2025-2026学年广东省深圳外国语学校龙华高中部高二（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省深圳外国语学校龙华高中部高二（下）期末数学试卷，共3页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|（x-2）（x+1）=0}，B={x|x2≥4x}，则A∩（∁RB）=（ ）
A. {-1}B. （0，2）C. {2}D. （-1，4）
2.若i为虚数单位，i（1+z）=1，则z+=（ ）
A. -2iB. -iC. 2D. -2
3.某校举办经典诵读比赛，共有10名学生晋级决赛，其中女生有4名，现从这10名学生中随机选2名担任领诵，记选中的这2人中女生人数为X，则P（X=1）=（ ）
A. B. C. D.
4.展开式中的常数项为（ ）
A. 20B. -20C. 15D. -15
5.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法种数为（ ）
A. 36B. 64C. 72D. 81
6.某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（ ）
A. 444π
B. 300π
C. 2268π
D. 612π
7.某工厂质量监控小组从一批面粉中抽取n袋测量重量，已知抽取的n袋面粉的样本均值X（单位：千克）服从正态分布，若P（19.95≤X≤20.05）≥0.9973，则n的最小值为[参考数据：若X∼N（μ，σ2），则P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973].（ ）
A. 100B. 60C. 6D. 1
8.甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，且第4项与第7项的二项式系数相等，则下列说法正确的是（ ）
A. n=9B. 展开式中的系数和等于二项式系数和
C. D.
10.如图，点M，N分别是棱长为2的正四面体OABC的边OA和BC的中点，点P在线段MN上，且MP=2PN.则（ ）
A.
B.
C.
D. 向量在方向上的投影向量为
11.如图，圆锥PO1的轴截面为正三角形，底面圆O1的半径为，CD，EF为圆O1的两条直径，且CD⊥EF，母线PC，PD与该圆锥的内切球O分别切于A，B两点，则（ ）
A. 圆锥PO1的体积为3π
B. 球O与圆锥PO1的公共点的轨迹的周长为π
C. 异面直线BF与PA所成角为
D. 平面AEF截球O的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量=（x,1），=（x-1，2x），若⊥（-），则||= .
13.已知边长为2的正方形ABCD，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点A'，则三棱锥A'-EFD的体积为 .
14.甲、乙两人进行抽卡游戏：每一局游戏中，将编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的8张卡片的背面朝上并搅匀，甲先从中随机抽取2张卡片，乙再从剩下的卡片中随机抽取1张卡片.记a为甲抽取的2张卡片中较大编号者的编号，b为乙抽取的卡片的编号，当a＜b＜2a时，称该局为“默契局”，则一局游戏成为“默契局”的概率为 ；游戏规定：出现“默契局”时，乙得2分，甲得0分，否则乙得0分，甲得1分，则三局游戏后甲、乙两人得分之和X的数学期望E（X）= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某地区农户在推动农业机械化升级后，记录了某作物在接下来x（x=1，2，3，4，5）年的增长数据y（万吨），如表所示：
（1）经探究x与y之间具有相关关系，求y关于x的经验回归方程=；
（2）为了检验M，N两款机械设备的投放对某农作物的增收情况，在A，B两地区分别选取了两块相同面积的试验田来记录某年的增收情况，得到的数据如表：
根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为增收情况与使用M，N两种不同设备有关？
参考公式：①；
②（其中n=a+b+c+d为样本容量）.
参考数据：
16.(本小题15分)
如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°，求：
（1）直线AD与平面BDC所成角的大小；
（2）平面ABD和平面BDC夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位.
（1）若质点只能在x轴上移动，记第n秒末质点回到原点的概率为Pn，求P4；
（2）从原点出发，每秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位.设质点在第2秒末移动到点（x,y），记x2+y2的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望E（X）.
18.(本小题17分)
在四棱锥M-ABCD中，平面MAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠BAD=90°，MA=MD，AB=3，CD=AD=2，O是线段AD的中点.
（1）证明：MA⊥AB.
（2）若二面角C-MB-O的平面角的正弦值为.
①求线段MO的长；
②若E为线段MD的中点，点N在线段AM上，是否存在实数λ，使得当时，EN∥平面MBC？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
为提升用户的“数字资产积累”体验，某区块链平台推出“幸运盲盒”游戏：盲盒内有编号1～6的6个数字代币（质地均匀），每次随机有放回抽取1个代币，抽取相互独立.规则为：抽到6号代币得2个积分，抽到1～5号代币得1个积分.定义“安全积累状态”为：抽取过程中从未出现连续两次抽到6号代币，记第n次抽取后处于“安全积累状态”的概率为Pn.
（1）①求抽取3次后，总积分为4分的概率；②求P3的值；
（2）设抽取n次后处于“安全积累状态”，且积分和为2n-3.求满足条件的n的取值范围，并求当n最大时共有多少种抽取方法；
（3）证明：当n≥2时，Pn＞Pn+1.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ABC
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】；
认为增收情况与使用M，N两种不同设备有关．
16.【答案】解：（1）过点A作AE⊥BC，交BC的延长线于E，连接DE，
∵AB=BC=BD，∠CBA=∠CBD=120°，∴△CBA≌△CBD，
∴DE⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，且平面ABC∩平面BCD=BC，AE⊂平面ABC，
∴AE⊥平面BCD，
∵DE⊂平面BCD，EB⊂平面BCD，∴AE⊥DE，AE⊥BE，
∴ED，EB，EA两两垂直，
以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=BC=BD=2，则BE=1，AE=DE=，
则A（0，0，），D（，0，0），E（0，0，0），
=（，0，-），
∵AE⊥平面BCD，∴平面BCD的一个法向量为=（0，0，），
设直线AD与平面BDC所成角的大小为θ，
则sinθ===，
∴θ∈[0，]，∴θ=，
∴直线AD与平面BDC所成角的大小为．
（2）B（0，1，0），C（0，3，0），=（0，1，-），
设平面ABD的法向量为=（x,y,z），
则，
令z=1，得=（1，，1），
∴|cs＜，＞|===，
∴平面ABD和平面BDC夹角的余弦值为．
17.【答案】
X的分布列为：
E（X）=2
18.【答案】证明：在△MAD中，∵MA=MD，O是线段AD的中点，
∴MO⊥AD．∵平面MAD⊥平面ABCD，平面MAD∩平面ABCD=AD，MO⊂平面MAD，
∴MO⊥平面ABCD．又∵AB⊂平面ABCD，∴MO⊥AB，
∵∠BAD=90°，即AB⊥AD，MO∩AD=O，MO，AD⊂平面MAD，
∴AB⊥平面MAD，∵MA⊂平面MAD，
∴AB⊥AM ①；②存在实数
19.【答案】①；② [3，7]，125 证明：第n次抽取后处于安全积累状态，分两种情况：
第一种情况：第n次抽1～5号，概率为，前n-1次抽取后处于安全积累状态的概率为Pn-1，概率为，
第二种情况：第n次抽6号，其概率为，第n-1次抽1～5号，概率为，
前n-2次抽取后处于安全积累状态的概率为Pn-2，概率为，
故，
则=
==，
所以当n≥3时，Pn＞Pn+1，
当n=2时，由（1）知，，
当n≥2时，Pn＞Pn+1 x
1
2
3
4
5
y
26
37
50
64
93
地区
用M设备
用N设备
A
30
20
B
15
35
α
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
2
4
P