甘肃省平凉市第一中学2024-2025学年高一下学期期末测试数学试卷

这是一份甘肃省平凉市第一中学2024-2025学年高一下学期期末测试数学试卷，共5页。试卷主要包含了ACD，CD等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1. 本试卷满分 150 分，考试时间为 150 分钟。
A.
B.
C.
D.
2. 答题前，考生须在答题卡上正确填涂姓名、考号等相关信息。
所有试题均在答题卡上各题对应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无
8.在
中，点
，
在边
上，且满足：
，，若，
效。
7.从分别标有 ， ， ， ， 的 个小球中，不放回的随机选取两个小球，记这两个小球的编号分别为 ， 若 ，则 为实数的概率为( )
姓名班级考号
答
题
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
在复平面内，复数 对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
要
与向量 平行的单位向量为( )
B. C. 或 D.
内
不
正方体 中， 的中点为 ， 的中点为 ，则异面直线 与 所成角 的大小为( )
B. C. D.
，，则 的面积等于( )
B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得全部分，部分选对得部分分。
假定生男孩和生女孩是等可能的，若一个家庭中有三个小孩，记事件 “家庭中没有女孩”， “家庭中最多有一个女孩”， “家庭中至少有两个女孩”， “家庭中既有男孩又有女孩”，则( )
与 互斥B. C. 与 对立D. 与 相互独立
线
一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 相等，则下列结论正确的是( )
4.若某群体中的成员只用现金支付的概率为
，既用现金支付也用非现金支付的概率为
，则不用现金
A. 圆柱的侧面积为
B. 圆锥的侧面积为
支付的概率为( )
A. B.
C. D.
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等
11.若正四面体 的棱长为 ，
是棱
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为
上一动点，其外接球、内切球的半径分别为
，
，则(
)
密
封
饱和潜水是一种在超过百米的大深度条件下开展海上长时间作业的潜水方式，是人类向海洋空间和生命极限挑战的前沿技术，我国海上大深度饱和潜水作业能力走在世界前列．某项饱和潜水作业一次需要 名饱和潜水员完成，利用计算机产生 之间整数随机数，我们用 ， ， ， 表示饱和潜水深海作业成功， ， ， ， ， ， 表示饱和潜水深海作业不成功，现以每 个随机数为一组，作为 名饱和潜水员完成潜水 深海作业的结果，经随机模拟产生如下 组随机数： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由此估计“ 名饱和潜水员中至少有 人成功”的概率为( )
B. C. D.
在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 若，则该三角形一定是( )
正四面体 棱切球的体积为
若 是棱 的中点，则当 最小时，
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知，则 ．
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13.在二面角 中， ， ， ， ，且
， Ⅲ 若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为 ，乙复赛获优秀等级
，
，若
，二面角 的余弦值为 ，则 直线 与平面 所成角正弦值为．
在长方体 中，底面 是边长为 的正方形， ，过点 作平面 与 ， 分别交于 ， 两点，且 与平面 所成的角为 ，给出下列说法：
异面直线 与 所成角的余弦值为 平面
点 到平面 的距离为
截面 面积的最小值为 ．其中正确的是 请填写所有正确说法的编号
四、解答题：共 77 分。
本小题 13 分
如图，在矩形 中，点 是 边上的中点，点 在边 上．
若点 是 上靠近 的三等分点，设，求 的值；
若 ， ，求 的取值范围．
本小题 15 分
年 月 日，搭载天舟七号货运飞船的长征七号遥八运载火箭成功发射，我国载人航天工程 年发射任务首战告捷 为普及航天知识，某学校开展组织学生举办了一次主题为“我爱星辰大海”的航天知识竞赛，现从中抽取 名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
Ⅰ 求频率分布直方图中 的值 若从成绩不高于 分的同学中按分层抽样方法抽取 人成绩，求 人中成绩不高于 分的人数；
Ⅱ 用样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
的概率为 ，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率．
本小题 15 分
在 中，角 的对边分别为 ，已知
密
． 求角 的大小；
若 ，且 为锐角三角形，求 的周长的取值范围；
封
本小题 17 分
线
维空间中点的坐标可以表示为 ，其中 为该点的第 个坐标．定义 维 空 间 中 任 意 两 点 ， 之 间 的 平 均 离 差 二 乘 距 离
内
设 维 空 间 点 集 或 ， 其 中 ．
不
要
若 ， ，且点 ， ，写出所有的点 的坐标； 任取 维空间中的不同两点 ．若 ，求 的概率；
本小题 17 分
答
题
如图，在四棱锥 中，侧面 是边长为 的等边三角形， 点 ， ， ， 在同一个圆的圆周上， 且 ， ， 平 面 平 面 ．
求证：平面 平面
求三棱锥 的体积
求二面角 的正弦值．
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1.A
2.C
3.D
4.B
设
，其中
；
6.B
7.A
则：
，
；
，
；
8.D
9.ACD
所以
，其中
；
10.CD
11.ACD
当
时
取得最小值为
，
5.B
2024-2025 学年第二学期期末考试高一数学答案
12.
解： 由题意知 ，
因为 是 边的中点，点 是 上靠近 的三等分点，
所以 ，
在矩形 中， ， ，所以 ，
即 ， ，
则 ．
以 、 分别为 、 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
或 时 取得最大值为 ，
所以 的取值范围是 ．
解： Ⅰ 由 ，
解得 ，
因为 人 ， 人 ．
所以不高于 分的抽 人 ；
平均数 ．
由图可知，学生成绩在 内的频率为 ，在 内的频率为 ，
设学生成绩中位数为 ， ，则： ，解得 ，所以中位数为 ．
记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件 ，
则 ．
所以至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为．
17.解：
依题意，由正弦定理，
，
由 可得
由余弦定理
，
，
则 ，则 ，因为 ，所以 ；
由 为锐角三角形， ，可得
解得 ，
由正弦定理 ，则，
则，
则 的周长为，
由 ，则 ，因为，整理得：
，解得 或 舍去 ，
所以 ，则周长范围是 ；
解： 由定义可知， ，
即 ，且 ，
所以解得满足方程的 点坐标为： ， 固定点 ：设点 ，
因为，
因为 或 ， 或 ，
所以中有两项等于 ，两项等于 ，
所以满足条件的所有可能情况有，
因为两不同点所有可能情况共有 种，
所以 的概率 ．
解： 证明：取 的中点 ，连接 ，如图 ，因为 为等边三角形，
所以 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ，
密
又 平面 ，所以 ，
因为点 ， ， ， 在同一个圆的圆周上， ， 所以 ，
封
即 ，又 ， ， 平面 ， 故 AD 平面 ，
线
内
又 平面 ，故平面 平面
不
要
在 中， ，
答
在 中， ，
又由 知 平面 ，
题
故 ，
故三棱锥 的体积为 ；
如图 ，设 的中点为点 ，连接 ，则 ，过点 作直线 交 于点 ，
由 可知， 平面 ，
所以 平面 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，
则 ， 即为二面角 的平面角，
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不妨设 ， ， ， ，则有
解得负值舍去 ，
所以 为 的中点， ，
于是在 中， ， ，所以 ，则 ，
故二面角 的正弦值为．在底面
中，过点 作
交
的延长线于点
，如图
，
则四边形
是矩形，