四川省内江市2025_2026学年高二数学上学期第二次月考考试试题含解析

这是一份四川省内江市2025_2026学年高二数学上学期第二次月考考试试题含解析，共71页。试卷主要包含了 圆 ， 已知⊙M等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120 分钟 满分：150 分
第 I 卷选择题（满分 58 分）
一､选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.）
1. 平面直角坐标系 中的直线系方程： 经过的定点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线方程得到 ，由 ，即可求解.
【详解】由 ，
可得 ，
因为方程对 恒成立，
所以可得： ，
解得 ， ，
所以直线系方程： 经过的定点是 ，
故选：C
2. 圆 ： 与圆 ： 的位置关系为（ ）
A. 内切 B. 相交 C. 外离 D. 外切
【答案】A
【解析】
【分析】首先求圆心距，再根据圆与圆的位置关系的判断公式，即可判断.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，圆 的圆心为 ，半径 ，
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两圆的圆心距 ，
则圆心距 ，所以两圆相内切.
故选：A
3. 已知椭圆方程为 ，椭圆上的点到左焦点的距离最大值为 3，最小值为 1，则椭圆
的短轴长是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意得到 ，结合 求解即可.
【详解】由题意可得： ，
解得： ，
所以 ，则 ，
所以椭圆的短轴长是 ，
故选：D
4. 已知方程 表示双曲线，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次曲线表示双曲线的基本要求可构造不等式求得结果.
【详解】 方程 表示双曲线， ，解得： 或 ，
即 的取值范围为 .
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故选：B.
5. 如图，在四面体 中， ．点 M 在 上，且 ，N 为 的中点，
则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过向量的加法运算用 表示 ，根据向量的共线关系用 表示 ，最后根据减法
法则用基底表示 .
【详解】因为 N 为 的中点，所以 ，
又因为点 M 在 上，且 ，
所以 ，
.
故选：
6. 椭圆 的焦距为 4，上顶点为 ，点 均在 上且关于 轴对称.若直线
的斜率之积为 ，则 的方程为（ ）
A. B.
C. D.
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【答案】C
【解析】
【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得： ，再结合 ，
可得 ，再结合焦距为 4 即可求解．
【详解】已知 ，设 ，则 ，
， ，
故 ①，
∵ ，即 ②，
②代入①整理得： ，即 ，
又焦距为 4，所以 ，解得 ，
，解得 ， ，
则 的方程为 ．
故选：C．
7. 如图，已知双曲线 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，|F1F2|＝6，P 是双曲线右支
上的一点，F2P 与 y 轴交于点 A，△APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率
是（ ）
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A. 3 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由切线长定理可得几个线段长等式，再由对称性可得 ，由此得到 ，结合
双曲线的定义可求得 ，从而得到双曲线的离心率.
【详解】不妨设内切圆在 上的切点为 ，在 上的切点为 ，如图，
则由切线长定理可得， ，
又由双曲线与圆 对称性可知 ，
所以 ，故 ，
所以 ，
故 ，即 ，得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以双曲线的离心率为 .
故选：A.
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8. 已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M 的切线
，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根据
可知，当直线 时， 最小，求出以 为直径的圆的方程，
根据圆系的知识即可求出直线 的方程．
【详解】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所
以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以
，而 ，
当直线 时， ， ，此时 最小．
∴ 即 ，由 解得， ．
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程．
故选：D.
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【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的
转化能力和数学运算能力，属于中档题．
二､多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.）
9. 在正方体 中，下列结论中正确的是（ ）
A. 四边形 的面积为 B. 与 的夹角为
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用正方体的几何性质结合空间向量的数量积可判断各选项.
【详解】A 选项：由正方体可知 平面 ，所以 ，所以四边形 为矩形，
，A 选项正确；
B 选项：由正方体可知 ，所以 与 的夹角即为 与 的夹角，又
，所以 ，所以 与 的夹角为 ，B 选项错误；
C 选项：由设正方体的棱长为 ，则 ，
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，所以 成立，C 选项正确；
D 选项：由已知得 ，
，则
，D 选项错误；
故选：AC.
10. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ，直线 与椭圆交于
两点， 分别为椭圆的左右顶点，则下列命题正确的有（ ）
A. 若直线 的斜率为 ，直线 的斜率 ，则
B. 若有且仅有两个不同的实数 使得 为等腰直角三角形，则
C. 取值范围为
D. 周长的最大值为 8
【答案】BCD
【解析】
【分析】设出 的坐标，根据斜率、等腰直角三角形、向量数量积、三角形的周长、椭圆的定义 知识
对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设 ，不妨设 在 轴的上方， ，
A 选项， , ，A 选项错误.
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B 选项，若等腰三角形 中， ，根据椭圆的对称性可知，
只能是上下顶点，由 ，但 只有一个值，不符合题意.
若 ， ，则 ， ，
依题意 ，两边平方并化简得 ，
解得 （负根舍去）.
当 时，同理可求得 ，此时 .
综上所述，若有且仅有两个不同的实数 使得 为等腰直角三角形，
则 ，B 选项正确.
C 选项，
，
由于 ，所以 ，
，所以 取值范围为 ，C 选项正确.
D 选项，设直线 与 轴相交于 点，
则 的周长为 ,
其中 ，当且仅当 重合时等号成立，
所以 的周长的最大值为 ，D 选项正确.
故选：BCD
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【点睛】本小题是考查椭圆有关知识的多选题，每个选项都可以作为一个独立的小问.四个选项都涉及到 的
坐标，这是贯穿整个题目的.在研究斜率、向量数量积时，可利用坐标运算来进行求解，在求周长的最值时，
可利用定义法去转化.
11. 双曲线 为其左､右焦点， 为原点，过 作直线 与双曲线两支和两条渐近线交
于四个不同的点，从左到右依次记为 ，则下列正确的是（ ）
A. 若 为 斜率，则
B.
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】BD
【解析】
【分析】先根据双曲线方程得到渐近线方程为 ，设 都在 轴上方，
对于 A，结合图象分析即可求解判断；对于 B，设直线 的方程为 ，联立方程组求得
，
，计算可得 中点即为 中点，进而求解判断即可；
对于 C，结合图形关系求解判断即可；对于 D，由 可得 ，进而列方程求得 ，
进而结合弦长公式求解判断即可．
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【详解】由双曲线 ，得 ，
则双曲线的渐近线方程为 ，焦点为 ，
对于 A：如图：
易知 ，即渐近线 是 的角平分线，
∴当且仅当 与渐近线 垂直时，即 时， 是等腰三角形，此时有 ，故
A 错误；
如图：
不妨设 均在 x 轴上方．
对于 B：设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
∵ ，
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∴ ，
则 ，
则 ，即 中点为 ，
联立 ，解得 ，即 ，
联立 ，解得 ，即 ，
则 中点 ，即为 ，
∴ 中点即为 中点，设为 ，则 ，
∴ ，故 B 正确；
对于 C：如图：
由双曲线的渐近线方程可知， ，
由于 ，∴ ，
则 ，故 C 错误；
对于 D：由选项 B 知， 为 中点，
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若 ，则 ，则 ，
即 ，负值 （负值舍去），则 ，
则 ，故 D 正确．
故选：BD．
第 II 卷非选择题（满分 92 分）
三､填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12. 已知三条直线 ， ， 相交于一点，则 ______.
【答案】3
【解析】
【分析】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得.
【详解】由 和 联立，解得 ，
依题意，点 直线 上，解得 .
故答案为：3.
13. 已知三棱锥 中， ， ， ，且二面角 的
大小为 ，则三棱锥 外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
设 的中心为 T，AB 的中点为 N，AC 中点为 M，分别过 M，T 做平面 ABC，平面 PAB
的垂线，则垂线的交点为球心 O，将 的长度求出或用球半径表示，再利用余弦定理即可建立
方程解得半径.
【详解】设 的中心为 T，AB 的中点为 N，AC 中点为 M，分别过 M，T 做平面 ABC，平面 PAB
的垂线，则垂线的交点为球心 O，如图所示
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因为 ， ，所以 ， ， ，
又二面角 的大小为 ，则 ， ，所以
，
设外接球半径为 R，则 ， ，
在 中，由余弦定理，得 ，
即 ，解得 ，
故三棱锥 外接球的表面积 .
故答案为： .
【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积问题，解决此类问题一定要数形结合，建立关于球的半径的方程，
本题计算量较大，是一道难题.
14. 设 ， 为椭圆 的左、右焦点，且 ，若椭圆上存在点 使得
，则椭圆的离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】令 ，由椭圆的定义及已知得 ，问题化为 在
上存在零点，得到椭圆参数的齐次式求离心率范围.
详解】令 ，则 ，即 ，且 ，
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由 ，则 ，可得 ，
所以 在 上存在零点，
又 开口向上且对称轴为 ，则 ，
所以 ，可得 ，即 .
故答案为：
四､解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知直线 ;直线 .
（1）若 ，求实数 的值;
（2）若 ，且它们之间的距离为 ，求直线 的斜截式方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由 ，得到 ，即可求解；
（2）由 ，求得 ，再结合两平行线间的距离公式，求得 的值即可求解.
【小问 1 详解】
由题意，直线 ， ，
因为 ，可得 ，解得 .
【小问 2 详解】
由直线 ， ，
因为 ，可得 ，可得 ，
此时直线 ，
又由 间的距离为 ，
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根据两平行线间的距离公式，可得 ，解得 或 .
所以直线 的斜截式方程为 或 .
16. 已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，与椭圆 有
相同的焦点，双曲线 的左右焦点分别为 ，直线 过 且与双曲线 相交于 两点.
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 的斜率为 2，求线段 的长；
【答案】（1）
（2）30
【解析】
【分析】（1）由题意得曲线 的渐近线方程，从而知道 ，由椭圆求得曲线 交点，即求得 ，再由双曲
线中 ，求得 ，从而得到曲线 的方程；
（2）由题意求得直线 的方程，设交点坐标联立方程组，由韦达定理求得交点横坐标的和与积，由交点弦
长公式求得结果.
【小问 1 详解】
双曲线 的渐近线方程为 ，
双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，所以 ，
又因为双曲线 C 与椭圆 有相同的焦点，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以双曲线 C 的方程为 .
【小问 2 详解】
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，直线 l 过 且斜率为 2，设直线 l 的方程为 ，
设 ，联立 与 消去 得 ，
由根与系数关系可得 ，
所以 .
17. 如图，已知四棱锥 的底面 是边长为 的菱形， 平面 ， 是 的中
点， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，且平面 与平面 的夹角余弦值为 ，求四棱锥 的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，通过证明四边形 是平行四边形得 ，再根据
线面平行的判定定理即可证明；
（2）设 ，过 点作 ，以 点为坐标原点， 为坐标轴建立空间直
角坐标系，进而根据题意并结合平面 与平面 的法向量求得 ，再计算几何体的体积即可；
【小问 1 详解】
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证明：取 的中点 ，连接 ，
在 中， 且 ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
解：设 ，过 点作 ，以 点为坐标原点， 为坐标轴建立空间直角
坐标系，
因为 ， 为 的中点，
所以 ，设 ， ，
所以 ，
，
设平面 的法向量 ，
取 ；
同理设平面 的法向量 ，
取 ；
设平面 与平面 的夹角为 ，
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所以 ，
所以 ，
所以 ， .
18. 动圆 与直线 交于 两点.
（1）证明动圆 必过两定点；并求
（2）当 时，过原点 O 的直线与圆 C 交于 不同两点，且直线不过 C 圆心.过 分别作圆 C 的
切线 ，求证： 在一条定直线上.
（3）是否存在轨迹 ，在 上任取点 ，无论 为何值，都有 为常数，若存在，求出 轨迹
方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析，
（2）证明见解析 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据分离参数整理圆的方程，等价转化为圆与直线相交，联立方程组求定点坐标，再利用圆
的方程，表示出圆心与半径，利用弦长公式，可得答案；
（2）由题意整理圆的方程，写出切线方程，并整理直线 的方程，代入原点，可得答案；
（3）联立圆与直线方程，写出韦达定理，表示出向量坐标，利用数量积的坐标表示，整理方程，可得答案
.
【小问 1 详解】
证明：因为方程为 ，即 ，
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由 ，解得 或 ，则动圆 C 恒过两定点的坐标为 或 ；
易知圆 C 的圆心坐标为 ，圆 C 的半径为 ，
所以圆 C 的圆心到直线 的距离为 ，
此时 两点间的距离 ，
整理得 ，设 ，其对称轴为 ，
所以 ，则 .
【小问 2 详解】
此时 C： ，设 ，
易计算：过 D 点的切线方程 为 ，
同理过 E 的切线方程 为 ，
因为 ，故 ， .
所以 在直线 上，即直线 DE 为 .
又因为 ，故 ，即 ，所以 F 在定直线 上.
【小问 3 详解】
存在， ，
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设 ，联立 ，
并整理得 ，由题意可得 ，由韦达定理得 ，
设 ，此时 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
整理得 ，
因为无论 为何值，都有 为常数，
令 为常数 .
故存在定直线 ，即 ，其上任意点 K 满足条件.
19. 已知椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆上．
（1）求椭圆 M 的方程；
（2）过 x 轴上的一定点 作两条直线 ， ，其中 与椭圆 M 交于 A、B 两点， 与椭圆 M 交于 C、
D 两点，（A，C 在 x 轴上方，B，D 在 x 轴下方），如图所示．
（ⅰ）已知 ，直线 QA 斜率为 ，直线 QC 斜率为 ，且 ，求证：直线 AC 过定点；
（ⅱ）若直线 ， 相互垂直，试求 的取值范围．
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【答案】（1） ；
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） .
【解析】
【分析】（1）根据离心率、所过的点求椭圆参数，即可得椭圆方程；
（2）（ⅰ）令 ， ，且 ， 且均不为 2，联立椭圆方程，应
用韦达定理得 ， ，结合 得到关于 的方程，可
得 的关系，即可证；
（ ⅱ ） 利 用 向 量 数 量 积 的 运 算 律 得 ， 令
， ，则 ，且 ，联立椭圆方程并
结合韦达定理、向量数量积的坐标表示得到 关于参数 t 的方程，即可求范围.
【小问 1 详解】
由题设 ，可得 ，故椭圆方程为 ；
【小问 2 详解】
（ⅰ）由题意，令 ， ，且 ， 且均不为 2，
联立 ，则 ，
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且 ，所以 ，
则 ， ，
由 ，
所以 ，则 ，
所以 ，故 或 ，
当 时， ，此时过定点 ；
当 时， ，此时过定点 ，不合题意；
综上，直线 过定点 ，得证.
（ⅱ）由 ， ，又直线 ， 相互垂直，
即 ，
所以
，
若 ，
则 ，
所以 ，
令 ，则 ，且 ，
第 23页/共 24页
联立 ，可得 ，显然 ，
则 ， ，同理 ， ，
所以 ， ，
， ，
所以
，
令 ，则 ，
所以 ，
综上，
【点睛】关键点点睛：第二问的二小问，注意应用数量积运算律得到 ，设
，则 ，且 ，综合应用韦达定理、数量积的坐标表示得到 关于
参数 t 的方程是关键.
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