2025-2026学年广东省深圳外国语学校高二（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省深圳外国语学校高二（下）期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，，则A∪B=（ ）
A. {x|0≤x≤1}B. {x|-1≤x≤1}C. {x|-1≤x≤0}D. {x|x≤1}
2.若复数z满足（1+2i）z=3+i,则=（ ）
A. B. C. 2D. 5
3.若平面内的两个向量，满足，，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
4.的展开式中二项式系数和为32，则含x2项的系数为（ ）
A. -80B. 80C. -10D. 10
5.已知角β的终边在第一象限，，cs（α+2β）=-1，则cs（α+β）=（ ）
A. B. C. D.
6.设数列{an}满足（n∈N*），则{an}的前50项和为（ ）
A. 2552B. 2551C. 2550D. 2549
7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方形BCC1B1的中心，Q为棱DD1的中点，过点B，P，Q的平面将正方体分成两部分，则较小的部分与较大的部分体积之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知双曲线的左、右两个焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以OF1为直径的圆与双曲线C在第二象限交于点A，直线AF1与双曲线C右支交于点B，|AF2|=|BF2|，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D. 3
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图，两个共底面的正四棱锥组成一个八面体EABCDF，AB=2，AE=AF，则下列结论正确的是（ ）
A. AE∥平面BCF
B. AE⊥平面BDF
C. 当AB=AE时，从B点出发沿着该八面体表面到D点的最短路程为
D. 当该八面体表面积为16时，二面角E-BC-F的大小为120°
10.函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 当x＜0时，f（x）=（3-x2）ex
B. -3是f（x）的极小值点
C. 当时，函数y=f（x）-m有2个零点
D. 不等式xf（x）＜0的解集为
11.已知集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A为3×3表格如图，则下列说法正确的是（ ）
A. 从S中任取三个不同的数，三个数之和为奇数的概率为
B. 从S中任取三个不同的数，三个数之和为3的倍数的概率为
C. 将S中所有数填入A，每个小方格中恰填一个数且每个数只填一次，则每行、每列所填数之和都是奇数的概率是
D. 将S中所有数填入A，每个小方格中恰填一个数且每个数只填一次，则每行、每列所填数之和都是3的倍数的概率是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线y2=2x与y=2x2焦点之间的距离为 .
13.已知函数关于直线对称，且f（x1）•f（x2）=4，则tan（x1+x2）= .
14.若方程有4个不同的实数根，则实数m的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
随着时代和科技的进步，人工智能在生产领域中越来越重要，某研究团队在商业运营数据分析中，收集了某商家一段时间内投入人工智能的费用与对应产品销量数据如下表，将投入经费（单位：万元）作为解释变量x,销售量（单位：万件）作为响应变量y,已知x与y之间呈现出线性相关关系，，.
（1）求m,n的值以及y关于x的经验回归方程；
（2）从上述5组数据（xi，yi）（i=1，2，3，4，5）中任意挑选2组，记X为其中残差值为正数的组数，求X的分布列和数学期望.
参考公式：.
16.(本小题15分)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a,b,c,且满足.
（1）求A；
（2）若a=3，sin2B=2sin（C-B），求△ABC的面积S.
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足：a1=1，，设bn=a2n+3.
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n项和Sn.
18.(本小题17分)
已知a≠0，函数f（x）=x2-ax+aln（x+1）.
（1）若a=1，求f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在定义域上只有1个零点，求a的取值范围；
（3）∀n∈N*，证明不等式：.
19.(本小题17分)
我们称底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体为“椭圆柱”.如图所示的椭圆柱OO′中底面长轴|AB|=|A′B′|=4，母线|AA′|=|BB′|=4，F1，F2分别为下底面椭圆的左右焦点，动点P在线段BB′上（不与B重合），MN为下底面过点F2的一条动弦（不与AB重合），当时，直线AB′∥平面PMN.
（1）求底面椭圆的离心率；
（2）若，三棱锥P-MNF1的体积为2，求直线PF1与平面PMN所成角的正弦值；
（3）求三棱锥P-MF1F2外接球表面积的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】AB
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】由，得m+n=13，
由，得2m+3n=34，
联立，解得，
，，
则，
，
所以y关于x的经验回归方程为
依题意可得，，，，，单位均为万件，
所以5组数据中有2组数据残差值为正数，则X的可能取值为0，1，2，
所以，，，
则X的分布列为：
所以
16.【答案】因为sinA+sin（C-B）=sin（C+B）+sin（C-B）
=sinCcsB-csCsinB+sinCcsB+csCsinB=2sinCcsB，
=，
故，
而△ABC为锐角三角形，，
故csB＞0，sinC＞0，故，故
因为，所以，
所以cs2B=0，，2B∈（0，π），
所以，即，，
由正弦定理可得，所以，
得到，
所以
17.【答案】因为a1=1，所以a2=4a1+5=9，则b1=a2+3=12，
因为2n+1为奇数，2n为偶数，
所以a2n+2=4a2n+1+5=4（a2n+1）+5=4a2n+9，
所以bn+1=a2n+2+3=4（a2n+3）=4bn，
即数列{bn}是首项为12，公比为4的等比数列，
根据等比数列的通项公式可得
由（1）可知，，
所以，2n-1为奇数，
则，
所以，
当n为偶数时，，
Sn=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an-1+an）
=（15×20-5）+（15×22-5）+…+（15×2n-2-5）
=；
当n为奇数时，n+1为偶数，
；
综上，数列{an}的前n项和
18.【答案】由x+1＞0，得x＞-1，
所以f（x）的定义域为（-1，+∞），
当a=1时，f（x）=x2-x+ln（x+1），
，
所以f（0）=0，f′（0）=0，
所以f（x）的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=0
因为f（0）=0，所以当f（x）在定义域上只有1个零点时，f（x）在（-1，+∞）上没有非零零点，
f（x）的定义域为（-1，+∞），
，
①若a＜0，则2x+（2-a）＞2x+2＞0，
则当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又f（0）=0，所以f（x）只有1个零点，即x=0，符合题意；
②若0＜a＜2，令f′（x）=0，得x=0或，
因为，
所以当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又x→-1时f（x）→-∞，且，
所以在上存在唯一的x0，使得f（x0）=0，
所以f（x）有2个零点，即x0，0，与已知矛盾；
③若a=2，则恒成立，所以f（x）单调递增，则f（x）只有1个零点x=0，符合题意；
④若a＞2，令f′（x）=0得x=0或，
因为，
所以当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
又x→+∞时f（x）→+∞，且，所以在上存在唯一的x1使得f（x1）=0，
所以f（x）有2个零点，与已知矛盾，
综上所述，若f（x）在定义域上只有1个零点，则a∈（-∞，0）∪{2}
证明：取a=2，由（2）可知x＞0时f（x）=x2-2x+2ln（x+1）＞0，
即2ln（x+1）＞2x-x2，
取，可得，
所以，，…，，
累加得，
即，得证
19.【答案】连接AB′，PF2，
因为AB′∥平面PMN，AB′⊂平面BAB′，平面BAB′∩平面PMN=PF2，所以AB′∥PF2，
又由，可得，故，
因此c=|OF2|=2-1=1，，
所以离心率．
由于椭圆长轴，短轴，直线OO′两两垂直，
故以点O为原点，椭圆长轴，短轴，直线OO′分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oxyz,
则xOy平面内椭圆的标准方程为，
所以B（2，0，0），F1（-1，0，0），F2（1，0，0），P（2，0，2），
由BP⊥平面MNF1得，所以，
设xOy平面内直线MN：x=ty+1（MN与AB不重合），M（x1，y1），N（x2，y2），
与椭圆联立，消去x得（3t2+4）y2+6ty-9=0，Δ=144（t2+1）＞0，
故，，
，
令，则4u=3u2+1，得u=1或（舍），所以t=0，
即MN：x=1，代入椭圆方程解得，，
即坐标系Oxyz内，，
，，，
设平面PMN法向量为，
则，令z=1得，
记直线PF1与平面PMN所成的角为θ，
则，
所以直线PF1与平面PMN所成的角的正弦值为
设△PF1F2外接圆为圆O1，半径为R1，△MF1F2外接圆为圆O2，半径为R2，
则O1在平面PF1F2内F1F2垂直平分线上即z轴上，同理O2在y轴上，
设三棱锥P-MF1F2外接球球心为O3，半径为R2，
因为平面PF1F2⊥平面MF1F2，所以O1O3⊥平面PF1F2，O2O3⊥平面MF1F2，
设O1（0，0，m），O2（0，n,0），所以O3（0，n,m），
，，．
所以．
对于△PF1F2，，
当且仅当时取等，即∠F1PF2为锐角，最大为，
由正弦定理，，
对于△MF1F2，因为|MF1|+|MF2|=4，所以
=，
当且仅当|MF1|=|MF2|=2时取等，即∠F1MF2为锐角，最大为，
由正弦定理，．
所以，当且仅当，|MF1|=2时取等，
所以三棱锥P-MF1F2外接球表面积的最小值为 x（投入经费）
1
2
3
4
5
y（销售量）
3
m
n
11
15
X
0
1
2
P