数学九年级上册（2024）3.4 圆周角同步训练题

这是一份数学九年级上册（2024）3.4 圆周角同步训练题，共10页。试卷主要包含了圆周角的概念，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角等内容，欢迎下载使用。
题型一 圆周角的概念
1．如图，∠APB是圆周角的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在图中标出的∠1∼∠5这5个角中，AD所对的圆周角是（ ）
A．∠5B．∠1和∠2C．∠3和∠4D．∠1和∠3
4．如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角∠ACB=55°.若D为弧AB上一点，∠AOD=75°，OD∥CB，则∠OAC的度数为（ ）
A．19°B．20°C．21°D．22°
题型二 圆周角定理
1．如图，已知A、B、C都在圆O上，∠C=35°，则∠AOB的度数是（ ）
A．75°B．70°C．60°D．35°
2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠1+∠2=110°，则∠B的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
3．如图，点A、B、C、D为⊙O上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数是（）
A．30°B．45°C．50°D．60°
4．如图，A、B、C点在圆O上，若∠AOB=72°，则∠ACB=______°．
题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等
1．如图，已知点A、B、C、D在圆O上，CB=CD，∠CAD=35°，∠ACD=60°，则∠AOB=________．
2．如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于点D，连接OC，若∠A=45°，∠B=60°，则∠OCD的大小为___________．
3．如图，⊙O的两条直径AB，CD互相垂直，点E在半径OD上，连接BE并延长交⊙O于点F，若FD=FE，则∠CBF=________°．
4．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，AD⏜=CD⏜，求：∠BCD的度数．
题型四 直径所对的圆周角是直角
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC=26°，则∠D的度数是（ ）
A．66°B．64°C．62°D．60°
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，若∠ACD=60°,∠BED=65°，则∠ADC的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
3．如图，△ABC内接于⊙O，仅用无刻度的直尺按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图1，在AC上找一点P，使得∠BCP=90°；
(2)如图2，在AB上找一点Q，使得∠B+∠ACQ=90°．
4．已知点A、B、C、D在⊙O上，BC是直径，AD∥BC，∠ADC=120°，⊙O的半径为2．
(1)求证：AC是∠BCD的平分线；
(2)求圆内接四边形ABCD的周长．
题型一 90°圆周角所对弦是直径
1．下列图形中，线段AB是所在圆的直径的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，⊙O是△BCD的外接圆，AB⊥BC．若BC=4，∠BDC=30°，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．22C．23D．8
3．如图，矩形ABCD中，AB=25,BC=8．点P是BC边上一动点，点M为线段AP上一动点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（ ）．
A．2B．810521C．2.4D．21−4
4．古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________．
题型二 圆内接四边形
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BCD=115°，则∠BOD的度数是（ ）
A．65°B．115°C．130°D．140°
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知∠ADC=55°，则∠ABC=______°．
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，点E在CAB上，连接EC，EB，若∠ADC=110°，则∠BEC=________°．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作AE∥BC，交CD于点E．若∠AED=50°，则∠BAD= _________ ．
1．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为 ．
2．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，点E在AD上，连接BE交AD于点Q．若∠AQE＝∠EDC，∠CQD＝∠E，BC＝3，则AQ＝ ．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆的直径及菱形ABFC的面积．
4．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝23，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）试探究线段AB，BC，BM之间的数量关系，并证明你的结论．
答案与解析
题型一 圆周角的概念
1．如图，∠APB是圆周角的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念，
故选：D．
2．下列图形中的角是圆周角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角，
选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．
故选C．
3．如图，在图中标出的∠1∼∠5这5个角中，AD所对的圆周角是（ ）
A．∠5B．∠1和∠2C．∠3和∠4D．∠1和∠3
【答案】C
【详解】解：∠1是BC所对的圆周角，
∠2是BC所对的圆周角，
∠3是AD所对的圆周角，
∠4是AD所对的圆周角，
∠5不是圆周角，
故选：C．
4．如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角∠ACB=55°.若D为弧AB上一点，∠AOD=75°，OD∥CB，则∠OAC的度数为（ ）
A．19°B．20°C．21°D．22°
【答案】B
【详解】解：如图所示，延长DO交AC于点E，
∵∠ACB=55°，OD∥CB
∴∠CED=180°−∠ACB=125°，
∵∠AOD=75°，
∵∠EOA=105°，
∴∠CAO=∠CED−∠AEO=125°−105°=20°，
故选：B．
题型二 圆周角定理
1．如图，已知A、B、C都在圆O上，∠C=35°，则∠AOB的度数是（ ）
A．75°B．70°C．60°D．35°
【答案】B
【分析】根据圆周角与圆心角的关系，由此计算∠AOB的度数即可．
【详解】解：弧AB所对的圆周角是∠C，圆心角是∠AOB，
已知∠C=35°，由圆周角定理可得∠AOB=2∠C=2×35°=70°．
2．如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠1+∠2=110°，则∠B的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】D
【详解】解：在四边形AOCD中，∠1+∠2+∠D+∠AOC=360°，
∵∠1+∠2=110°，
∴∠D+∠AOC=250°，
由图可得，∠AOC=2∠B，且∠D+∠B=180°，
∴∠D+2∠B=250°∠D+∠B=180°，
解得∠D=110°∠B=70°．
3．如图，点A、B、C、D为⊙O上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数是（）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【答案】D
【详解】解：连接OC，
∵四边形AOBC是菱形，
∴OA=AC=BC=OB，
∵OA=OB=OC，
∴OA=AC=OC，OB=BC=OC，
∴△AOC和△BOC均为等边三角形，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°，
∵∠ADB与∠AOB分别是弧AB所对的圆周角和圆心角，
∴∠ADB=12∠AOB=60°．
4．如图，A、B、C点在圆O上，若∠AOB=72°，则∠ACB=______°．
【答案】36
【详解】解：∵ ∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，
∴∠ACB=12∠AOB，
∵∠AOB=72°，
∴∠ACB=12×72°=36°．
题型三 同弧或等弧所对的圆周角相等
1．如图，已知点A、B、C、D在圆O上，CB=CD，∠CAD=35°，∠ACD=60°，则∠AOB=________．
【答案】100°/100度
【详解】解：∵CB=CD，∠CAD=35°，
∴∠CDB=∠CAD=35°，
∵∠CAD=35°，∠ACD=60°，
∴∠ADC=180°−60°−35°=85°，
∴∠ADB=∠ADC−∠CDB=50°，
∴∠AOB=2×50°=100°．
2．如图，△ABC内接于⊙O，CD⊥AB于点D，连接OC，若∠A=45°，∠B=60°，则∠OCD的大小为___________．
【答案】15°/15度
【详解】解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接AE，
∵CE是直径，AC⏜=AC⏜，
∴∠CAE=90°，∠E=∠B=60°，
∴∠ACE=90°−60°=30°，
∵∠A=45，∠B=60°，
∴∠ACB=180°−45°−60°=75°，
∵CD⊥AB,∠B=60°，
∴∠BCD=90°−60°=30°，
∴∠OCD=75°−30°−30°=15°．
3．如图，⊙O的两条直径AB，CD互相垂直，点E在半径OD上，连接BE并延长交⊙O于点F，若FD=FE，则∠CBF=________°．
【答案】67.5
【详解】解：连接CF，
∵ ⊙O的两条直径AB，CD互相垂直，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵FD=FE，
∴∠FED=∠FDE，
又CF=CF，
∴∠CBF=∠FDC，
又∠FED=∠CEB，
∴∠CBF=∠CEB=180°−45°2=67.5°．
4．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，AD⏜=CD⏜，求：∠BCD的度数．
【答案】125°
【详解】解：连接BC，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=70°，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠D=180°−∠B=110°，
∵AD⏜=CD⏜，
∴∠DAC=∠DCA=12180°−110°=35°，
∴∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°．
题型四 直径所对的圆周角是直角
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC=26°，则∠D的度数是（ ）
A．66°B．64°C．62°D．60°
【答案】B
【详解】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠BAC=26°,
∴∠BAC=∠BDC=26°,
∴∠ADC=∠ADB−∠BDC=90°−26°=64°．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，若∠ACD=60°,∠BED=65°，则∠ADC的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】B
【详解】解：连接BC，
∵∠BED=65°，
∴∠CEA=∠BED=65°，
∵∠ACD=60°，
∴∠CAB=180°−60°−65°=55°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°−∠CAB=90°−55°=35°，
∴∠ADC=∠ABC=35°．
3．如图，△ABC内接于⊙O，仅用无刻度的直尺按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)如图1，在AC上找一点P，使得∠BCP=90°；
(2)如图2，在AB上找一点Q，使得∠B+∠ACQ=90°．
【答案】(1)见解析；(2)见解析
【详解】（1）解：如图1，点P即为所求作；
（2）解：如图2，点Q即为所求作；
4．已知点A、B、C、D在⊙O上，BC是直径，AD∥BC，∠ADC=120°，⊙O的半径为2．
(1)求证：AC是∠BCD的平分线；
(2)求圆内接四边形ABCD的周长．
【答案】(1)见解析；(2)10
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC=120°，
∴∠B=60°，
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，
∵AD∥BC，∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACD=∠DCB−∠ACB=30°，
∴∠DCA=∠ACB，
∴AC是∠BCD的平分线；
（2）解：连接OA，如图，
∵∠B=60°，OB=OA，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB=60°=∠BCD，OA=OB=AB=2，
∴OA∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形OADC为平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形OADC为菱形，
∴AD=DC=OC=2，
∴四边形ABCD的周长AD+AB+BC+CD=2+2+4+2=10．
题型一 90°圆周角所对弦是直径
1．下列图形中，线段AB是所在圆的直径的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：A．图中直角∠ACB不是圆周角，所以线段AB不是圆的直径，故选项不符合题意；
B．图中直角∠ACB不是圆周角，所以线段AB不是圆的直径，故选项不符合题意；
C．图中直角∠ACB是圆周角，所以线段AB是圆的直径，故选项符合题意；
D．图中直角∠ACB是圆周角，但是点A不在圆上，所以线段AB不是圆的直径，故选项不符合题意；
故选：C．
2．如图，⊙O是△BCD的外接圆，AB⊥BC．若BC=4，∠BDC=30°，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．22C．23D．8
【答案】A
【详解】解：连接AC，则：∠CAB=∠BDC=30°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴AC为⊙O的直径，
∵∠ABC=90°，∠CAB=30°，BC=4，
∴AC=2BC=8，
∴⊙O的半径为82=4；
故选A．
3．如图，矩形ABCD中，AB=25,BC=8．点P是BC边上一动点，点M为线段AP上一动点．∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为（ ）．
A．2B．810521C．2.4D．21−4
【答案】A
【详解】解：设AD的中点为O，连接OB,OM，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=90°,AD=BC=8，
∴∠BAP+∠MAD=90°，
∵∠ADM=∠BAP，
∴∠MAD+∠ADM=90°，
∴∠AMD=90°，
∵AO=OD=4，
∴OM=12AD=4，
∴点M在O点为圆心，4为半径的圆O上．
∵OB=AO2+AB2=42+252=6，
∴BM≥OB−OM=2，
∵BM的最小值为2．
故选：A．
4．古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________．
【答案】90°的圆周角所对的弦是直径
【详解】解：这种方法的数学依据是90°的圆周角所对的弦是直径．
故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径．
题型二 圆内接四边形
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD．若∠BCD=115°，则∠BOD的度数是（ ）
A．65°B．115°C．130°D．140°
【答案】C
【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠A=180°−∠BCD=65° ，
由圆周角定理可得：∠BOD=2∠A=130°．
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，已知∠ADC=55°，则∠ABC=______°．
【答案】125
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ADC=55°，
∴∠ABC=180°−55°=125°．
3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，点E在CAB上，连接EC，EB，若∠ADC=110°，则∠BEC=________°．
【答案】20
【详解】解：如图所示，连接AC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠ADC=110°，
∴∠ABC=70°；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°−∠ABC=20°，
∵BC=BC，
∴∠BEC=∠BAC=20°．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作AE∥BC，交CD于点E．若∠AED=50°，则∠BAD= _________ ．
【答案】130°/130度
【详解】解：∵ AE∥BC，
∴ ∠BCD=∠AED=50°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴ ∠BCD+∠BAD=180°，
∴ ∠BAD=180°−50°=130°，
故答案为：130° ．
1．如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为 ．
【答案】3+22．
【解答】解：过P点作PH⊥AB于H点，PD⊥OC于D点，连接PA、PB、PC，如图，
∵A（﹣5，0），B（1，0），
∴OA＝5，OB＝1，
∵PH⊥AB，
∴AH＝BH=12AB＝3，
∴OH＝2，
∵∠APB＝2∠ACB＝2×60°＝120°，
∴∠APH＝60°，
在Rt△PAH中，∵PH=33AH=3，
∴PA＝2PH＝23，
∵∠PHO＝∠PDO＝∠HOD＝90°，
∴四边形PHOD为矩形，
∴OD＝PH=3，PD＝OH＝2，
在Rt△PCD中，∵PC＝PA＝23，PD＝2，
∴CD=(23)2−22=22，
∴OC＝OD+CD=3+22，
∴点C的纵坐标为3+22．
故答案为：3+22．
2．如图，A、B、C、D是⊙O上四点，点E在AD上，连接BE交AD于点Q．若∠AQE＝∠EDC，∠CQD＝∠E，BC＝3，则AQ＝ ．
【答案】3．
【解答】解：连接AB．
根据圆周角定理可得∠A＝∠E．
∵∠CQD＝∠E，
∴∠CQD＝∠A，
∴AB∥CQ．
∵∠EBC+∠EDC＝180°，∠AQB+∠AQE＝180°，
∴∠EBC+∠EDC＝∠AQB+∠AQE．
∵∠AQE＝∠EDC，
∴∠EBC＝∠AQB，
∴BC∥AQ．
又∵AB∥CQ，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
∴AQ＝BC＝3．
故答案为：3．
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆的直径及菱形ABFC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）直径为8，面积为815．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE，
又∵EF＝AE，
∴四边形ABFC为平行四边形，
∵AB＝AC，
∴四边形ABFC为菱形；
（2）解：连接BD，则∠ADB＝90°，
∴∠BDC＝90°，
设CD＝x，则：AB＝AC＝AD+CD＝7+x，
由（1）可知：BC＝2BE＝4，
由勾股定理，得：BD2＝BC2﹣CD2＝AB2﹣AD2，
即42﹣x2＝（7+x）2﹣72，
解得x＝1或x＝﹣8（舍去）；
∴AB＝7+1＝8，
在Rt△AEB中，AE=AB2−BE2=215，
∴AF=2AE=415，
∴菱形ABFC的面积为12BC⋅AF=12×4×415=815
∴直径为8，面积为815．
4．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝23，弦BM平分∠ABC交AC于点D，连接MA，MC．
（1）求⊙O半径的长；
（2）试探究线段AB，BC，BM之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）2；（2）AB+BC＝BM，理由见解答过程．
【解答】解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，
∴∠AOH=12∠AOC＝60°，
∵AC＝23，
∴AH=12AC=3，
∴OA=2，
故⊙O的半径为2；
（2）AB+BC＝BM，理由如下：
在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，
∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM＝60°，
∵BE＝BC，
∴△EBC是等边三角形，
∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，
∴∠BCD+∠DCE＝60°，
∵∠ACM＝60°，
∴∠ECM+∠DCE＝60°，
∴∠ECM＝∠BCD，
∵∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AC＝CM，
∴△ACB≌△MCE（SAS），
∴AB＝ME，
∵ME+EB＝BM，
∴AB+BC＝BM．