四川省内江市2025_2026学年高二数学下学期期中试题含解析

这是一份四川省内江市2025_2026学年高二数学下学期期中试题含解析，共50页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟 满分：150 分
第Ⅰ卷选择题（满分 58 分）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1. 用 2，3，4，5，6 组成没有重复数字的四位数的个数是（ ）
A. 5 B. 120 C. 625 D. 1024
【答案】B
【解析】
【详解】用 2，3，4，5，6 组成没有重复数字的四位数的个数为 .
2. 设 是 的导函数，已知 ，则 （ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】由已知，
.
3. 已知数列 是各项均为正数的等比数列， 是其前 项和，且 ，则 （ ）
A. 3 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式求出公比，即可得.
【详解】由题设，若数列的公比为 ，且 ，
由 ，
可得 ，则 （负值舍），
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即数列为常数列，
则 .
4. 若 是定义在区间 上的函数，其图象如图所示，设 的导函数为 ，则 的
解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象，直接写出 的单调区间，进而得出 在区间 上的符号，即可求解.
【详解】由图知函数的减区间为 ， ，增区间为 ，
和 分别是 的极小值点和极大值点，
所以当 时， ，当 时， ，
当 和 时， ，
又由图知 时， ， 时， ，
又 等价于 ，所以 的解集为 .
5. 已知函数 （ ）有两个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】A
【解析】
【详解】由题设 ，因为 （ ）有两个极值点，
所以 在 R 上有两个不同的实根，
所以 或 ，
即 .
6. 已知等差数列 的前 3 项分别为 ，这 3 项分别加上 后构成等比数列 的前 3 项，
则 的前 5 项和为（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
【答案】B
【解析】
【详解】由题意得， ，化简得， .
此时，等比数列 的前 3 项分别为 .
等差数列 的前 3 项分别为 ，
所以等差数列 的首项为 ，公差为 .
所以 的前 5 项和为 .
7. 已知函数 ， ，当 时，不等式 恒成立，则实数
a 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 对 不 等 式 进 行 变 形 为 ， 进 而 把 问 题 转 化 为 函 数
在区间 上单调增，再转化为 在 上成立的问题，
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再通过分离参数，最后构造函数求解问题.
【详解】当 时，不等式 恒成立
可变形为 ,
设 ,
那么当 时,有 ,即 在区间 上单调增，
在 上成立，即 ,
设 ,那么 ,
令 ,得 ,
令 ,得 ,
令 ,得 ,
所以，函数 在 处取得极小值，也就是最小值，
, ,实数 a 的取值范围为 .
【 点 睛 】 本 题 主 要 考 查 导 数 的 应 用 ， 关 键 点 在 于 ： 对 不 等 式 进 行 变 形 为
,进而把问题转化为函数 在区间 上单调增是;最后，构造函数
,通过导数来求极值与最值,属于较难题.
8. 集合 的整数元素的个数为 ，数列 的前 n 项和为 ，满足
，且 都成立，下列选项正确的是（ ）
A. 数列 的通项公式为 B.
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C. 实数 的取值范围是 D. 时，数列 中的每一项都不能够被 5 整
除
【答案】D
【解析】
【分析】利用题意，可计算 ，判断 B 是错误的；再利用 的关系，可求得 ，但要
注意此时 ，再检验首项，可判断 A 是错误的；对于不等式 ，可利用化简变形，再分类讨论来
分离参变量，最后求出范围，同样要注意首项另外计算，可判断 C 也是错误的；对于被 5 整除，只需要化
简原式就可以判断，同时也要注意首项的判断，才能决定选项 D 是正确的．
【详解】 ，
所以 ，即 B 错误；
所以 ，
则 ，
两式相减得 ，所以
当 时， ，所以 ，不满足上式，所以 A 错误；
当 时， ，
由 恒成立，则 ，
即 ，化简得 ，
当 n 为偶数时， ， ，因为 ，所以 ，所以 ，
当 n 为奇数时， ， ，因为 ，所以 ，所以 ，
但是当 时， ，而 ，
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由 得： ，解得 ，
综上可得： ，所以 C 错误；
当 时， ，
因为 和 都能被 5 整除，而 一定不能被 5 整除，所以此时 一定不能被 5 整除，
而当 时， ，不能被 5 整除，所以 D 正确.
故选：D.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分．）
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 关于点 对称 B. 在区间 上单调递减
C. 有 3 个零点 D. 在 处的切线与 只有一个交点
【答案】BC
【解析】
【分析】计算 判断 A，利用导数的性质判断 BC，求出 在 处的切线方程，然后
求出切线与函数图象交点判断 D.
【详解】对 A， ，
所以 的图象不关于点 对称，A 错；
对 B， ，
或 时， ，所以函数 在区间 , 上单调递增，
时， ，所以函数 在区间 上单调递减，B 正确；
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对 C，由选项 B 知 是 的极大值， 是 的极小值，
又 ， ，
所以 在 上有一个零点，在 上有一个零点，在 上有一个零点，共有３个零点，C 正
确；
对 D， 是 的极大值点，因此 在 处的切线是 ，
由 ，解得 或 ，
因此直线 与 的图象有两个交点 和 ，D 错.
10. 已知数列 满足 ， ，则（ ）
A. B. 数列 为等比数列
C. 数列 的前 项和 D. 数列 的通项公式为
【答案】ABC
【解析】
【详解】 ， ，取倒数得 ，即 。
选项 A： ， ，正确；
选项 B： ， 是首项为 、公比为 的等比数列，正确；
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选项 C： ， ， ，正确；
选项 D： ， ，原式 错误.
11. 已知函数 ，则下列选项正确的有（ ）
A. 函数 有唯一零点
B. 若方程 有两个实数解，则实数 的取值范围为
C. 若 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为
D. 记 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】借助导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理、分离参数，逐一判断选项即可.
【详解】对于 A：函数 的定义域为 ，又因为 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 取到最大值，且 ，
又因为当 时， ，当 时， ，
故 有唯一零点 ，故 A 正确；
对于 B：函数 的定义域为 ，又因为 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 取到最大值，且 ，
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又因为当 时， ，当 时， ，
所以若方程 有两个实数解，则 ，故 B 错误；
对于 C：若 对任意 恒成立，分情况讨论：
当 时，左边 ，不等式成立；
当 时， ，不等式变形为 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取得最大值，最大值为 ，故 ；
当 时， ，不等式变形为 ，
令 ，求导同 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得最小值，最小值为 ，故 ，
综上， ，故 C 正确；
对于 D：因为 ，
令 ，所以 在 上恒成立，故 ，
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当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，所以 的最大值在 或 上取得，因为
，
而 ，故 ，故 D 正确.
【点睛】以导数为工具，精准分析 和 的单调性、极值与最值，是解决本题的关键.
第Ⅱ卷非选择题（满分 92 分）
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 若函数 ，则 的单调递减区间为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用导数求出函数的单调递减区间即可.
【详解】函数 ，定义域为 ，
求导得 ，
令 ，则 ，解得 ，
又 ，则 ，
所以 的单调递减区间为 .
13. 已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知比例关系及等差数列前 n 项和公式对应函数，设 ， 的表达式，再由 求
结果.
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【详解】根据等差数列前 n 项和的函数性质，且 ，
可设 ， ，且 ，
所以 .
14. 已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，对 ，满足
， ，点 ， 分别为曲线 和直线 上的动点，则
的最小值等于________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件及导数的运算法则得到 ，对其求导并研究导函数的性质求出 对
应自变量，从而确定切线 ，将问题化为求 与 的距离问题，即可得.
【详解】由题设 ，即 ，故 且 为常数，
而 ，则 ，故 ，
所以 ，令 ，
当 时 ， 在 上单调递减，
当 时 ， 在 上单调递增，
且 时 恒成立， ，
若 是 的一条切线，且 ，而 ，
所以切线 对应为 ，即 ，
令 ，显然 ， ，
所以，在 R 上 恒成立，即在 R 上 恒成立，则 ，
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所以 图象恒在 和 图象的上方，又 与 平行，
要使 最小，等价于求 与 的最小距离，即为 .
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知函数 ．
（1）求函数 的极值；
（2）求在点 处的切线方程．
【答案】（1）极大值 ，无极小值；
（2）
【解析】
【小问 1 详解】
，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 时取到极大值 ，无极小值；
【小问 2 详解】
因 ，故 ， ，
故切线方程为： ，整理得： .
16. 在数列 中， ， ．
（1）求 ；
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（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2） ．
【解析】
【分析】（1）根据已知的递推关系，用累加法求通项；
（2）将第一问求出的通项代入表达式，化简后使用裂项相消求和.
【小问 1 详解】
因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
当 时 也成立，所以 ．
【小问 2 详解】
因为 ，
所以 ．
17. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）将函数求导后，对 和 分成两种情况，讨论函数的单调性.
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（2）结合（1）的结论，首先分析当 时不合题意，再通过分析 时得到 ，再设新函数
求导得其单调性即可解出不等式.
【小问 1 详解】
由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
当 时， ，可知 在 上单调递减；
当 时，由 得 ；由 得 ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问 2 详解】
由（1）当 时， 在 上单调递减，则其最多有一个零点，不合题意，舍去，则 ；
由（1）可知当 时 在 单调递减，在 单调递增.
当 时， ，当 时， .
若 有两个零点，只需 ，
设 ， ，因为 在 上单调递增，
则 在 上单调递增，且 ，则当 时， ，
当 时， .
综上所述，当 时， 有两个零点.
18. 已知数列 中， ．
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（1）证明： 为等差数列，并求 的通项公式；
（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求 ；
（3）数列 满足： ，求 的最大项．
【答案】（1）证明见解析，
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）通过对递推式两边同除以 ，构造出等差数列 ，进而求出数列 的通项公式；
（2）根据 的奇偶性，对 进行分组求和，得到统一的表达式；
（3）先求出数列 的通项，再构造辅助数列 ，通过函数单调性分析其最大项.
【小问 1 详解】
等式 两边同除以 ，得 ，
所以数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列．由上知 ，即得 ．
【小问 2 详解】
由（1）知， ．
当 为偶数时，
当 为奇数时， ．
综上， ．
【小问 3 详解】
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当 时， ；当 时，
有 ，可得 ．
所以， ．记 ，则 ．
令 ，则 ，
可得 在区间 上单调递增，则 ，即得 ，即 ．
所以当 时， ，即 ，可知数列 从第 4 项开始每一项均小于 1．
因为 ，所以数列 的最大项是第三项，
其值为 1，即得数列 的最大项为 1．
【点睛】本题以递推数列为载体，通过构造等差、分组求和、函数单调性分析，综合考查了数列通项、求
和及最大项问题，体现了 “化归转化” 与 “函数思想” 在数列中的核心应用.
19. 已知 p、q 为实数，设函数 的最小值为 ，函数 的最小值为 ，若
且 ，则称函数 和函数 是 T 函数.
（1）设函数 的表达式为 ，函数 的表达式为 ，请判断函数
和函数 是否为 T 函数，并说明理由；
（2）设 a、b 为正实数，函数 的表达式为 ，函数 的
表达式为 ( )，若函数 和函数 不是 T 函数，求 的最小值；
（3）设 k、t、a 为实数，函数 的表达式为 ( )，函数 的表达式
为 ，若存在 ，对任意的 ，皆有 成立，且函数
和函数 是 T 函数，求 k 的取值范围.
【答案】（1）函数 和函数 为 T 函数，理由见解析；
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（2） ；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据 T 函数的定义判断；
（2）由 T 函数的定义求得 ，然后由基本不等式求得最小值；
（3）先求得 和 的最小值和最小值点，根据题意得出 ， ，
然后消去 得关于 的等式，构造函数使用同构法得出 ， ，再利用导数求得 的范围．
【小问 1 详解】
， ，
， ，
，且 ，
所以函数 和函数 的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为 T 函数；
【小问 2 详解】
， ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
函数 和函数 不是 T 函数，
所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，当且仅当 ，即
时等号成立，
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所以 的最小值是 ；
【小问 3 详解】
是减函数，又 ，所以 ，
， ，
是 上的增函数，
依题意，存在 ，使得 ①且 ②，
由①得 ，代入②得 ，
整理得 ，即 ③，
设 ，则③式为 ，
易知 是增函数，所以 ， ， ，
设 ，
则 ， 时， ， 递增， 时， ， 递减，
所以 ，又 ，
所以 的取值范围是 ，
所以 的取值范围是 ．
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