
又因分别是定义在上的奇函数和偶函数，
则由可知函数为奇函数，故在上单调递增，
又因，则，
则由和的单调性可得或.
故不等式的解集是，A正确.
题型02 构造幂函数型
8．（2026高三·重庆·期末）已知定义在上的函数，满足，其中是的导函数，若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，，通过求导判断函数的单调性，再结合条件，利用单调性求解不等式即可..
【详解】令，，则，
可知当时，是增函数.
又，所以，
在上，不等式的解集就是的解集，
也即的解集.
9．（河南郑州市共同体2025-2026学年高三学期期末考试数学试题）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数．当时，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】设，.
当时，，
因为时，，所以当时，.
所以在上单调递增，且，
所以当时，；当时，.
又为上的奇函数，所以为上的偶函数.
所以当时，；当时，.
综上，不等式的解集为.
10．（2026高三·天津·期末）已知函数的定义域是，是的导函数．若，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造，求导，判断其单调性，对不等式进行转化，利用函数的单调性解不等式.
【详解】构造，则，
因为，所以，所以在上单调递增，
，
因为函数的定义域是，所以，
所以，，
又，
所以，所以，所以，
综上，，即不等式的解集是.
11．（2026高三·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】，求导可得，再利用单调性解不等式即可．
【详解】设，，
则当时，单调递增，
，即，又，
，解得．
12．（2026·黑龙江·模拟预测）已知定义在上的函数，是的导函数，满足，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，求导后可知在上单调递减，由得，不等式等价于，从而得解．
【详解】设，则，
所以在上单调递减；
因为，所以，
由，得，即，
所以，解得，
所以不等式的解集是．
13．（2026高三·天津津南·期末）已知函数 是定义在 上的奇函数， 是 的导函数. 当 时，有 恒成立，且 ，则不等式 的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，由题设条件得到函数的单调性，将原不等式转化为 与 、的大小关系，分段讨论解集.
【详解】设，，求导得，
已知时，，且，因此时，
即在上单调递增.
又是奇函数，因此，
故是偶函数，且在上单调递减.
由得，故.
对原不等式 分两种情况讨论：
当时，不等式两边同乘，得，
两边同除以，得，
因为在上单调递增，故；
当时，不等式两边同乘，得，
两边同除以，得，
因为在递减，故.
综上，不等式的解集为.
14．（2026高三·甘肃兰州·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，，根据题意分析的单调性和奇偶性，分类讨论是否为0，结合函数性质解不等式即可.
【详解】令，，
因为，可知函数为的偶函数，
又因为，
当时，，
若，则，即；
若，则，，可得，
可知在内单调递减，则在内单调递增.
对于不等式，
当，即时，可得，符合题意；
当，即时，可得，
即，可得，解得，且；
综上所述：不等式解集为.
15．（2026高三·重庆·阶段检测）已知定义在上的偶函数的导函数为，且，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件构造函数，求函数的导数，判断函数的单调性，将不等式进行转化求解即可.
【详解】由题意，设，则，
当时，有，所以当时，，
所以函数在上为增函数，
因为函数是偶函数，所以是偶函数，
由，得，又，所以，
所以，所以，又函数在上为增函数，
所以，解得或，所以成立的的取值范围是.
16．（2026高三·河北廊坊·期中）已知函数和的定义域均为，为偶函数，且对任意，都有恒成立，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断函数在上为增函数，结合函数的奇偶性定义判断其为偶函数，将不等式化为，利用单调性即可求解.
【详解】设，求导得，因，
则当时，，则，故在上单调递增；
当时，，则，故在上单调递减.
又为偶函数，，则，即函数是偶函数，
又，则，
则（*），
由可得，则，
将（*）两边同除以，可得，即，
由是偶函数可得，又因函数在上单调递增，
可得且，解得.
17．（2026高三·湖北·期中）已知定义域为的奇函数，其图象为连续不断的曲线，的导函数为.若对任意，都有，且，则关于x的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令，首先判断的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据函数的单调性解函数不等式.
【详解】令，因为是奇函数，即，
所以，即是奇函数；
又当时，，
在上单调递增，在上单调递增，且；
是定义在R上的连续函数，所以在上单调递增；
又，所以，
对于不等式，又，所以，
所以不等式,等价于，即，
所以，且，即不等式解集为．
18．（2026高三·湖南长沙·期中）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】构造函数 ，利用导数结合条件可证明 在 上单调递增，原不等式等价于，利用函数的定义域以及单调性即可求解.
【详解】构造函数 ，其定义域为 ，

由题知：，且 ，因此 ，即 在 上单调递增.
已知 ，得 ，
原不等式 等价于： ，
根据 的单调性和定义域得，解得 ，
即不等式的解集为 .
19．（26-27高三·全国·一轮复习）已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是________．
【答案】
【分析】构造函数，求导，结合已知条件分析函数单调性，进而利用单调性解不等式．
【详解】令，，
故在上单调递增，
已知，则，
不等式等价于，即，
在上单调递增，
故，
解得或，解集为．
20．（2026高三·吉林·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，通过求导确定单调性，即可求解.
【详解】构造函数​，，
求导得： ，​ 由题，且，
因此，即在上单调递减，
又，因此，
则不等式等价于，
两边同除以得： .
因为在上单调递减，所以，解得，
即解集为.
21．（2026高三·重庆·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过观察已知条件，构造新函数，通过分析的奇偶性和单调性得出结论.
【详解】定义函数，则，
由题意，当时，，即，
当时，有，故，即在上单调递增，
由于是偶函数，则也是偶函数，因此在上单调递减，
由于，所以，
代入不等式，可化简为，
由的单调性，得，解得或，
即的解集为，故A正确.
22．（2026高三·北京·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，当时，，若，，，则由小到大为_______．
【答案】
【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小．
【详解】设，，
当时，，即，
所以在上单调递减，
所以，
所以，即，
所以．
23．（2026高三·河北邢台·阶段检测）已知定义在上的函数满足，则必有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，所以在上单调递增，则，即，所以.
24．（2026高三·吉林长春·期中）已知定义在上的函数，，若，则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，求导确定单调性，即可求解
【详解】设 ，对求导得：，
因为 ，得 ，因此 是定义在R上的单调递减函数，
又 ，得 ，代入即得 .
25．（2026高三·天津西青·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，都有不等式成立，若，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，由条件知在上单调递减，利用奇偶性将化为，比较即可判断.
【详解】设函数，则，
所以根据题中条件，当时，，即函数在上单调递减，
因为为奇函数，所以，所以为偶函数，
，，，
因为，所以，即.
【点睛】本题主要考查抽象函数导数问题，此类问题常考常新，成为近年来命题的热点，主要是利用导数研究函数单调性，根据题中条件，结合导数四则运算法则和复合函数求导来构造新函数，使多个分散条件集中指向某一个函数的导数，然后通过新函数的单调性来解题.在构造的过程中，有的需要直接构造，有的需要变形构造，不论哪种构造，都要结合问题的外形结构特征及求导法则的特征进行合理恰当的构造.
26．（2026高三·湖北孝感·期末）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数研究单调性，比较函数值的大小.
【详解】由，得．
设函数，则，
所以在上单调递减，从而，
即，即．
27．【多选】（2026高三·湖南长沙·期末）已知是定义在上的单调递减函数，是的导函数，若，则下列不等式不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】先由题意得到，化不等式，再令，对函数求导，判断出其单调性，即可求出结果.
【详解】因为是定义在上的单调递减函数，
所以时，，
由，得到，,
令，则，
所以函数在区间上单调递增，
所以，
即，
所以，故A错误，
因为且，
所以,
所以，故B错误
，故C正确，，故D错误；
故选：ABD
28．（2026高三·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数对任意，成立，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据所给不等式，构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性，然后逐一判断即可.
【详解】当时，
，
设，
所以当时，函数单调递增.
A：因为当时，函数单调递增，所以
，
所以无法判断之间的大小关系，故本选项说法不正确；
B：因为当时，函数单调递增，所以
，
显然无法判断之间的大小，所以本选项说法不正确；
C：因为当时，函数单调递增，所以
所以本选项说法正确；
D：因为当时，函数单调递增，所以
所以本选项说法不正确.
故选：C
题型03 构造指数函数型
29．（2026高三·四川南充·期末）已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，求得且，把不等式转化为，得到，结合单调性，即可求解.
【详解】构造函数，可得，
因为，可得，所以在单调递减，
又因为，可得，
则不等式，即，可得，
即，所以，即不等式的解集为.
30．（2026高三·山东淄博·期中）已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造辅助函数，将抽象不等式转化为函数单调性问题，需注意定义域的限制条件.
【详解】构造辅助函数 ，.
∵ ，且已知 ，，
∴ ，即 在 上单调递减.
原不等式成立需先满足函数定义域：，解得 .
由不等式 两边同时除以 ，可得 ，
即 .
∵ 在上单调递减，
∴ ，解得 .
即不等式的解集为 .
【点睛】方法点睛：对于给出 与 大小关系的抽象不等式问题，可根据不等号方向构造对应辅助函数（如本题构造 ），将不等式转化为函数值大小关系，结合函数单调性求解.
31．（山东滨州市2025-2026学年高三学期期末数学试题）定义域为的函数满足，则不等式的解集为_____.
【答案】
【分析】构造函数，利用单调性求解不等式.
【详解】令，则，则在上单调递减，
等价于，则，得，
则不等式的解集为.
32．（2026高三·广东东莞·期中）已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据已知条件转化不等式为，构造函数并求导，结合已知条件得出，从而得出单调递减，结合，得出，从而利用单调性求解．
【详解】，已知不等式，则，即，
设，求导得，
函数是实数集上的减函数，
又，即，
，故不等式的解集为．
33．（2026高三·山东淄博·期中）定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，再利用为奇函数求出的值，从而将原不等式转化为关于的不等式进行求解.
【详解】设，
则，
因为，所以，所以为定义在上的减函数，
因为为奇函数，
所以，，，
，即，即，故，
所以不等式的解集为.
34．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设函数，结合条件判断函数的单调性，结合单调性解不等式可得结论.
【详解】设函数，
则．
由对任意，，得，则函数在上单调递减．
因为，所以，即．
由，得，所以，解得，
所以不等式的解集为，选项A正确.
35．（2026高三·天津津南·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是______
【答案】
【分析】构造函数，根据已知讨论导数符号可得单调性，由可得，将不等式转化为，然后利用单调性可解.
【详解】记，则，
因为，
所以当时，，则，在上单调递增；
当时，，则，在上单调递减.
又，即，
所以，
因为，
所以，解得.
所以不等式的解集是.
36．（2026高三·广西河池·期中）已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是___________.
【答案】
【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，利用单调性的性质求解即可.
【详解】令，则，所以在上单调递增，
由，得，即，
又在上单调递增，所以得.
所以不等式的解集是.
37．（2026高三·河南南阳·阶段检测）定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为_______
【答案】
【分析】令，求导判定其单调性，结合，由利用单调性即可得解.
【详解】令，则，
因为，所以，故，
即函数在上单调递增，
，
则,即，由函数的单调性可得，
故的解集为.
38．（2026高三·云南楚雄·期中）已知函数的导函数为，且与的定义域都是，若对，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据导数及题设得出在上单调递减，结合得出，根据函数单调性即可求解．
【详解】令，则，
因为对，，
所以，即，
所以在上单调递减，又，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集为．
39．（2026高三·河南洛阳·期中）已知定义在上的函数的导数为，若对任意的满足，且，则不等式的解集是____________．
【答案】
【分析】构造函数，进而将原不等式转化为，再根据题意得在上是单调递减函数，最后根据单调性解不等式即可.
【详解】因为对任意的满足，即 ，
令，则，
所以在上是单调递减函数，
因为，，
所以，
所以，即不等式的解集是.
40．【多选】（2026高三·黑龙江·期中）已知定义域为的函数的导函数为，若，且，则使不等式成立的的值可能为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】CD
【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性，进而求解不等式.
【详解】令函数，求导得，由，
得，即函数在定义域上单调递增，由，得，
不等式，即，解得，
所以所求的值可能为1，2.
41．（2026高三·湖南·期中）已知函数的导函数为，若对任意的，都有成立，且，则不等式的解集为_____．
【答案】
【详解】因为，所以，即，
设，求导可得在上恒成立，所以函数在上单调递增，
因为，所以，
不等式，因为，所以化简可得，
，，
即可转化为，
因为在上单调递增，所以，解得，
即不等式的解集为．
42．（2026高三·北京房山·期中）已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，再结合已知条件得在上单调递增，进而将问题转化为求解即可.
【详解】令，
则，
因为定义在上的函数满足，即，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为，所以，
因为，即，
所以，即不等式的解集为.
43．（2026高三·天津南开·阶段检测）已知函数与其导函数的定义域均为，且，则，不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，通过求导结合条件分析的单调性，由推出，将不等式转化为，利用单调性可得答案.
【详解】令，则，
因为，
所以当时，，，在上为增函数，
当时，，，在上为减函数，
因为，所以，
所以，故关于对称，
因为等价于，等价于，
所以，即，
故，即不等式的解集是.
44．【多选】（2026高三·甘肃金昌·期中）函数满足，则正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据已知条件构造新函数，利用函数导数与函数的单调性，逐项比较大小即可.
【详解】令，由，
又且，
所以，所以函数在上单调递减；
对于A，因为，所以，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，所以，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，因为，所以，所以，故D正确；
45．（2026高三·江西九江·期末）已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造，求导得到其单调性，从而得到不等式，得到答案
【详解】设，则，
所以在上单调递增.
于是，即，解得.
题型04 构造对数函数型
46．（2026高三·天津武清·阶段检测）已知是定义在上的连续奇函数，是其导函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．[0，2]D．
【答案】C
【分析】利用导数研究函数的单调性和根据函数性质求解不等式.
【详解】已知 时，，整理得，
设 ， ，
由条件得，当 时，，即 在 单调递减。
时， ，
当时，，因为，所以
当0，构造h(x)＝f(x)＋g(x)．
（3）对于，构造
（4）对于，构造
（5）对于不等式，构造函数.
（1）对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
（2）对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
（1）对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
（2）对于不等式，构造函数
拓展：对于不等式，构造函数
（1）对于，分类讨论：
①若，则构造②若，则构造
（2）对于，构造.
（3）对于，构造.
（1）对于，即，构造．
（2）对于，构造．
（3）对于，构造．
（4）对于，构造．
1.题型特征：无不等式，给出f(x)与f′(x)恒等式，求函数解析式、极值、零点；
2.解题流程：
①对照前五类模板构造辅助函数h(x)；
②求导后发现h′(x)=0，推出h(x)=C（常数）；
③代入x=0、x=1特殊点算出常数C，反解f(x)；
④对f(x)再次求导，分析导函数零点，判断极大、极小值；
⑤结合解析式完成证明、零点计数等综合问题。